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正确率40.0%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( 0 < b < 2 )$$，作倾斜角为$$\frac{3 \pi} {4}$$的直线交椭圆$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，线段$${{A}{B}}$$的中点为$${{M}{，}{O}}$$为坐标原点，$$\overrightarrow{O M}$$与$$\overrightarrow{M A}$$的夹角为$${{θ}}$$，且$${{|}{{t}{a}{n}}{θ}{|}{=}{3}}$$，则$${{b}{=}}$$（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
2、['直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率60.0%已知$${{A}{，}{B}}$$为椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$上两点$${，{O}}$$为坐标原点$${，{M}}$$$${{(}}$$异于点$${{O}{)}}$$为弦$${{A}{B}}$$的中点，若直线$${{A}{B}}$$的斜率为$$\frac{1} {2}，$$则直线$${{O}{M}}$$的斜率为（）
B
A.$$- \frac2 3$$
B.$$- \frac{3} {2}$$
C.$$- \frac{3} {4}$$
D.$$- \frac{4} {3}$$
3、['两点间的斜率公式'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {3 6}+\frac{y^{2}} {9}=1$$以及椭圆内一点$${{P}{{(}{4}{，}{2}{)}}}$$，则以$${{P}}$$为中点的弦所在直线的斜率为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
4、['直线与抛物线的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%直线$${{y}{=}{2}{x}{+}{1}}$$截抛物线$${{y}^{2}{=}{{1}{2}}{x}}$$得的弦长为$${{(}{)}}$$。
A
A.$${\sqrt {{1}{5}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {{1}{5}}}}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {2}$$
D.$${{1}{5}}$$
5、['圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '直线与圆相交']正确率40.0%若直线$${{y}{=}{x}{+}{t}}$$被圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{8}}$$截得的弦长大于等于$$\frac{4 \sqrt{2}} {3}，$$则$${{t}}$$的取值范围是（）
D
A.$$(-\frac{8 \sqrt{2}} {3}， \frac{8 \sqrt{2}} {3} )$$
B.$$(-\infty， \frac{8 \sqrt{2}} {3} )$$
C.$$[ \frac{8 \sqrt{2}} {3}，+\infty)$$
D.$$[-\frac{8 \sqrt{2}} {3}， \frac{8 \sqrt{2}} {3} ]$$
6、['圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%已知点$${{A}{(}{3}{，}{1}{)}}$$是直线$${{l}}$$被双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {3}=1$$所截得的弦的中点，则直线$${{l}}$$的方程是（）
A
A.$${{9}{x}{−}{4}{y}{−}{{2}{3}}{=}{0}}$$
B.$${{9}{x}{+}{4}{y}{−}{{3}{1}}{=}{0}}$$
C.$${{x}{−}{4}{y}{+}{1}{=}{0}}$$
D.$${{x}{+}{4}{y}{−}{7}{=}{0}}$$
7、['抛物线的标准方程'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%若直线$${{y}{=}{k}{x}{−}{2}}$$与抛物线$${{y}^{2}{=}{8}{x}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两个不同的点，且线段$${{A}{B}}$$的中点的横坐标为$${{2}}$$，则$${{k}{=}{{(}{)}}}$$
A
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$或$${{−}{1}}$$
D.$${{1}{±}{\sqrt {5}}}$$
8、['平面上中点坐标公式'， '椭圆的标准方程'， '直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '直线的斜率']正确率40.0%过椭圆$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的右焦点$${{F}{(}{2}{，}{0}{)}}$$的直线与$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若线段$${{A}{B}}$$的中点$${{M}}$$的坐标为$$( \frac{9} {7}，-\frac{5} {7} )$$，则$${{C}}$$的方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {5}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {5}+y^{2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {6}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 0}+\frac{y^{2}} {6}=1$$
9、['一元二次方程根与系数的关系'， '直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%斜率为$${{1}}$$的直线$${{l}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$${{|}{A}{B}{|}}$$的最大值为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{4 \sqrt{5}} {5}$$
C.$$\frac{4 \sqrt{1 0}} {5}$$
D.$$\frac{8 \sqrt{1 0}} {5}$$
1. 解析：
设直线方程为 $$y = -x + c$$（倾斜角 $$\frac{3\pi}{4}$$ 对应斜率为 $$-1$$）。将其代入椭圆方程：
$$\frac{x^{2}}{4} + \frac{(-x + c)^{2}}{b^{2}} = 1$$
整理得：
$$(b^{2} + 4)x^{2} - 8c x + 4c^{2} - 4b^{2} = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，中点 $$M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$。由韦达定理：
$$x_1 + x_2 = \frac{8c}{b^{2} + 4}$$
$$M$$ 坐标为 $$\left(\frac{4c}{b^{2} + 4}, \frac{4c}{b^{2} + 4} - c\right)$$。
向量 $$\overrightarrow{OM} = \left(\frac{4c}{b^{2} + 4}, \frac{4c}{b^{2} + 4} - c\right)$$，$$\overrightarrow{MA} = \left(x_1 - \frac{4c}{b^{2} + 4}, y_1 - \left(\frac{4c}{b^{2} + 4} - c\right)\right)$$。
由夹角条件 $$|\tan \theta| = 3$$，利用向量夹角公式：
$$\left|\frac{\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{MA}}{|\overrightarrow{OM}| \cdot |\overrightarrow{MA}|}\right| = 3$$
化简后可得 $$b = 1$$。因此答案为 $$\boxed{A}$$。
2. 解析：
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，中点 $$M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$。由椭圆中点弦性质：
$$k_{AB} \cdot k_{OM} = -\frac{b^{2}}{a^{2}}$$
已知 $$k_{AB} = \frac{1}{2}$$，椭圆参数 $$a^{2} = 4$$，$$b^{2} = 3$$，代入得：
$$\frac{1}{2} \cdot k_{OM} = -\frac{3}{4}$$
解得 $$k_{OM} = -\frac{3}{2}$$。因此答案为 $$\boxed{B}$$。
3. 解析：
设弦斜率为 $$k$$，由椭圆中点弦性质：
$$k \cdot k_{OP} = -\frac{b^{2}}{a^{2}}$$
点 $$P(4, 2)$$ 的斜率 $$k_{OP} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$，椭圆参数 $$a^{2} = 36$$，$$b^{2} = 9$$，代入得：
$$k \cdot \frac{1}{2} = -\frac{9}{36}$$
解得 $$k = -\frac{1}{2}$$。因此答案为 $$\boxed{B}$$。
4. 解析：
将直线 $$y = 2x + 1$$ 代入抛物线 $$y^{2} = 12x$$：
$$(2x + 1)^{2} = 12x$$
整理得：
$$4x^{2} - 8x + 1 = 0$$
设交点 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由韦达定理：
$$x_1 + x_2 = 2$$，$$x_1 x_2 = \frac{1}{4}$$。
弦长公式：
$$|AB| = \sqrt{1 + k^{2}} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^{2} - 4x_1 x_2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{4 - 1} = \sqrt{15}$$
因此答案为 $$\boxed{A}$$。
5. 解析：
圆心到直线 $$y = x + t$$ 的距离：
$$d = \frac{|t|}{\sqrt{2}}$$
弦长 $$L = 2\sqrt{8 - d^{2}} \geq \frac{4\sqrt{2}}{3}$$，解得：
$$8 - d^{2} \geq \frac{8}{9}$$
即 $$d^{2} \leq \frac{64}{9}$$，故 $$|t| \leq \frac{8\sqrt{2}}{3}$$。
因此 $$t$$ 的取值范围为 $$\left[-\frac{8\sqrt{2}}{3}, \frac{8\sqrt{2}}{3}\right]$$，答案为 $$\boxed{D}$$。
6. 解析：
设直线斜率为 $$k$$，由双曲线中点弦性质：
$$k \cdot k_{OA} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$$
点 $$A(3, 1)$$ 的斜率 $$k_{OA} = \frac{1}{3}$$，双曲线参数 $$a^{2} = 4$$，$$b^{2} = 3$$，代入得：
$$k \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{4}$$
解得 $$k = \frac{9}{4}$$。
直线方程为 $$y - 1 = \frac{9}{4}(x - 3)$$，整理得 $$9x - 4y - 23 = 0$$。因此答案为 $$\boxed{A}$$。
7. 解析：
将直线 $$y = kx - 2$$ 代入抛物线 $$y^{2} = 8x$$：
$$(kx - 2)^{2} = 8x$$
整理得：
$$k^{2} x^{2} - (4k + 8)x + 4 = 0$$
设中点横坐标为 $$2$$，由韦达定理：
$$\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{4k + 8}{2k^{2}} = 2$$
解得 $$k = 2$$ 或 $$k = -1$$（舍去 $$k = 0$$）。因此答案为 $$\boxed{C}$$。
8. 解析：
设椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$，右焦点 $$F(2, 0)$$ 故 $$c = 2$$，$$a^{2} - b^{2} = 4$$。
设直线斜率为 $$k$$，通过点 $$F(2, 0)$$ 和中点 $$M\left(\frac{9}{7}, -\frac{5}{7}\right)$$：
$$k = \frac{-\frac{5}{7} - 0}{\frac{9}{7} - 2} = 1$$
直线方程为 $$y = x - 2$$，代入椭圆方程并利用中点条件解得 $$a^{2} = 10$$，$$b^{2} = 6$$。
因此椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{6} = 1$$，答案为 $$\boxed{D}$$。
9. 解析：
设直线方程为 $$y = x + c$$，代入椭圆 $$\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$$：
$$\frac{x^{2}}{4} + (x + c)^{2} = 1$$
整理得：
$$5x^{2} + 8c x + 4c^{2} - 4 = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，弦长公式：
$$|AB| = \sqrt{1 + k^{2}} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^{2} - 4x_1 x_2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\left(-\frac{8c}{5}\right)^{2} - 4 \cdot \frac{4c^{2} - 4}{5}}$$
化简得 $$|AB| = \frac{4\sqrt{10}}{5} \sqrt{5 - c^{2}}$$，当 $$c = 0$$ 时取得最大值 $$\frac{4\sqrt{10}}{5}$$。因此答案为 $$\boxed{C}$$。