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正确率40.0%设抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=8 x$$的焦点为$${{F}}$$，过点$$(-1， 0 )$$且斜率为$${{k}}$$的直线与$${{C}}$$交于第一象限$${{M}{，}{N}}$$两点，若$$\overrightarrow{M F} \cdot\overrightarrow{F N}=-1，$$则$${{k}{=}{（}}$$）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
2、['直线与抛物线的交点个数']正确率60.0%已知抛物线$${{C}_{1}}$$：$$x^{2}=2 p y ( p > 0 )$$与圆$${{C}_{2}}$$：$$x^{2}+y^{2}=8$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$$| A B |=4$$.现有如下$${{3}}$$条直线：①$${{l}_{1}}$$：$${{y}{=}{0}}$$；②$${{l}_{2}}$$：$${{x}{=}{3}}$$；③$${{l}_{3}}$$：$$2 x-y-2=0$$.则与抛物线$${{C}_{1}}$$只有$${{1}}$$个交点的直线的条数为（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
3、['两点间的斜率公式'， '一元二次方程根与系数的关系'， '平面上中点坐标公式'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的交点个数'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x， ~ p > 0$$的焦点为$${{F}}$$，过焦点的直线$${{l}}$$交抛物线$${{C}}$$与$${{M}{，}{N}}$$两点，设$${{M}{N}}$$的中点为$${{G}}$$，则直线$${{O}{G}}$$的斜率的最大值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
5、['一元二次方程根与系数的关系'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题'， '抛物线的其他性质'， '直线与抛物线的交点个数'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=4 x$$的准线与$${{x}}$$轴交于点$${{H}}$$，直线$${{l}}$$过$${{H}}$$与该抛物线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，$${{O}}$$为坐标原点，$${{C}}$$为线段$${{O}{A}}$$的中点，延长$${{O}{B}}$$到$${{D}}$$，使$$O D=2 O B$$，设$${{C}{，}{D}}$$在$${{y}}$$轴上的射影分别为$${{P}{，}{Q}}$$，当则$$| O P |+| O Q |$$的值最小时，直线$${{l}}$$的方程为（）
A
A.$$4 x-5 y+4=0$$或$$4 x+5 y+4=0$$
B.$$x-y+1=0$$或$$x+y+1=0$$
C.$$5 x-4 y+5=0$$或$$5 x+4 y+5=0$$
D.$$4 x-3 y+4=0$$或$$4 x+3 y+4=0$$
6、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，直线$${{l}}$$过点$${{F}}$$交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| F A |=3， \， \， \， | F B |=1$$，则$${{p}{=}{（}}$$）
C
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{3}}$$
7、['直线与抛物线的交点个数']正确率60.0%已知抛物线$$C_{:} y^{2}=4 x$$，若过点$$P \， (-2， 0 )$$作直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两个不同点，且直线$${{l}}$$的斜率为$${{k}}$$，则$${{k}}$$的取值范围是（）
A
A.$$\left(-\frac{\sqrt{2}} {2}， 0 \right) \cup\left( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$
B.$$\left[-\frac{\sqrt{2}} {2}， \frac{\sqrt{2}} {2} \right]$$
C.$$\left(-\frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} \right)$$
D.$$\left(-\frac{\sqrt{3}} {2}， 0 \right) \cup\left( 0， \frac{\sqrt{3}} {2} \right)$$
8、['一元二次方程的解集'， '直线的两点式方程'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%已知抛物线$${{C}}$$的方程为$$x^{2}=\frac{1} {2} y$$，过点$$A ( 0，-4 )$$和点$$B ( t， 0 )$$的直线与抛物线$${{C}}$$没有公共点，则实数$${{t}}$$取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$(-\infty，-1 ) \cup( 1，+\infty)$$
B.$$(-\infty，-\frac{\sqrt{2}} {2} ) \cup( \frac{\sqrt{2}} {2}，+\infty)$$
C.$$(-\infty，-2 \sqrt{2} ) \cup( 2 \sqrt{2}，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-\sqrt{2} ) \cup( \sqrt{2}，+\infty)$$
9、['抛物线的标准方程'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%若直线$$y=k x-2$$与抛物线$$y^{2}=8 x$$交于$${{A}{，}{B}}$$两个不同的点，且线段$${{A}{B}}$$的中点的横坐标为$${{2}}$$，则$${{k}{=}{{(}{)}}}$$
A
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$或$${{−}{1}}$$
D.$${{1}{±}{\sqrt {5}}}$$
10、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的其他性质'， '直线与抛物线的交点个数']正确率60.0%点$${{P}}$$是抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$上的一点，点$${{F}}$$是焦点，则以线段$${{P}{F}}$$为直径的圆与$${{y}}$$轴位置关系是（）
B
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上三种均有可能
1. 抛物线 $$C: y^2 = 8x$$ 的焦点为 $$F(2, 0)$$。过点 $$(-1, 0)$$ 且斜率为 $$k$$ 的直线方程为 $$y = k(x + 1)$$。将其代入抛物线方程得：
$$k^2(x + 1)^2 = 8x \Rightarrow k^2x^2 + (2k^2 - 8)x + k^2 = 0$$
设 $$M(x_1, y_1)$$ 和 $$N(x_2, y_2)$$ 为交点，由题意 $$x_1, x_2 > 0$$。根据向量点积条件：
$$\overrightarrow{MF} \cdot \overrightarrow{FN} = (x_1 - 2)(x_2 - 2) + y_1y_2 = -1$$
代入 $$y_1 = k(x_1 + 1)$$ 和 $$y_2 = k(x_2 + 1)$$，化简得：
$$(x_1 - 2)(x_2 - 2) + k^2(x_1 + 1)(x_2 + 1) = -1$$
利用韦达定理 $$x_1 + x_2 = \frac{8 - 2k^2}{k^2}$$ 和 $$x_1x_2 = 1$$，代入整理得：
$$(1 - 2(x_1 + x_2) + 4 + k^2(1 + (x_1 + x_2) + 1) = -1$$
解得 $$k = 2$$，故选 C。
2. 抛物线 $$C_1: x^2 = 2py$$ 与圆 $$C_2: x^2 + y^2 = 8$$ 交于 $$A, B$$ 两点，且 $$|AB| = 4$$。联立方程得：
$$y^2 + 2py - 8 = 0$$
设交点为 $$(a, b)$$ 和 $$(-a, b)$$，则 $$2a = 4 \Rightarrow a = 2$$。代入圆方程得 $$b = 2$$，故抛物线方程为 $$x^2 = 4y$$。
验证三条直线：
① $$l_1: y = 0$$ 与抛物线仅有一个交点 $$(0, 0)$$；
② $$l_2: x = 3$$ 与抛物线仅有一个交点 $$(3, \frac{9}{4})$$；
③ $$l_3: 2x - y - 2 = 0$$ 代入抛物线得 $$x^2 - 8x + 8 = 0$$，判别式为零，仅有一个交点。
因此有三条直线满足条件，故选 D。
3. 抛物线 $$C: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。设过焦点的直线为 $$y = k\left(x - \frac{p}{2}\right)$$，与抛物线联立得：
$$k^2x^2 - (k^2p + 2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$$
设 $$M(x_1, y_1)$$ 和 $$N(x_2, y_2)$$，中点 $$G\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$。由韦达定理：
$$x_1 + x_2 = p + \frac{2p}{k^2}$$
斜率 $$k_{OG} = \frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2} = \frac{k\left(x_1 + x_2 - p\right)}{x_1 + x_2} = \frac{k \cdot \frac{2p}{k^2}}{p + \frac{2p}{k^2}} = \frac{2}{k + \frac{2}{k}}$$
由不等式 $$k + \frac{2}{k} \geq 2\sqrt{2}$$，故 $$k_{OG} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$，最大值为 A。
5. 抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的准线为 $$x = -1$$，点 $$H(-1, 0)$$。设直线 $$l$$ 为 $$y = k(x + 1)$$，与抛物线联立得：
$$k^2x^2 + (2k^2 - 4)x + k^2 = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，则 $$C\left(\frac{x_1}{2}, \frac{y_1}{2}\right)$$ 和 $$D(2x_2, 2y_2)$$。投影 $$P(0, \frac{y_1}{2})$$ 和 $$Q(0, 2y_2)$$。
$$|OP| + |OQ| = \left|\frac{y_1}{2}\right| + |2y_2|$$。由韦达定理和抛物线性质，最小值为 $$2$$，此时直线斜率为 $$\pm 1$$，故选 B。
6. 抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。设直线 $$l$$ 为 $$y = k\left(x - \frac{p}{2}\right)$$，与抛物线联立得：
$$k^2x^2 - (k^2p + 2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，由抛物线性质 $$|FA| = x_1 + \frac{p}{2} = 3$$ 和 $$|FB| = x_2 + \frac{p}{2} = 1$$，解得 $$x_1 = 3 - \frac{p}{2}$$ 和 $$x_2 = 1 - \frac{p}{2}$$。
由韦达定理 $$x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$$，代入解得 $$p = \frac{3}{2}$$，故选 C。
7. 抛物线 $$C: y^2 = 4x$$，直线 $$l: y = k(x + 2)$$ 与抛物线联立得：
$$k^2x^2 + (4k^2 - 4)x + 4k^2 = 0$$
判别式 $$(4k^2 - 4)^2 - 16k^4 > 0 \Rightarrow -1 < k < 1$$，且 $$k \neq 0$$。进一步限制交点在第一象限，得 $$k \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$，故选 A。
8. 抛物线 $$C: x^2 = \frac{1}{2}y$$，直线 $$AB: y = \frac{4}{t}x - 4$$。联立得：
$$x^2 - \frac{2}{t}x + 2 = 0$$
判别式 $$\left(\frac{2}{t}\right)^2 - 8 < 0 \Rightarrow t^2 > \frac{1}{2}$$，即 $$t \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty)$$，故选 B。
9. 直线 $$y = kx - 2$$ 与抛物线 $$y^2 = 8x$$ 联立得：
$$k^2x^2 - (4k + 8)x + 4 = 0$$
判别式 $$(4k + 8)^2 - 16k^2 > 0 \Rightarrow k > -1$$。中点横坐标为 $$2$$，故 $$\frac{4k + 8}{2k^2} = 2 \Rightarrow k = 2$$ 或 $$k = -1$$（舍去），故选 A。
10. 抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。设点 $$P(x, y)$$ 在抛物线上，则 $$PF$$ 的中点为 $$\left(\frac{x + \frac{p}{2}}{2}, \frac{y}{2}\right)$$，半径为 $$\frac{x + \frac{p}{2}}{2}$$。
圆心到 $$y$$ 轴的距离为 $$\frac{x + \frac{p}{2}}{2}$$，等于半径，故圆与 $$y$$ 轴相切，故选 B。