直线与抛物线的交点个数-直线与圆锥曲线的位置关系知识点月考进阶选择题自测题解析-新疆维吾尔自治区等高一数学选择必修,平均正确率54.0%

1、['充分、必要条件的判定'， '直线与抛物线的综合应用'， '直线与抛物线的交点个数']

正确率40.0%已知抛物线$${{C}{:}{{y}^{2}}{=}{x}}$$与直线$${{l}{:}{y}{=}{k}{x}{+}{1}}$$，则$${{“}{k}{=}{0}{”}}$$是$${{“}}$$直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$有且只有一个公共点$${{”}}$$的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.即不充分又不必要条件

2、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '直线与抛物线的交点个数']

正确率60.0%已知抛物线$${{C}}$$：$${{x}^{2}{=}{2}{a}{y}{(}{a}{≠}{0}{)}}$$的准线方程为$${{y}{=}{1}{，}}$$且$${{C}}$$与直线$${{y}{=}{−}{x}{+}{b}}$$相切，则$${{b}{=}}$$（）

A.$${{2}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{−}{2}}$$

3、['直线的点斜式方程'， '直线与抛物线的交点个数']

正确率40.0%过点$${{(}{2}{，}{0}{)}}$$与抛物线$${{x}^{2}{=}{{1}{6}}{y}}$$只有一个公共点的直线有$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$条

B.$${{2}}$$条

C.$${{3}}$$条

D.无数条

4、['直线与抛物线的综合应用'， '直线与抛物线的交点个数'， '与圆有关的轨迹问题']

正确率40.0%已知直角坐标平面$${{O}{−}{X}{Y}}$$上的动点$${{P}}$$到定点$${{F}{（}{1}{，}{0}{）}}$$的距离比它到$${{y}}$$轴的距离多$${{1}}$$，记$${{P}}$$点的轨迹为曲线$${{C}}$$，则直线$${{l}{：}{2}{x}{−}{3}{y}{+}{4}{=}{0}}$$与曲线$${{C}}$$的交点的个数为（）

A.$${{0}}$$个

B.$${{1}}$$个

C.$${{2}}$$个

D.$${{3}}$$个

5、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '直线与抛物线的交点个数']

正确率40.0%抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{2}{p}{x}}$$的准线交$${{x}}$$轴于点$${{M}}$$，过点$${{M}}$$的直线交抛物线于$${{N}{，}{Q}}$$两点，$${{F}}$$为抛物线的焦点，若$${{∠}{N}{F}{Q}{=}{{9}{0}^{∘}}{，}}$$则直线$${{N}{Q}}$$的斜率$${{k}{（}{k}{>}{0}{）}}$$为（）

A.$${{2}}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

6、['平面解析几何的新定义问题'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '直线与抛物线的交点个数']

正确率60.0%对于曲线$${{C}_{1}{，}{{C}_{2}}}$$，若存在点$${{P}}$$和常数$${{k}{（}{k}{≠}{0}{）}}$$，过点$${{P}}$$任意引射线分别交$${{C}_{1}{，}{{C}_{2}}}$$于点$${{M}_{1}{，}{{M}_{2}}}$$，若$$\frac{| P M_{1} |} {| P M_{2} |}=k，$$那么称曲线$${{C}_{1}}$$与$${{C}_{2}}$$相似，相似比为$${{k}}$$，点$${{P}}$$为相似中心，则下面各组曲线中，原点是其相似中心的相似曲线有（）
$${①{{y}^{2}}{=}{4}{x}{，}{{y}^{2}}{=}{2}{x}{；}{②}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{1}{，}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{2}}$$；
$$\oplus\， \frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1， \， \， \， x^{2}+\frac{y^{2}} {2}=1， \， \， \， \oplus\， \， x^{2}-y^{2}=1， \， \， \， x^{2}-y^{2}=2$$．

A.$${{1}}$$对

B.$${{2}}$$对

C.$${{3}}$$对

D.$${{4}}$$对

7、['抛物线的其他性质'， '直线与抛物线的交点个数']

正确率60.0%设抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$的准线与$${{x}}$$轴交于点$${{Q}}$$，若过点$${{Q}}$$的直线$${{l}}$$与抛物线有公共点，则直线$${{l}}$$的斜率的取值范围是（）

A.$$[-\frac{1} {2}， ~ \frac{1} {2} ]$$

B.$${{[}{−}{2}{，}{2}{]}}$$

C.$${{[}{−}{1}{，}{1}{]}}$$

D.$${{[}{−}{4}{，}{4}{]}}$$

8、['函数的最大(小)值'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围'， '命题的真假性判断'， '直线与抛物线的交点个数']

正确率40.0%有下列四个命题，
$${①}$$若点$${{P}}$$在椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {5}=1$$上，左焦点为$${{F}}$$，则$${{|}{P}{F}{|}}$$长的取值范围为$${{[}{1}{，}{5}{]}}$$；
$${②}$$方程$${{x}{=}{\sqrt {{y}^{2}{+}{1}}}}$$表示双曲线的一部分；
$${③}$$过点$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$的直线$${{l}}$$与抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$有且只有一个公共点，则这样的直线$${{l}}$$共有$${{3}}$$条；
$${④}$$函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{3}}{−}{2}{{x}^{2}}{+}{1}}$$在$${{(}{−}{1}{，}{2}{)}}$$上有最小值，也有最大值．
其中真命题的个数是$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

9、['抛物线上点坐标的范围'， '直线与抛物线的交点个数']

正确率60.0%过点$${{(}{2}{，}{4}{)}}$$作直线$${{l}}$$，与抛物线$${{y}^{2}{=}{8}{x}}$$只有一个公共点，这样的直线$${{l}}$$有（）

A.$${{1}}$$条

B.$${{2}}$$条

C.$${{3}}$$条

D.$${{4}}$$条

1. 解析：

将直线方程代入抛物线方程得：$$y^2 = (kx + 1)^2 = x$$，即$$k^2x^2 + (2k - 1)x + 1 = 0$$。当$$k = 0$$时，方程变为$$-x + 1 = 0$$，有唯一解$$x = 1$$，此时直线与抛物线有一个公共点。但反过来，当直线与抛物线相切时，判别式$$\Delta = (2k - 1)^2 - 4k^2 = -4k + 1 = 0$$，解得$$k = \frac{1}{4}$$，此时也有一个公共点。因此$$k = 0$$是充分但不必要条件，答案为$$A$$。

2. 解析：

抛物线$$x^2 = 2ay$$的准线为$$y = -\frac{a}{2}$$，由题意得$$-\frac{a}{2} = 1$$，故$$a = -2$$。抛物线方程为$$x^2 = -4y$$。将其与直线$$y = -x + b$$联立，得$$x^2 = -4(-x + b)$$，即$$x^2 - 4x + 4b = 0$$。因为相切，判别式$$\Delta = 16 - 16b = 0$$，解得$$b = 1$$，答案为$$B$$。

3. 解析：

过点$$(2, 0)$$的直线可设为$$y = k(x - 2)$$。将其代入抛物线$$x^2 = 16y$$得$$x^2 = 16k(x - 2)$$，即$$x^2 - 16kx + 32k = 0$$。若直线与抛物线只有一个公共点，判别式$$\Delta = 256k^2 - 128k = 0$$，解得$$k = 0$$或$$k = \frac{1}{2}$$。此外，直线$$x = 2$$也与抛物线只有一个交点$$(2, \frac{1}{4})$$。因此共有$$3$$条直线满足条件，答案为$$C$$。

4. 解析：

设动点$$P(x, y)$$，由题意得$$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = |x| + 1$$。当$$x \geq 0$$时，化简得$$y^2 = 4x$$；当$$x < 0$$时，化简得$$y^2 = 0$$，即$$y = 0$$。因此曲线$$C$$为抛物线$$y^2 = 4x$$和$$y = 0$$（$$x < 0$$）。将直线$$2x - 3y + 4 = 0$$代入$$y^2 = 4x$$得$$y^2 = 4\left(\frac{3y - 4}{2}\right)$$，即$$y^2 - 6y + 8 = 0$$，解得$$y = 2$$或$$y = 4$$，对应两个交点。直线与$$y = 0$$（$$x < 0$$）无交点。因此共有$$2$$个交点，答案为$$C$$。

5. 解析：

抛物线$$y^2 = 2px$$的准线为$$x = -\frac{p}{2}$$，故$$M\left(-\frac{p}{2}, 0\right)$$。设直线$$NQ$$的斜率为$$k$$，方程为$$y = k\left(x + \frac{p}{2}\right)$$。将其代入抛物线方程得$$k^2x^2 + (k^2p - 2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$$。设$$N(x_1, y_1)$$，$$Q(x_2, y_2)$$，则$$x_1 + x_2 = \frac{2p - k^2p}{k^2}$$，$$x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$$。焦点$$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$，由$$∠NFQ = 90^\circ$$得$$\overrightarrow{FN} \cdot \overrightarrow{FQ} = 0$$，即$$(x_1 - \frac{p}{2})(x_2 - \frac{p}{2}) + y_1y_2 = 0$$。化简得$$k = \sqrt{2}$$，答案为$$B$$。

6. 解析：

对于曲线组①，原点$$O$$到$$y^2 = 4x$$上点$$(x, y)$$的距离为$$\sqrt{x^2 + y^2}$$，到$$y^2 = 2x$$上点$$(x', y')$$的距离为$$\sqrt{x'^2 + y'^2}$$。若$$\frac{|OM_1|}{|OM_2|} = k$$，则需$$\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\sqrt{x'^2 + y'^2}} = k$$，但$$y^2 = 4x$$和$$y^2 = 2x$$不满足比例关系，故①不符合。对于②，两圆同心，原点为中心，相似比为$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$，符合。对于③，两椭圆关于原点对称，相似比为$$\sqrt{2}$$，符合。对于④，两双曲线关于原点对称，相似比为$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$，符合。因此共有$$3$$对曲线符合条件，答案为$$C$$。

7. 解析：

抛物线$$y^2 = 4x$$的准线为$$x = -1$$，故$$Q(-1, 0)$$。设直线$$l$$的斜率为$$k$$，方程为$$y = k(x + 1)$$。将其代入抛物线方程得$$k^2x^2 + (2k^2 - 4)x + k^2 = 0$$。若直线与抛物线有交点，判别式$$\Delta = (2k^2 - 4)^2 - 4k^4 \geq 0$$，解得$$-1 \leq k \leq 1$$，答案为$$C$$。

8. 解析：

①椭圆$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$$的左焦点为$$F(-2, 0)$$，$$|PF|$$的最小值为$$a - c = 3 - 2 = 1$$，最大值为$$a + c = 5$$，正确。②方程$$x = \sqrt{y^2 + 1}$$表示双曲线$$x^2 - y^2 = 1$$的$$x \geq 1$$部分，正确。③过$$(0, 2)$$的直线与抛物线$$y^2 = 4x$$相切时有一条（斜率为$$1$$或$$-1$$），平行于$$x$$轴时有一条（$$y = 2$$），共$$2$$条，错误。④函数$$f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$$在$$(-1, 2)$$内有极值点，既有最小值也有最大值，正确。因此真命题有$$3$$个，答案为$$C$$。

9. 解析：

过点$$(2, 4)$$的直线可设为$$y - 4 = k(x - 2)$$。将其代入抛物线$$y^2 = 8x$$得$$(k(x - 2) + 4)^2 = 8x$$。展开后判别式$$\Delta = 0$$时解得$$k = 1$$或$$k = -2$$。此外，直线$$x = 2$$也与抛物线有一个交点$$(2, 4)$$。因此共有$$3$$条直线满足条件，答案为$$C$$。

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