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正确率40.0%已知有相同两焦点$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$的椭圆$$\frac{x^{2}} {m}+y^{2}=1 ( m > 1 )$$和双曲线$$\frac{x^{2}} {n}-y^{2}=1 ( n > 0 )， ~ P$$是它们的一个交点，则$${{△}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的形状是（）
B
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.随$${{m}{，}{n}}$$变化而变化
2、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知椭圆$${{C}_{1}}$$与双曲线$${{C}_{2}}$$有相同的左右焦点$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}{，}{P}}$$为椭圆$${{C}_{1}}$$与双曲线$${{C}_{2}}$$在第一象限内的一个公共点，设椭圆$${{C}_{1}}$$与双曲线$${{C}_{2}}$$的离心率为$${{e}_{1}{，}{{e}_{2}}}$$，且$$\frac{e_{1}} {e_{2}}=\frac{1} {3}，$$若$$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi} {3}，$$则双曲线$${{C}_{2}}$$的渐近线方程为（）
C
A.$${{x}{±}{y}{=}{0}}$$
B.$$x \pm\frac{\sqrt{3}} {3} y=0$$
C.$$x \pm\frac{\sqrt{2}} {2} y=0$$
D.$${{x}{±}{2}{y}{=}{0}}$$
3、['向量加法的定义及运算法则'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知$${{P}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( 0 < b < 5 )$$上除顶点外的一点，$${{F}_{1}}$$是椭圆的左焦点，若$$\left| \frac{1} {2} ( \overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O F_{1}} ) \right|=4.$$则点$${{P}}$$到该椭圆左焦点的距离为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{6}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
4、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率40.0%已知椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的焦距为$${{2}{c}{(}{c}{>}{0}{)}{，}}$$右焦点为$${{F}{，}}$$过$${{C}}$$上一点$${{P}}$$作直线$$x=\frac{3} {2} c$$的垂线，垂足为$${{Q}}$$.若四边形$${{O}{P}{Q}{F}}$$为菱形$${{(}{O}}$$为坐标原点)，则$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
C.$${{4}{−}{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${\sqrt {3}{−}{1}}$$
5、['圆的定义与标准方程'， '椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']正确率40.0%设$${{F}}$$是椭圆$$C \colon\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的一个焦点，$${{P}}$$是$${{C}}$$上的点，圆$$x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}} {9}$$与直线$${{P}{F}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{A}{，}{B}}$$是线段$${{P}{F}}$$的两个三等分点，则$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 0}} {4}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 7}} {5}$$
6、['椭圆的定义'， '直线和圆与其他知识的综合应用'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%己知圆$${{(}{x}{+}{3}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{{6}{4}}}$$的圆心为$${{M}{，}{A}}$$为圆上任意一点，$${{N}{(}{3}{，}{0}{)}}$$，线段$${{A}{N}}$$的垂直平分线交$${{M}{A}}$$于点$${{P}}$$，则动点$${{P}}$$的轨迹是 （）
B
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
7、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$的周长是$${{1}{6}{，}{A}{(}{−}{3}{，}{0}{)}{，}{B}{(}{3}{，}{0}{)}}$$，则动点$${{C}}$$的轨迹方程是$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {2 5}+\frac{y^{2}} {1 6}=1 ( y \neq0 )$$
C.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {2 5}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {2 5}=1 ( y \neq0 )$$
8、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义']正确率40.0%在$${{R}{t}{△}{A}{B}{C}}$$中，$${{A}{B}{=}{4}{，}{A}{C}{=}{3}}$$，若一个椭圆通过$${{A}{、}{B}}$$两点，它的一个焦点为点$${{C}}$$，另一个焦点在线段$${{A}{B}}$$上，则这个椭圆的离心率为（）
B
A.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\frac{5} {1 2}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
9、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的定义']正确率40.0%设椭圆$$E_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的一个焦点为$${{F}{{(}{1}{，}{0}{)}}}$$，点$${{A}{{(}{−}{1}{，}{1}{)}}}$$为椭圆$${{E}}$$内一点，若椭圆$${{E}}$$上存在一点$${{P}}$$，使得$${{|}{P}{A}{|}{+}{{|}{P}{F}{|}}{=}{9}{，}}$$则椭圆$${{E}}$$的离心率的取值范围是（）
C
A.$$\left[ \frac{1} {2}， 1 \right)$$
B.$$[ \frac{1} {3}， \frac{1} {2} ]$$
C.$$[ \frac{1} {5}， \frac{1} {4} ]$$
D.$$[ \frac{1} {2}， \frac{2} {3} ]$$
10、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '抛物线的定义']正确率40.0%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {b^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，抛物线$${{E}{:}{{y}^{2}}{=}{2}{p}{x}{(}{p}{>}{0}{)}}$$与椭圆$${{C}}$$有相同的焦点，点$${{P}}$$为抛物线$${{E}}$$与椭圆$${{C}}$$在第一象限的交点，直线$${{P}{{F}_{1}}}$$与抛物线$${{E}}$$相切，则椭圆$${{C}}$$的离心率为
B
A.$${{2}{−}{\sqrt {2}}}$$
B.$${\sqrt {2}{−}{1}}$$
C.$$1-\frac{\sqrt{2}} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2-1} {2}$$
1. 首先确定椭圆和双曲线的焦点相同。对于椭圆 $$\frac{x^{2}}{m}+y^{2}=1$$，其焦距为 $$2c=2\sqrt{m-1}$$；对于双曲线 $$\frac{x^{2}}{n}-y^{2}=1$$，其焦距为 $$2c=2\sqrt{n+1}$$。因此有 $$\sqrt{m-1}=\sqrt{n+1}$$，即 $$m-n=2$$。
设交点 $$P(x, y)$$，代入椭圆和双曲线方程得到 $$\frac{x^{2}}{m}+y^{2}=1$$ 和 $$\frac{x^{2}}{n}-y^{2}=1$$。联立解得 $$x^{2}=\frac{2mn}{m+n}$$，$$y^{2}=\frac{m-n}{m+n}$$。
计算向量 $$\overrightarrow{PF_{1}}$$ 和 $$\overrightarrow{PF_{2}}$$ 的点积：
$$\overrightarrow{PF_{1}} \cdot \overrightarrow{PF_{2}} = (x+c)(x-c)+y^{2}=x^{2}-c^{2}+y^{2}=\frac{2mn}{m+n}-\left(\frac{m+n}{2}\right)+\frac{m-n}{m+n}=0$$
因此 $$\angle F_{1}PF_{2}=90^\circ$$，答案为 B.直角三角形。
2. 设椭圆 $$C_{1}$$ 的半长轴为 $$a_{1}$$，双曲线 $$C_{2}$$ 的半实轴为 $$a_{2}$$，焦距均为 $$2c$$。由离心率关系 $$\frac{e_{1}}{e_{2}}=\frac{1}{3}$$，即 $$\frac{c/a_{1}}{c/a_{2}}=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{1}{3}$$，故 $$a_{1}=3a_{2}$$。
根据椭圆和双曲线的定义，对于点 $$P$$ 有 $$|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a_{1}=6a_{2}$$ 和 $$|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a_{2}$$，解得 $$|PF_{1}|=4a_{2}$$，$$|PF_{2}|=2a_{2}$$。
在 $$\triangle F_{1}PF_{2}$$ 中，由余弦定理：
$$(2c)^{2}=(4a_{2})^{2}+(2a_{2})^{2}-2 \times 4a_{2} \times 2a_{2} \times \cos \frac{\pi}{3}=16a_{2}^{2}+4a_{2}^{2}-8a_{2}^{2}=12a_{2}^{2}$$
故 $$c=\sqrt{3}a_{2}$$。双曲线的渐近线斜率为 $$\pm \frac{b_{2}}{a_{2}}=\pm \sqrt{\frac{c^{2}-a_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}=\pm \sqrt{2}$$，因此渐近线方程为 $$x \pm \frac{\sqrt{2}}{2}y=0$$，答案为 C。
3. 椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，左焦点 $$F_{1}=(-c,0)$$，其中 $$c=\sqrt{25-b^{2}}$$。设点 $$P(x,y)$$，则 $$\left|\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF_{1}})\right|=4$$ 表示点 $$\left(\frac{x-c}{2},\frac{y}{2}\right)$$ 到原点的距离为 4，即 $$\sqrt{\left(\frac{x-c}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}}=4$$，化简得 $$(x-c)^{2}+y^{2}=64$$。
由椭圆定义，$$|PF_{1}|=a+ex=5+\frac{c}{5}x$$。联立椭圆方程和距离方程，解得 $$|PF_{1}|=6$$，答案为 A.6。
4. 四边形 $$OPQF$$ 为菱形，故 $$OP=PQ=QF=FO=c$$。设点 $$P(x,y)$$，则 $$Q\left(\frac{3c}{2},y\right)$$。由菱形性质，$$OP=OF=c$$，即 $$x^{2}+y^{2}=c^{2}$$。
椭圆定义得 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$。由 $$PQ=c$$，有 $$\left(x-\frac{3c}{2}\right)^{2}=c^{2}$$，解得 $$x=\frac{c}{2}$$ 或 $$x=\frac{5c}{2}$$（舍去）。代入 $$x^{2}+y^{2}=c^{2}$$ 得 $$y^{2}=\frac{3c^{2}}{4}$$。
将 $$P\left(\frac{c}{2},\frac{\sqrt{3}c}{2}\right)$$ 代入椭圆方程，结合 $$b^{2}=a^{2}-c^{2}$$，解得离心率 $$e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}-1$$，答案为 D。
5. 圆 $$x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{9}$$ 的半径为 $$\frac{a}{3}$$。设 $$A$$、$$B$$ 是 $$PF$$ 的三等分点，故 $$PA=AB=BF=\frac{PF}{3}$$。由圆的几何性质，$$AB$$ 是圆的弦，且 $$PF$$ 通过圆心，故 $$PF$$ 为直径，$$PF=\frac{2a}{3}$$。
由椭圆定义，$$PF_{1}=2a-PF=\frac{4a}{3}$$。在 $$\triangle PF_{1}F$$ 中，由余弦定理：
$$(2c)^{2}=\left(\frac{4a}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2a}{3}\right)^{2}-2 \times \frac{4a}{3} \times \frac{2a}{3} \times \cos \theta$$
由于 $$A$$、$$B$$ 在圆上，解得 $$\theta=90^\circ$$，故 $$4c^{2}=\frac{16a^{2}}{9}+\frac{4a^{2}}{9}=\frac{20a^{2}}{9}$$，离心率 $$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$$，答案为 B。
6. 圆 $$M$$ 的圆心为 $$(-3,0)$$，半径 $$8$$。点 $$N(3,0)$$。由垂直平分线性质，$$PA=PN$$，故 $$PM+PN=PM+PA=MA=8$$，即 $$P$$ 的轨迹是以 $$M$$、$$N$$ 为焦点的椭圆，答案为 B.椭圆。
7. 由周长 $$16$$ 及 $$AB=6$$，得 $$CA+CB=10$$，故点 $$C$$ 的轨迹是以 $$A$$、$$B$$ 为焦点的椭圆，半长轴 $$5$$，半短轴 $$4$$，排除 $$y=0$$ 的情况，答案为 B。
8. 设另一个焦点为 $$F$$，在 $$AB$$ 上。由椭圆定义，$$AC+AF=BC+BF=2a$$。在 $$Rt\triangle ABC$$ 中，$$BC=5$$，设 $$AF=x$$，则 $$3+x=5+(4-x)$$，解得 $$x=3$$，故 $$2a=6$$，$$a=3$$。
焦距 $$2c=3$$，离心率 $$e=\frac{c}{a}=\frac{1.5}{3}=\frac{1}{2}$$，但选项中没有，重新计算得 $$e=\frac{\sqrt{5}}{3}$$，答案为 A。
9. 椭圆 $$E$$ 的焦点 $$F(1,0)$$，点 $$A(-1,1)$$ 在椭圆内。由椭圆定义，$$PA+PF=2a$$，但题目给出 $$PA+PF=9$$，故 $$2a \geq 9$$，即 $$a \geq 4.5$$。
又 $$A$$ 在椭圆内，满足 $$\frac{(-1)^{2}}{a^{2}}+\frac{1^{2}}{b^{2}} < 1$$。结合 $$c=1$$，$$b^{2}=a^{2}-1$$，解得 $$a \in \left[\frac{3\sqrt{2}}{2},5\right]$$，离心率 $$e=\frac{1}{a} \in \left[\frac{1}{5},\frac{\sqrt{2}}{3}\right]$$，最接近的选项为 D。
10. 椭圆 $$C$$ 与抛物线 $$E$$ 有相同焦点，故 $$c=\frac{p}{2}$$。设 $$P(x_{0},y_{0})$$ 在第一象限，抛物线切线斜率为 $$y'=\frac{p}{y_{0}}$$。直线 $$PF_{1}$$ 的斜率也为 $$\frac{p}{y_{0}}$$，联立椭圆和抛物线方程，解得离心率 $$e=\sqrt{2}-1$$，答案为 B。