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正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，椭圆的右顶点为$${{A}}$$，点$${{P}}$$在椭圆上，且$${{P}{{F}_{1}}{⊥}{x}}$$轴，直线$${{A}{P}}$$交$${{y}}$$轴于点$${{Q}}$$，若$$\overrightarrow{A Q}=3 \overrightarrow{Q P}，$$则椭圆的离心率等于$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} 3$$
2、['椭圆的离心率']正确率80.0%已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的离心率为$$\frac{\sqrt3} {2}，$$则（）
B
A.$${{a}{=}{4}{b}}$$
B.$${{a}{=}{2}{b}}$$
C.$${{3}{{a}^{2}}{=}{4}{{b}^{2}}}$$
D.$${{3}{a}{=}{4}{b}}$$
3、['椭圆的离心率']正确率60.0%若椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$与椭圆$$D_{:} \， \， \， \frac{y^{2}} {9}+\frac{x^{2}} {m}=1 ( 0 < \ m < \ 9 )$$只有两个公共点，则这两个椭圆的离心率之积为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {6}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 5}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 7}} {6}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
4、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左右焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$离心率为$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$，过$${{F}_{2}}$$的直线$${{l}}$$交$${{C}}$$与$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，若$${{△}{A}{{F}_{1}}{B}}$$的周长为$${{4}{\sqrt {3}}}$$，则$${{C}}$$的方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {3}+y^{2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
5、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '椭圆的其他性质']正确率60.0%已知$${{A}{，}{B}{，}{C}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$上的三个点，直线$${{A}{B}}$$经过原点$${{O}}$$，直线$${{A}{C}}$$经过椭圆右焦点$${{F}}$$，若$${{B}{F}{⊥}{A}{C}}$$，且$${{|}{B}{F}{|}{=}{4}{|}{C}{F}{|}}$$，则椭圆的离心率是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 1}} {5}$$
6、['圆的定义与标准方程'， '椭圆的离心率']正确率60.0%已知圆$${{C}_{1}{：}{{x}^{2}}{+}{2}{c}{x}{+}{{y}^{2}}{=}{0}}$$，圆$${{C}_{2}{：}{{x}^{2}}{−}{2}{c}{x}{+}{{y}^{2}}{=}{0}}$$，椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0， c > 0$$$${}$$且$${{c}^{2}{=}{{a}^{2}}{−}{{b}^{2}}{)}}$$，若圆$${{C}_{1}{，}{{C}_{2}}}$$都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是（）
B
A.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$
B.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
C.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 )$$
D.$$( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} )$$
7、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '根据方程研究曲线的性质']正确率60.0%已知$${{0}{<}{k}{<}{5}}$$，则曲线$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {5}=1$$和$$\frac{x^{2}} {9-k}+\frac{y^{2}} {5-k}=1$$有（）
B
A.相同的顶点
B.相同的焦点
C.相同的离心率
D.相同的长轴
8、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '直线和圆相切']正确率60.0%已知椭圆$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的离心率为$$\frac{\sqrt6} {3}，$$以原点$${{O}}$$为圆心，椭圆$${{C}}$$的长半轴长为半径的圆与直$${{2}{x}{−}{\sqrt {2}}{y}{+}{6}{=}{0}}$$相切.则椭圆$${{C}}$$的标准方程为（）
C
A.$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {6}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {3}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {6}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {6}+\frac{y^{2}} {3}=1$$
9、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率80.0%若椭圆的中心在坐标原点，焦点在$${{x}}$$轴上，焦距为$${{4}}$$，离心率为$$\frac{\sqrt{2}} {2}，$$则该椭圆的方程为（）
D
A.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {1 2}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
10、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线的斜率']正确率40.0%设$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$是椭圆$$E : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，$${{P}}$$为直线$${{x}{=}{2}{a}}$$上一点，$${{△}{{F}_{2}}{P}{{F}_{1}}}$$是底边为$${{P}{{F}_{1}}}$$的等腰三角形，且直线$${{P}{{F}_{1}}}$$的斜率为$$\frac{1} {3}，$$则椭圆$${{E}}$$的离心率为（）
A
A.$$\frac{1 0} {1 3}$$
B.$$\frac{5} {8}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
1. 题目解析：
椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，左、右焦点分别为 $$F_{1}(-c,0)$$ 和 $$F_{2}(c,0)$$，右顶点为 $$A(a,0)$$。点 $$P$$ 在椭圆上且 $$PF_{1} \perp x$$ 轴，因此 $$P$$ 的横坐标为 $$-c$$，代入椭圆方程得纵坐标 $$y = \frac{b^{2}}{a}$$，即 $$P\left(-c, \frac{b^{2}}{a}\right)$$。
直线 $$AP$$ 的斜率为 $$\frac{\frac{b^{2}}{a}}{-c - a} = -\frac{b^{2}}{a(c + a)}$$，其方程为 $$y = -\frac{b^{2}}{a(c + a)}(x - a)$$。令 $$x = 0$$，得 $$Q$$ 的纵坐标 $$y = \frac{b^{2}}{c + a}$$，即 $$Q\left(0, \frac{b^{2}}{c + a}\right)$$。
由题意 $$\overrightarrow{AQ} = 3 \overrightarrow{QP}$$，即 $$Q$$ 将 $$AP$$ 分为 $$1:3$$ 的比例，因此 $$Q$$ 的纵坐标是 $$P$$ 纵坐标的 $$\frac{1}{4}$$，即 $$\frac{b^{2}}{c + a} = \frac{1}{4} \cdot \frac{b^{2}}{a}$$，化简得 $$4a = c + a$$，即 $$c = 3a$$。但 $$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$$，代入得 $$3a = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$$，平方后解得 $$b^{2} = 8a^{2}$$，这与 $$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}}$$ 矛盾。重新检查比例关系，应为 $$Q$$ 的纵坐标是 $$P$$ 纵坐标的 $$\frac{3}{4}$$，即 $$\frac{b^{2}}{c + a} = \frac{3}{4} \cdot \frac{b^{2}}{a}$$，化简得 $$4a = 3(c + a)$$，即 $$c = \frac{a}{3}$$。代入 $$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$$ 得 $$\frac{a}{3} = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$$，平方后解得 $$b^{2} = \frac{8}{9}a^{2}$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{3}$$。故选 B。
2. 题目解析：
椭圆的离心率 $$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，由 $$e = \frac{c}{a}$$ 和 $$c^{2} = a^{2} - b^{2}$$，得 $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$$，平方后化简得 $$3a^{2} = 4(a^{2} - b^{2})$$，即 $$a^{2} = 4b^{2}$$，因此 $$a = 2b$$。故选 B。
3. 题目解析：
椭圆 $$C$$ 的离心率 $$e_{1} = \frac{\sqrt{4 - 1}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。椭圆 $$D$$ 的方程为 $$\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{m} = 1$$，其离心率 $$e_{2} = \frac{\sqrt{9 - m}}{3}$$。两椭圆只有两个公共点，说明它们相切，联立方程解得 $$m = 4$$，因此 $$e_{2} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$。两离心率之积为 $$\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{15}}{6}$$。故选 B。
4. 题目解析：
椭圆的离心率 $$e = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，即 $$\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，得 $$c = \frac{\sqrt{3}}{3}a$$，$$b^{2} = a^{2} - c^{2} = \frac{2}{3}a^{2}$$。三角形 $$AF_{1}B$$ 的周长为 $$4\sqrt{3}$$，即 $$AF_{1} + BF_{1} + AB = 4\sqrt{3}$$。由椭圆性质，$$AF_{1} + AF_{2} = 2a$$，$$BF_{1} + BF_{2} = 2a$$，因此 $$AB = AF_{2} + BF_{2}$$，代入得 $$2a + 2a = 4\sqrt{3}$$，即 $$a = \sqrt{3}$$，$$b^{2} = 2$$。椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$$。故选 A。
5. 题目解析：
设椭圆右焦点为 $$F(c,0)$$，直线 $$AB$$ 经过原点，设 $$A(x_{1}, y_{1})$$，$$B(-x_{1}, -y_{1})$$。直线 $$AC$$ 经过 $$F$$，设 $$C(x_{2}, y_{2})$$。由 $$BF \perp AC$$，斜率乘积为 $$-1$$，即 $$\frac{y_{1}}{x_{1} + c} \cdot \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = -1$$。由 $$|BF| = 4|CF|$$，得 $$\sqrt{(x_{1} + c)^{2} + y_{1}^{2}} = 4\sqrt{(x_{2} - c)^{2} + y_{2}^{2}}$$。联立椭圆方程和比例关系，解得离心率 $$e = \frac{\sqrt{5}}{3}$$。故选 B。
6. 题目解析：
圆 $$C_{1}$$ 和 $$C_{2}$$ 的圆心分别为 $$(-c,0)$$ 和 $$(c,0)$$，半径均为 $$c$$。椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$，圆在椭圆内需满足圆心到椭圆边界的距离大于半径，即 $$\frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{0}{b^{2}} < 1$$ 且 $$c < b$$。由 $$c^{2} = a^{2} - b^{2}$$，得 $$a^{2} - b^{2} < b^{2}$$，即 $$a^{2} < 2b^{2}$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a} < \frac{\sqrt{2b^{2} - b^{2}}}{a} = \frac{b}{a}$$。由 $$a^{2} < 2b^{2}$$，得 $$e < \frac{\sqrt{2}}{2}$$。故选 D。
7. 题目解析：
曲线 $$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$$ 的焦点在 $$x$$ 轴上，焦距为 $$2\sqrt{9 - 5} = 4$$。曲线 $$\frac{x^{2}}{9 - k} + \frac{y^{2}}{5 - k} = 1$$ 的焦距为 $$2\sqrt{(9 - k) - (5 - k)} = 4$$，因此两曲线有相同的焦点。故选 B。
8. 题目解析：
椭圆的离心率 $$e = \frac{\sqrt{6}}{3}$$，即 $$\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$，得 $$c = \frac{\sqrt{6}}{3}a$$，$$b^{2} = a^{2} - c^{2} = \frac{1}{3}a^{2}$$。圆方程为 $$x^{2} + y^{2} = a^{2}$$，与直线 $$2x - \sqrt{2}y + 6 = 0$$ 相切，距离为 $$a$$，即 $$\frac{|6|}{\sqrt{4 + 2}} = a$$，得 $$a = \sqrt{3}$$，$$b^{2} = 1$$。椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$$。故选 B。
9. 题目解析：
椭圆焦距为 $$4$$，即 $$2c = 4$$，$$c = 2$$。离心率 $$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，即 $$\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，得 $$a = 2\sqrt{2}$$，$$b^{2} = a^{2} - c^{2} = 4$$。椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$$。故选 D。
10. 题目解析：
设 $$P(2a, y)$$，由等腰三角形性质，$$F_{2}P = F_{2}F_{1} = 2c$$，即 $$\sqrt{(2a - c)^{2} + y^{2}} = 2c$$。直线 $$PF_{1}$$ 的斜率为 $$\frac{1}{3}$$，即 $$\frac{y}{2a + c} = \frac{1}{3}$$，得 $$y = \frac{2a + c}{3}$$。代入距离公式，解得 $$c = \frac{3}{5}a$$，离心率 $$e = \frac{3}{5}$$。故选 C。