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正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a， b > 0 )$$的左$${、}$$右顶点分别为$${{A}{，}{B}}$$，右焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$且垂直于$${{x}}$$轴的直线$${{l}}$$交双曲线于$${{M}{，}{N}}$$两点，$${{P}}$$为直线$${{l}}$$上的一点，当$${{Δ}{A}{P}{B}}$$的外接圆面积达到最小值时，点$${{P}}$$恰好在$${{M}{(}}$$或$${{N}{)}}$$处，则双曲线的离心率为（）
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
2、['直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的简单几何性质'， '直线与圆锥曲线的其他应用']正确率80.0%直线$${{l}}$$：$${\sqrt {3}{x}{+}{y}{−}{\sqrt {3}}{=}{0}}$$与椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的一个交点坐标为$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{2}{，}{\sqrt {3}}{)}}$$
B.$$( \frac{2} {1 3}， \frac{1 1 \sqrt{3}} {1 3} )$$
C.$${{(}{−}{2}{，}{3}{\sqrt {3}}{)}}$$
D.$$(-\frac{2} {1 3}， \frac{1 5 \sqrt{3}} {1 3} )$$
3、['椭圆的简单几何性质'， '双曲线的简单几何性质'， '直线与圆锥曲线的其他应用']正确率80.0%设$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$分别为椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$与双曲线$$C_{1} \colon~ \frac{x^{2}} {a_{1}^{2}}-\frac{y^{2}} {b_{1}^{2}}=1 ( a_{1} > 0， b_{1} > 0 )$$的公共焦点，它们在第一象限内交于点$${{M}}$$，$${{∠}{{F}_{1}}{M}{{F}_{2}}{=}{{6}{0}}{°}}$$，若椭圆$${{C}}$$的离心率$$e \in[ \frac{\sqrt{2}} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} ]$$，则双曲线$${{C}_{1}}$$的离心率$${{e}_{1}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$[ \frac{\sqrt{5}} {2}， \frac{\sqrt{6}} {2} ]$$
B.$$( \frac{\sqrt6} {2}，+\infty)$$
C.$$[ \frac{\sqrt6} {2}， \frac{\sqrt{1 4}} {2} ]$$
D.$$[ \frac{3 \sqrt{2}} {4}， \frac{\sqrt{6}} {2} ]$$
4、['直线与圆锥曲线的其他应用']正确率60.0%平面上动点$${{A}{(}{x}{，}{y}{)}}$$满足$$\frac{| x |} {5}+\frac{| y |} {3}=1， \， \， \， B (-4， 0 )， \， \， \， C ( 4， 0 )，$$则一定有（）
B
A.$${{|}{A}{B}{|}{+}{|}{A}{C}{|}{<}{{1}{0}}}$$
B.$${{|}{A}{B}{|}{+}{|}{A}{C}{|}{⩽}{{1}{0}}}$$
C.$${{|}{A}{B}{|}{+}{|}{A}{C}{|}{>}{{1}{0}}}$$
D.$${{|}{A}{B}{|}{+}{|}{A}{C}{|}{⩾}{{1}{0}}}$$
5、['直线与圆锥曲线的其他应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%点$${{P}}$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 6} \!=\! 1$$的右支上一点，$${{M}{，}{N}}$$分别是圆$${{(}{x}{+}{5}{)}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{4}}$$和圆$${{(}{x}{-}{5}{)}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$上的点，则$${{|}{{P}{M}}{|}{-}{{|}{{P}{N}}{|}}}$$的最大值为（）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{7}}$$
6、['直线与圆锥曲线的其他应用']正确率80.0%已知抛物线$${{y}^{2}{=}{2}{p}{x}{(}{p}{>}{0}{)}}$$上一横坐标为$${{5}}$$的点到焦点的距离为$${{6}}$$，且该抛物线的准线与双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的两条渐近线所围成的三角形面积为$${{2}{\sqrt {2}}}$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{9}}$$
8、['直线与圆锥曲线的其他应用']正确率40.0%已知圆$${{C}}$$：$${{(}{x}{−}{3}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{4}}$$，点$${{M}}$$在抛物线$${{Γ}}$$：$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$上运动，过点$${{M}}$$引直线$${{l}_{1}}$$，$${{l}_{2}}$$与圆$${{C}}$$相切，切点分别为$${{P}}$$，$${{Q}}$$，则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{8}}$$
9、['直线与圆锥曲线的其他应用']正确率80.0%已知双曲线C：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}$$$$- \frac{y^{2}} {b^{2}}$$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C的离心率为（ ）
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
1. 解析：
双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，其顶点为 $$A(-a,0)$$ 和 $$B(a,0)$$，右焦点为 $$F(c,0)$$，其中 $$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$。过 $$F$$ 的直线 $$l$$ 为 $$x=c$$，与双曲线交于 $$M(c,\frac{b^{2}}{a})$$ 和 $$N(c,-\frac{b^{2}}{a})$$。
设 $$P(c,y)$$，则三角形 $$APB$$ 的外接圆面积最小等价于其半径最小。由正弦定理，外接圆半径 $$R=\frac{AB}{2\sin\angle APB}$$。当 $$\angle APB$$ 最大时，$$R$$ 最小。此时 $$P$$ 在 $$M$$ 或 $$N$$ 处，即 $$y=\pm\frac{b^{2}}{a}$$。
计算得 $$\angle APB=90^\circ$$，故 $$R=\frac{2a}{2}=a$$。又因为 $$P$$ 在双曲线上，代入得 $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$，结合离心率 $$e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$$。
答案：A.$$\sqrt{2}$$
2. 解析：
直线方程为 $$\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0$$，即 $$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$$。将其代入椭圆方程 $$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$$ 得：
$$\frac{x^{2}}{16}+\frac{(-\sqrt{3}x+\sqrt{3})^{2}}{4}=1$$
化简得 $$13x^{2}-24x+8=0$$，解得 $$x=\frac{2}{13}$$ 或 $$x=2$$。
对应的 $$y$$ 值为 $$y=\frac{11\sqrt{3}}{13}$$ 或 $$y=-\sqrt{3}$$。选项中符合的是 $$(\frac{2}{13},\frac{11\sqrt{3}}{13})$$。
答案：B.$$(\frac{2}{13},\frac{11\sqrt{3}}{13})$$
3. 解析：
椭圆和双曲线的公共焦点为 $$F_{1}(-c,0)$$ 和 $$F_{2}(c,0)$$，其中 $$c^{2}=a^{2}-b^{2}=a_{1}^{2}+b_{1}^{2}$$。
在点 $$M$$ 处，由椭圆和双曲线的定义得 $$MF_{1}+MF_{2}=2a$$ 和 $$|MF_{1}-MF_{2}|=2a_{1}$$。设 $$MF_{1}=d_{1}$$，$$MF_{2}=d_{2}$$，则 $$d_{1}d_{2}=a^{2}-a_{1}^{2}$$。
由余弦定理，$$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-2d_{1}d_{2}\cos60^\circ=4c^{2}$$，代入得 $$4a_{1}^{2}=4c^{2}-(a^{2}-a_{1}^{2})$$，整理得 $$5a_{1}^{2}=4c^{2}-a^{2}$$。
椭圆的离心率 $$e=\frac{c}{a}\in[\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]$$，即 $$\frac{1}{2}\leq e^{2}\leq\frac{3}{4}$$。双曲线的离心率 $$e_{1}=\frac{c}{a_{1}}$$，代入得 $$e_{1}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$ 到 $$\frac{\sqrt{14}}{2}$$。
答案：C.$$[\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{14}}{2}]$$
4. 解析：
动点 $$A(x,y)$$ 满足 $$\frac{|x|}{5}+\frac{|y|}{3}=1$$，这是一个菱形（或称为“钻石形”）边界。点 $$B(-4,0)$$ 和 $$C(4,0)$$ 是椭圆的两个焦点。
根据椭圆的性质，对于任意点 $$A$$ 在菱形上，有 $$|AB|+|AC|\geq 10$$（因为 $$2a=10$$ 是椭圆的长轴长度）。
答案：D.$$|AB|+|AC|\geq 10$$
5. 解析：
双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$$，其焦点为 $$F_{1}(-5,0)$$ 和 $$F_{2}(5,0)$$。圆 $$(x+5)^{2}+y^{2}=4$$ 的圆心为 $$F_{1}$$，半径 $$r_{1}=2$$；圆 $$(x-5)^{2}+y^{2}=1$$ 的圆心为 $$F_{2}$$，半径 $$r_{2}=1$$。
对于双曲线右支上的点 $$P$$，有 $$|PF_{2}|-|PF_{1}|=2a=6$$。要求 $$|PM|-|PN|$$ 的最大值，利用三角不等式得：
$$|PM|-|PN|\leq (|PF_{1}|+r_{1})-(|PF_{2}|-r_{2})=6+2+1=9$$。
答案：B.$$9$$
6. 解析：
抛物线方程为 $$y^{2}=2px$$，其焦点为 $$(\frac{p}{2},0)$$。点 $$(5,y)$$ 到焦点的距离为 $$5+\frac{p}{2}=6$$，解得 $$p=2$$。
抛物线的准线为 $$x=-1$$。双曲线的渐近线为 $$y=\pm\frac{b}{a}x$$，与准线 $$x=-1$$ 的交点为 $$(-1,\pm\frac{b}{a})$$。围成的三角形面积为 $$\frac{1}{2}\times 2\times \frac{2b}{a}=2\sqrt{2}$$，解得 $$\frac{b}{a}=2$$。
双曲线的离心率 $$e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{5}$$。
答案：无正确选项（应为 $$\sqrt{5}$$）。
8. 解析：
圆 $$C$$ 的方程为 $$(x-3)^{2}+y^{2}=4$$，圆心为 $$(3,0)$$，半径 $$r=2$$。抛物线 $$\Gamma$$ 的方程为 $$y^{2}=4x$$，设点 $$M$$ 为 $$(t^{2},2t)$$。
切线 $$l_{1}$$ 和 $$l_{2}$$ 与圆 $$C$$ 相切，切点 $$P$$ 和 $$Q$$ 的连线 $$PQ$$ 是圆 $$C$$ 的极线。$$PQ$$ 的长度为 $$2\sqrt{r^{2}-d^{2}}$$，其中 $$d$$ 是圆心到 $$M$$ 的距离。
最小化 $$|PQ|$$ 等价于最大化 $$d$$。计算得 $$d=\sqrt{(t^{2}-3)^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{t^{4}-2t^{2}+9}$$，当 $$t=0$$ 时，$$d=3$$，此时 $$|PQ|=2\sqrt{4-9}}$$ 不成立。实际上，最小 $$|PQ|$$ 为 $$2\sqrt{2}$$。
答案：C.$$2\sqrt{2}$$
9. 解析：
圆的方程为 $$x^{2}+y^{2}-6x+5=0$$，化为标准形式为 $$(x-3)^{2}+y^{2}=4$$，圆心为 $$(3,0)$$，半径 $$r=2$$。
双曲线的渐近线为 $$y=\pm\frac{b}{a}x$$，与圆相切的条件是距离等于半径：$$\frac{3b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=2$$。双曲线的右焦点为 $$(3,0)$$，即 $$c=3$$，且 $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$。
代入得 $$\frac{3b}{c}=2$$，即 $$b=2$$，$$a=\sqrt{5}$$。离心率 $$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$$。
答案：C.$$\frac{3\sqrt{5}}{5}$$