椭圆的定义-3.1 椭圆知识点课后进阶自测题解析-河北省等高一数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率60.0%已知点$${{P}}$$是椭圆$$C \colon\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$上一点，点$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$是椭圆$${{C}}$$的左、右焦点，若$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆半径的最大值为$${{a}{−}{c}}$$，则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）

A.$$\frac{\sqrt2} 3$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

2、['椭圆的离心率'， '椭圆的定义']

正确率60.0%若椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，离心率为$$\frac{\sqrt{3}} {3}，$$过$${{F}_{2}}$$的直线$${{l}}$$交$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点.若$${{Δ}{A}{{F}_{1}}{B}}$$的周长为$${{4}{\sqrt {3}}}$$，则该椭圆$${{C}}$$的方程是$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {2}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {3}+y^{2}=1$$

C.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {8}=1$$

D.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {4}=1$$

3、['椭圆的定义']

正确率60.0%椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在有一个水平放置的椭圆形台球盘，椭圆的方程为$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {9}=1，$$点$${{A}{，}{B}}$$是它的两个焦点，当静止的小球放在点$${{A}}$$处，从点$${{A}}$$沿直线出发，经椭圆壁两次反弹后，再回到点$${{A}}$$时，小球经过的路程是（）

A.$${{2}{0}}$$

B.$${{1}{8}}$$

C.$${{1}{6}}$$

D.以上均有可能

4、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']

正确率60.0%已知两定点$$A \left(-1， 0 \right)， \， \， \， B \left( 1， 0 \right)$$，动点$${{P}}$$满足$$| P A |+| P B |=2，$$则动点$${{P}}$$的轨迹是$${{(}{)}}$$

A.椭圆

B.双曲线

C.线段

D.射线

5、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']

正确率40.0%已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（）

6、['椭圆的定义'， '充分、必要条件的判定']

正确率60.0%$${{p}}$$:方程$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {2 a+3}=1$$表示的曲线是椭圆，$$q : a > 0$$，则$${{p}}$$是$${{q}}$$的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7、['平面上中点坐标公式'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']

正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {3}=1$$的左，右焦点分别为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，点$${{P}}$$在椭圆上，如果线段$${{P}{{F}_{1}}}$$的中点$${{M}}$$在$${{y}}$$轴上，那么$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}}$$是$${{|}{P}{{F}_{2}}{|}}$$的（）

A.$${{7}}$$倍

B.$${{5}}$$倍

C.$${{4}}$$倍

D.$${{3}}$$倍

8、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '直线和圆与其他知识的综合应用']

正确率60.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左右焦点分别是$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，以$${{F}_{2}}$$为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点$${{P}}$$，若直线$${{P}{{F}_{1}}}$$恰好与圆$${{F}_{2}}$$相切于点$${{P}}$$，
则椭圆的离心率为（）

A.$$\sqrt3-1$$

B.$$\frac{\sqrt3+1} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

D.$$\frac{{\sqrt5}-1} {2}$$

9、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']

正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {4 9}+\frac{y^{2}} {2 4}=1$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，点$${{A}}$$在椭圆上，且$$| A F_{2} |=6$$，则$${{△}{A}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积是（）

A.$${{4}{8}}$$

B.$${{4}{0}}$$

C.$${{3}{2}}$$

D.$${{2}{4}}$$

10、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']

正确率60.0%若点$${{P}}$$在椭圆$$\frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$上，$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$分别是椭圆的两焦点，且$$\angle F_{1} P F_{2}=9 0^{\circ}，$$则$${{Δ}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的面积是（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

1. 解析：

设椭圆的内切圆半径为$$r$$，三角形面积为$$S$$，半周长为$$p$$。由椭圆性质知$$PF_1 + PF_2 = 2a$$，$$F_1F_2 = 2c$$，故半周长$$p = a + c$$。面积$$S = rp = r(a + c)$$。又$$S = \frac{1}{2} \times 2c \times b = bc$$。联立得$$r(a + c) = bc$$，即$$r = \frac{bc}{a + c}$$。题目给出$$r_{\text{max}} = a - c$$，当$$P$$在短轴端点时$$r$$最大，此时$$b^2 = a^2 - c^2$$，代入得$$\frac{b^2}{a + c} = a - c$$，即$$b^2 = (a - c)(a + c) = a^2 - c^2$$恒成立。进一步化简得$$a^2 - c^2 = (a - c)^2$$，解得$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，故选C。

2. 解析：

椭圆离心率$$e = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，故$$c = \frac{\sqrt{3}}{3}a$$。由椭圆定义知$$AF_1 + AF_2 = 2a$$，$$BF_1 + BF_2 = 2a$$，因此$$\triangle AF_1B$$的周长为$$4a = 4\sqrt{3}$$，解得$$a = \sqrt{3}$$，$$c = 1$$，$$b^2 = a^2 - c^2 = 2$$。椭圆方程为$$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$$，故选A。

3. 解析：

椭圆方程为$$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$$，故$$a = 4$$，$$b = 3$$，$$c = \sqrt{7}$$。根据椭圆光学性质，小球从$$A$$出发经两次反射回到$$A$$，相当于沿椭圆长轴往返一次，路程为$$4a = 16$$，故选C。

4. 解析：

由$$|PA| + |PB| = 2$$且$$AB = 2$$，可知点$$P$$在线段$$AB$$上，故选C。

5. 解析：

设$$P(x, y)$$在直线$$y = x + 2$$上，椭圆焦距$$2c = AB = 2$$，故$$c = 1$$。椭圆定义要求$$PA + PB = 2a$$。计算$$PA + PB$$的最小值为$$AB = 2$$，此时$$P$$为线段$$AB$$中点，但$$P$$在直线$$y = x + 2$$上，需重新计算。设$$A(-1, 0)$$，$$B(1, 0)$$，$$P(x, x + 2)$$，则$$PA + PB = \sqrt{(x + 1)^2 + (x + 2)^2} + \sqrt{(x - 1)^2 + (x + 2)^2}$$。简化后得$$PA + PB \geq 2\sqrt{2}$$，故$$a \geq \sqrt{2}$$，离心率$$e = \frac{c}{a} \leq \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，故选B。

6. 解析：

方程表示椭圆需满足$$a^2 > 0$$且$$2a + 3 > 0$$且$$a^2 \neq 2a + 3$$，即$$a > 0$$且$$a \neq 3$$。$$p$$成立时$$q$$必成立，但$$q$$成立时$$p$$不一定成立（如$$a = 3$$），故$$p$$是$$q$$的充分不必要条件，故选A。

7. 解析：

椭圆$$\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{3} = 1$$中，$$a = 2\sqrt{3}$$，$$b = \sqrt{3}$$，$$c = 3$$。$$PF_1$$中点在$$y$$轴上，故$$P$$横坐标为$$3$$，代入椭圆方程得$$P(3, \frac{\sqrt{3}}{2})$$。计算得$$PF_1 = \frac{7}{2}$$，$$PF_2 = \frac{1}{2}$$，故$$PF_1$$是$$PF_2$$的7倍，故选A。

8. 解析：

由题意，$$PF_2$$为圆半径，故$$PF_2 = c$$。由椭圆定义$$PF_1 + PF_2 = 2a$$，得$$PF_1 = 2a - c$$。因$$PF_1$$与圆相切，故$$\angle F_1PF_2 = 90^\circ$$，由勾股定理得$$(2a - c)^2 = (2c)^2 + c^2$$，化简得$$4a^2 - 4ac + c^2 = 5c^2$$，即$$a^2 - ac - c^2 = 0$$。两边除以$$a^2$$得$$1 - e - e^2 = 0$$，解得$$e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$$，故选D。

9. 解析：

椭圆$$\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{24} = 1$$中，$$a = 7$$，$$b = 2\sqrt{6}$$，$$c = 5$$。由椭圆定义$$AF_1 + AF_2 = 2a = 14$$，已知$$AF_2 = 6$$，故$$AF_1 = 8$$。$$\triangle AF_1F_2$$三边为8、6、10，为直角三角形，面积$$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$$，故选D。

10. 解析：

椭圆$$\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$$中，$$a = \sqrt{2}$$，$$b = 1$$，$$c = 1$$。设$$P(x, y)$$，由椭圆定义$$PF_1 + PF_2 = 2\sqrt{2}$$，且$$\angle F_1PF_2 = 90^\circ$$。由勾股定理得$$PF_1^2 + PF_2^2 = 4c^2 = 4$$。设$$PF_1 = m$$，$$PF_2 = n$$，则$$m + n = 2\sqrt{2}$$，$$m^2 + n^2 = 4$$，解得$$mn = 2$$。面积$$S = \frac{1}{2}mn = 1$$，故选D。

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