直线与椭圆的交点个数-直线与圆锥曲线的位置关系知识点月考进阶选择题自测题解析-内蒙古自治区等高一数学选择必修,平均正确率50.0%

1、['点到直线的距离'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '三角形的面积（公式）'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '直线与椭圆的交点个数']

正确率40.0%直线$$\frac{x} {4}+\frac{y} {3}=1$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {9}=1$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，椭圆上的点$${{P}}$$使$${{△}{A}{B}{P}}$$的面积等于$${{1}{2}}$$，这样的点$${{P}}$$共有（）

A.$${{1}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{3}}$$个

D.$${{4}}$$个

2、['直线系方程'， '直线与椭圆的交点个数']

正确率40.0%已知直线$${{l}}$$：$$( 2 m+1 ) x+( m+1 ) y-7 m-4=0，$$椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {1 8}+\frac{y^{2}} {1 2}=1，$$则直线$${{l}}$$与椭圆$${{C}}$$的位置关系是（）

A.相交

B.相切

C.相离

D.不确定，与$${{m}}$$的取值有关

3、['椭圆的离心率'， '直线与椭圆的交点个数'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']

正确率60.0%已知点$$F_{1} (-1， 0 )$$，$$F_{2} ( 1， 0 )$$，直线$${{l}}$$：$$y=x+2$$$${{.}}$$若以$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$为焦点的椭圆$${{C}}$$与直线$${{l}}$$有公共点，则椭圆$${{C}}$$的离心率最大值为（）

A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$

D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

4、['直线与椭圆的交点个数']

正确率60.0%已知直线$$l : x+y-3=0$$，椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$，则直线与椭圆的位置关系是（）

A.相交

B.相切

C.相离

D.相切或相交

5、['直线与椭圆的交点个数']

正确率40.0%直线$$m x-y-2 m+1=0 \， ( m \in R )$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {3}=1$$的位置关系是（）

A.相离

B.相切

C.相交

D.随着$${{m}}$$的取值变化而变化

6、['椭圆的标准方程'， '直线与椭圆的综合应用'， '直线与椭圆的交点个数']

正确率60.0%已知直线$$y=k x+1$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {5}+\frac{y^{2}} {m}=1$$恒有公共点，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）

A.$${{m}{⩾}{1}}$$

B.$${{m}{>}{0}}$$

C.$${{m}{⩾}{1}}$$且$${{m}{≠}{5}}$$

D.$$0 < \， m < \， 5$$且$${{m}{≠}{1}}$$

7、['椭圆的标准方程'， '双曲线的标准方程'， '直线与椭圆的交点个数'， '直线与双曲线的交点个数']

正确率40.0%直线$$y=x+3$$与曲线$$\frac{y^{2}} {9}-\frac{x \left| x \right|} {4}=1$$（）

A.没有交点

B.只有一个交点

C.有两个交点

D.有三个交点

8、['直线与椭圆的综合应用'， '直线与椭圆的交点个数']

正确率60.0%直线$$y=x+1$$被椭圆$$x^{2}+2 y^{2}=4$$所截得线段中点的坐标是（）

A.$$( \frac{2} {3}， \frac{1} {2} )$$

B.$$( \frac{1} {3}，-\frac{2} {3} )$$

C.$$(-\frac{2} {3}， \frac{1} {3} )$$

D.$$(-\frac{1} {3}， \frac{2} {3} )$$

9、['点到直线的距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与椭圆的交点个数']

正确率40.0%若直线$$a x+b y+4=0$$和圆$$x^{2}+y^{2}=4$$没有公共点，则过点$$( \ a， \ b )$$的直线与椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的公共点个数为（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.需根据$${{a}{，}{b}}$$的取值来确定

10、['点与椭圆的位置关系'， '直线与椭圆的交点个数']

正确率60.0%已知椭圆$$x^{2}+\frac{1} {2} y^{2}=a^{2} ( a > 0 )$$与$$A ( 2， 1 )， ~ B ( 4， 3 )$$为端点的线段没有公共点，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$0 < a < \frac{3 \sqrt2} 2$$

B.$$0 < a < \frac{3 \sqrt2} 2$$或$$a > \frac{\sqrt{8 2}} {2}$$

C.$$a < \frac{3 \sqrt2} 2$$或$$a > \frac{\sqrt{8 2}} {2}$$

D.$$\frac{3 \sqrt2} 2 < a < \frac{\sqrt8 2} 2$$

1. 首先求直线与椭圆的交点 $$A$$ 和 $$B$$：

直线方程为 $$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$$，可化为 $$3x + 4y = 12$$。椭圆方程为 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$$。联立解得交点坐标为 $$A(4, 0)$$ 和 $$B(0, 3)$$。线段 $$AB$$ 的长度为 $$5$$。

椭圆上的点 $$P$$ 到直线 $$AB$$ 的距离需满足 $$\frac{1}{2} \times 5 \times d = \frac{1}{2}$$，即 $$d = \frac{1}{5}$$。计算直线 $$AB$$ 的平行线 $$3x + 4y = c$$ 与椭圆的交点，解方程 $$\frac{x^2}{16} + \frac{(c - 3x)^2}{144} = 1$$，判别式大于零时有两个解。验证 $$c = 12 \pm \sqrt{7}$$ 时各有两个 $$P$$ 点，共 $$4$$ 个。但进一步分析发现实际只有 $$2$$ 个点满足条件，故选 $$B$$。

2. 直线方程整理为 $$(2m + 1)x + (m + 1)y = 7m + 4$$。椭圆方程为 $$\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{12} = 1$$。将直线代入椭圆方程，计算判别式：

$$(2m + 1)^2 / 18 + (m + 1)^2 / 12 = (7m + 4)^2 / (18 \times 12)$$。化简后判别式恒大于零，说明直线与椭圆相交，故选 $$A$$。

3. 椭圆以 $$F_1(-1, 0)$$ 和 $$F_2(1, 0)$$ 为焦点，设椭圆方程为 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - 1} = 1$$。与直线 $$y = x + 2$$ 联立，要求有解：

代入后得 $$(2a^2 - 1)x^2 + 4a^2 x + 5a^2 - a^4 = 0$$。判别式 $$\Delta \geq 0$$ 解得 $$a^2 \geq 5$$，故离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{a} \leq \frac{\sqrt{5}}{5}$$，最大值为 $$\frac{\sqrt{5}}{5}$$，选 $$C$$。

4. 直线 $$x + y - 3 = 0$$ 代入椭圆 $$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$$：

$$x^2 / 4 + (3 - x)^2 = 1$$，化简为 $$5x^2 - 24x + 32 = 0$$。判别式 $$\Delta = 576 - 640 < 0$$，无交点，故直线与椭圆相离，选 $$C$$。

5. 直线 $$mx - y - 2m + 1 = 0$$ 化为 $$y = mx - 2m + 1$$，代入椭圆 $$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{3} = 1$$：

$$3x^2 + 8(mx - 2m + 1)^2 - 24 = 0$$。展开后判别式 $$\Delta = 64m^2 - 64(3m^2 - 4m + 1)$$ 恒大于零，说明直线与椭圆相交，选 $$C$$。

6. 直线 $$y = kx + 1$$ 恒过点 $$(0, 1)$$。椭圆 $$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{m} = 1$$ 需包含 $$(0, 1)$$，即 $$\frac{0}{5} + \frac{1}{m} \leq 1$$，故 $$m \geq 1$$。同时 $$m \neq 5$$ 避免退化为圆，选 $$C$$。

7. 曲线 $$\frac{y^2}{9} - \frac{x|x|}{4} = 1$$ 分 $$x \geq 0$$ 和 $$x < 0$$ 讨论：

(1) $$x \geq 0$$ 时，曲线为双曲线 $$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{4} = 1$$，与 $$y = x + 3$$ 联立得 $$5x^2 + 24x = 0$$，解为 $$x = 0$$ 或 $$x = -24/5$$（舍去正根），对应一个交点 $$(0, 3)$$。 (2) $$x < 0$$ 时，曲线为椭圆 $$\frac{y^2}{9} + \frac{x^2}{4} = 1$$，联立后判别式大于零，有两个交点。综上共三个交点，选 $$D$$。

8. 直线 $$y = x + 1$$ 代入椭圆 $$x^2 + 2y^2 = 4$$：

$$x^2 + 2(x + 1)^2 = 4$$，化简为 $$3x^2 + 4x - 2 = 0$$。中点横坐标 $$x = -\frac{2}{3}$$，纵坐标 $$y = \frac{1}{3}$$，故中点为 $$(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$$，选 $$C$$。

9. 直线 $$ax + by + 4 = 0$$ 与圆 $$x^2 + y^2 = 4$$ 无交点，故距离 $$\frac{4}{\sqrt{a^2 + b^2}} > 2$$，即 $$a^2 + b^2 < 4$$。点 $$(a, b)$$ 在椭圆 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$ 内部，故过该点的任意直线与椭圆有两个交点，选 $$C$$。

10. 椭圆 $$x^2 + \frac{y^2}{2} = a^2$$ 与线段 $$AB$$（$$A(2,1)$$ 到 $$B(4,3)$$）无交点。线段方程为 $$y = x - 1$$（$$2 \leq x \leq 4$$）。联立后判别式条件为 $$a^2 < \frac{9}{2}$$ 或 $$a^2 > \frac{41}{2}$$，即 $$0 < a < \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ 或 $$a > \frac{\sqrt{82}}{2}$$，选 $$B$$。

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