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正确率19.999999999999996%若点O和点$${{F}}$$分别为椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$的中心和左焦点，点$${{P}}$$位椭圆上的任意一点，则$$\overrightarrow{O P} \cdot\overrightarrow{F P}$$的最大值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '椭圆的其他性质'， '利用基本不等式求最值'， '直线与椭圆的交点个数'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率19.999999999999996%已知直线$${{l}}$$与椭圆$$\frac{y^{2}} {a^{2}}+\frac{x^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > b > 0 )$$相切于第一象限的点$${{P}{{(}{{x}_{0}}{，}{{y}_{0}}{)}}}$$，且直线$${{l}}$$与$${{x}{，}{y}}$$轴分别交于点$${{A}{，}{B}}$$，当$${{Δ}{A}{O}{B}{(}{O}}$$为坐标原点)的面积最小时，$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}{=}{{6}{0}}{^{∘}}{(}{{F}_{1}}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆的两个焦点$${{)}}$$，若此时在$${{Δ}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$中，$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的平分线的长度为$${\sqrt {3}{m}{a}}$$，则实数$${{m}}$$的值为（）
D
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {7}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
D.$$\frac{2} {5}$$
3、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '与圆有关的最值问题'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}{(}{−}{1}{，}{0}{)}{，}{{F}_{2}}{(}{1}{，}{0}{)}}$$，$${{P}}$$是椭圆上的点，若满足$${{∠}{F}{P}{{F}_{2}}{=}{{6}{0}^{∘}}}$$的点$${{P}}$$恰有$${{2}}$$个，则$${{△}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$内切圆半径的最大值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
4、['抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '利用基本不等式求最值'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%已知$${{A}{，}{B}}$$分别为抛物线$${{x}^{2}{=}{2}{p}{y}{(}{p}{>}{0}{)}}$$上的两个动点，以$${{A}{B}}$$为直径的圆$${{C}}$$经过抛物线的焦点$${{F}{，}}$$且面积为$${{2}{π}{，}}$$若过圆心$${{C}}$$作该抛物线准线$${{l}}$$的垂线$${{C}{D}{，}}$$垂足为$${{D}{，}}$$则$${{|}{C}{D}{|}}$$的最大值为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
5、['双曲线的离心率'， '抛物线的定义'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率60.0%已知抛物线$${{y}^{2}{=}{{1}{6}}{x}}$$的准线与$${{x}}$$轴交于$${{A}}$$点，焦点是$${{F}{，}{P}}$$是抛物线上的任意一点，当$$\frac{| P F |} {| P A |}$$取得最小值时，点$${{P}}$$恰好在以$${{A}{，}{F}}$$为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）
B
A.$$\frac{\sqrt2+1} {2}$$
B.$${\sqrt {2}{+}{1}}$$
C.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$
D.$${\sqrt {5}{+}{1}}$$
6、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%已知点$${{A}{(}{3}{，}{4}{)}{，}{F}}$$是抛物线$${{y}^{2}{=}{8}{x}}$$的焦点，$${{M}}$$是抛物线上的动点，当$${{|}{A}{M}{|}{+}{|}{M}{F}{|}}$$取最小值时，$${{M}}$$点的坐标是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{(}{0}{，}{0}{)}}$$
B.$${{(}{3}{，}{2}{\sqrt {6}}{)}}$$
C.$${{(}{2}{，}{4}{)}}$$
D.$${{(}{3}{，}{−}{2}{\sqrt {6}}{)}}$$
7、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的交点个数'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%已知焦点为$${{F}}$$的抛物线$${{y}^{2}{=}{8}{x}}$$，其准线与$${{x}}$$轴交于点$${{A}}$$，点$${{M}}$$在抛物线上，则当$$\frac{| M F |} {| M A |}$$取最小值时，直线$${{M}{A}}$$的方程为（）
A
A.$${{y}{=}{x}{+}{2}}$$或$${{y}{=}{−}{x}{−}{2}}$$
B.$${{y}{=}{x}{+}{2}}$$
C.$${{y}{=}{2}{x}{+}{2}}$$或$${{y}{=}{−}{2}{x}{+}{2}}$$
D.$${{y}{=}{−}{2}{x}{+}{2}}$$
8、['椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%设椭圆$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$的左焦点为$${{F}}$$，直线$${{l}{：}{y}{=}{k}{x}{（}{k}{≠}{0}{）}}$$与椭圆$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$${{△}{A}{F}{B}}$$周长的取值范围是（）
C
A.$${（{2}{，}{4}{）}}$$
B.$${{(}{6}{，}{4}{+}{2}{\sqrt {3}}{)}}$$
C.$${（{6}{，}{8}{）}}$$
D.$${（{8}{，}{{1}{2}}{）}}$$
9、['一元二次方程根与系数的关系'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题'， '利用基本不等式求最值'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%已知抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{4}{x}}$$的焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$分别作两条直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$，直线$${{l}_{1}}$$与抛物线$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，直线$${{l}_{2}}$$与抛物线$${{C}}$$交于$${{M}{，}{N}}$$点，若$${{l}_{1}}$$与直线$${{l}_{2}}$$的斜率的乘积为$${{−}{1}}$$，则$${{|}{A}{B}{|}{+}{|}{M}{N}{|}}$$的最小值为（）
B
A.$${{1}{4}}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$${{1}{8}}$$
D.$${{2}{0}}$$
10、['圆锥曲线的最值（范围）问题'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知点$${{M}{(}{0}{，}{4}{)}}$$，点$${{P}}$$在抛物线$${{x}^{2}{=}{8}{y}}$$上运动，点$${{Q}}$$在圆$${{x}^{2}{+}{(}{y}{−}{2}{{)}^{2}}{=}{1}}$$上运动，则$$\frac{| P M |^{2}} {P Q}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{8} {2}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{1 6} {3}$$
1. 椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$$，中心 $$O(0,0)$$，左焦点 $$F(-1,0)$$。设点 $$P(x,y)$$ 在椭圆上，满足 $$x = 2\cos\theta$$，$$y = \sqrt{3}\sin\theta$$。向量 $$\overrightarrow{OP} = (x,y)$$，$$\overrightarrow{FP} = (x+1,y)$$。点积为： $$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP} = x(x+1) + y^2 = x^2 + x + y^2$$ 代入椭圆方程 $$x^2/4 + y^2/3 = 1$$，得 $$y^2 = 3(1 - x^2/4)$$。代入点积表达式： $$x^2 + x + 3\left(1 - \frac{x^2}{4}\right) = \frac{x^2}{4} + x + 3$$ 这是关于 $$x$$ 的二次函数，在 $$x \in [-2,2]$$ 时，最大值在 $$x=2$$ 处取得，值为 $$6$$。故选 C。
2. 椭圆 $$\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$$ 的切线方程为 $$\frac{y_0 y}{a^2} + \frac{x_0 x}{b^2} = 1$$，与坐标轴交点为 $$A(b^2/x_0, 0)$$ 和 $$B(0, a^2/y_0)$$。面积 $$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{b^2}{x_0} \cdot \frac{a^2}{y_0}$$。由椭圆性质，当 $$x_0 = \frac{b}{\sqrt{2}}$$，$$y_0 = \frac{a}{\sqrt{2}}$$ 时面积最小。此时 $$\angle F_1 P F_2 = 60^\circ$$，利用余弦定理和角平分线公式，解得 $$m = \frac{3}{7}$$。故选 B。
3. 椭圆 $$C$$ 的焦点为 $$F_1(-1,0)$$ 和 $$F_2(1,0)$$，设 $$P(x,y)$$ 满足 $$\angle F_1 P F_2 = 60^\circ$$。由余弦定理： $$|F_1 F_2|^2 = |P F_1|^2 + |P F_2|^2 - 2|P F_1||P F_2|\cos 60^\circ$$ 即 $$4 = (|P F_1| + |P F_2|)^2 - 3|P F_1||P F_2|$$。设 $$|P F_1| + |P F_2| = 2a$$，则 $$4 = 4a^2 - 3|P F_1||P F_2|$$。内切圆半径 $$r = \frac{A}{s}$$，其中 $$A = \frac{1}{2}|P F_1||P F_2|\sin 60^\circ$$，$$s = a$$。化简得 $$r = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。故选 A。
4. 抛物线 $$x^2 = 2py$$ 的焦点 $$F(0, p/2)$$，准线 $$l: y = -p/2$$。圆 $$C$$ 过 $$F$$，面积为 $$2\pi$$，故半径 $$\sqrt{2}$$。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，则 $$|AB| = 2\sqrt{2}$$。由抛物线性质，$$|CD| = \frac{y_1 + y_2}{2} + \frac{p}{2}$$。当 $$y_1 = y_2 = p$$ 时，$$|CD|$$ 最大为 $$\sqrt{2}$$。故选 B。
5. 抛物线 $$y^2 = 16x$$ 的准线 $$x = -4$$，焦点 $$F(4,0)$$。设 $$P(x,y)$$，则 $$\frac{|P F|}{|P A|} = \frac{\sqrt{(x-4)^2 + y^2}}{x + 4}$$。由抛物线性质，最小值为 $$1$$，此时 $$P(4, \pm 8)$$。双曲线定义 $$|P A| - |P F| = 2a$$，解得 $$a = 2$$，$$c = 4$$，离心率 $$e = \sqrt{2} + 1$$。故选 B。
6. 抛物线 $$y^2 = 8x$$ 的焦点 $$F(2,0)$$。点 $$A(3,4)$$ 在抛物线外，由反射性质，最小距离为 $$A$$ 到准线 $$x = -2$$ 的距离 $$5$$，此时 $$M$$ 为 $$A$$ 与 $$F$$ 的连线与抛物线的交点，解得 $$M(2,4)$$。故选 C。
7. 抛物线 $$y^2 = 8x$$ 的准线 $$x = -2$$，焦点 $$F(2,0)$$。设 $$M(x,y)$$，则 $$\frac{|M F|}{|M A|} = \frac{\sqrt{(x-2)^2 + y^2}}{x + 2}$$。最小值为 $$\frac{1}{2}$$，此时 $$M(2, \pm 4)$$，直线 $$MA$$ 的斜率为 $$\pm 1$$，方程为 $$y = x + 2$$ 或 $$y = -x - 2$$。故选 A。
8. 椭圆 $$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$$ 的左焦点 $$F(-\sqrt{3}, 0)$$。周长 $$C = |A F| + |B F| + |A B|$$。由椭圆性质，$$|A F| + |B F| = 4$$，$$|A B|$$ 的范围为 $$(2, 4)$$，故周长范围为 $$(6, 8)$$。故选 C。
9. 抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点 $$F(1,0)$$。设直线 $$l_1$$ 斜率为 $$k$$，则 $$l_2$$ 斜率为 $$-1/k$$。弦长 $$|AB| = 4(1 + k^2)/k^2$$，$$|MN| = 4(1 + 1/k^2)$$。和为 $$4(k^2 + 1/k^2 + 2) \geq 16$$，当 $$k = \pm 1$$ 时取最小值。故选 B。
10. 抛物线 $$x^2 = 8y$$ 的焦点 $$F(0,2)$$，点 $$M(0,4)$$。圆 $$x^2 + (y-2)^2 = 1$$ 的圆心 $$(0,2)$$。$$\frac{|P M|^2}{|P Q|} = \frac{(x^2 + (y-4)^2)}{\sqrt{x^2 + (y-2)^2} - 1}$$。最小值为 $$4$$。故选 C。