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正确率40.0%直线$$x-\sqrt{3} y+\sqrt{3}=0$$经过椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \; ( a > b > 0 )$$的左焦点$${{F}}$$，交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点，交$${{y}}$$轴于$${{C}}$$点，若$$\overrightarrow{F C}=2 \overrightarrow{C A}，$$则该椭圆的离心率是（）
A
A.$$\sqrt3-1$$
B.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{2}}$$
D.$$\sqrt{2}-1$$
2、['直线系方程'， '点与椭圆的位置关系'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%已知$$2 b=a+c，$$则直线$$a x+b y+c=0$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {6}+\frac{y^{2}} {5}=1$$的位置关系是（）
A
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上三种情况均有可能
3、['直线系方程'， '椭圆的标准方程'， '点与椭圆的位置关系'， '等差数列的性质'， '直线与椭圆的交点个数']正确率40.0%已知非零实数$${{a}{、}{b}}$$和$${{1}}$$成等差数列，直线$$a x+b y+1=0$$与椭圆$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {m}+\frac{y^{2}} {1 0}=1$$恒有公共点，则实数$${{m}}$$的取值范围为
D
A.$$m > \frac{3} {5}$$
B.$$m \geq\frac{3} {5}$$
C.$$m > \frac{5} {3}$$
D.$$m \geq\frac{5} {3}$$
4、['椭圆的标准方程'， '椭圆的其他性质'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%椭圆$$x^{2}+2 y^{2}=4$$的以$$( 1， \ 1 )$$为中点的弦所在直线的方程是（）
D
A.$$x-4 y+3=0$$
B.$$x+4 y-5=0$$
C.$$x-2 y+1=0$$
D.$$x+2 y-3=0$$
5、['椭圆的标准方程'， '直线与椭圆的综合应用'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%已知直线$$y=k x+1$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {5}+\frac{y^{2}} {m}=1$$恒有公共点，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）
C
A.$${{m}{⩾}{1}}$$
B.$${{m}{>}{0}}$$
C.$${{m}{⩾}{1}}$$且$${{m}{≠}{5}}$$
D.$$0 < \， m < \， 5$$且$${{m}{≠}{1}}$$
6、['直线与椭圆的综合应用'， '直线与椭圆的交点个数']正确率40.0%已知直线$$l \colon~ y=k x+k$$，椭圆$$C_{:} \， \， \frac{y^{2}} {4}+x^{2}=1$$，则直线$${{l}}$$与椭圆$${{C}}$$的位置关系是（）
A
A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相交
7、['点与椭圆的位置关系'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%已知椭圆$$x^{2}+\frac{1} {2} y^{2}=a^{2} ( a > 0 )$$与$$A ( 2， 1 )， ~ B ( 4， 3 )$$为端点的线段没有公共点，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$0 < a < \frac{3 \sqrt2} 2$$
B.$$0 < a < \frac{3 \sqrt2} 2$$或$$a > \frac{\sqrt{8 2}} {2}$$
C.$$a < \frac{3 \sqrt2} 2$$或$$a > \frac{\sqrt{8 2}} {2}$$
D.$$\frac{3 \sqrt2} 2 < a < \frac{\sqrt8 2} 2$$
8、['点到直线的距离'， '椭圆的其他性质'， '直线与椭圆的交点个数']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {6}+\frac{y^{2}} {2}=1$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，直线$$l \colon~ y=k x+m$$与椭圆相切，记$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$到直线$${{l}}$$的距离分别为$${{d}_{1}{，}{{d}_{2}}}$$，则$${{d}_{1}{{d}_{2}}}$$的值是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%已知在菱形$${{A}{B}{C}{D}}$$中，$$\angle B C D=6 0^{\circ}$$，曲线$${{C}_{1}}$$是以$${{A}{，}{C}}$$为焦点，通过$${{B}{，}{D}}$$两点且与直线$$x+2 \sqrt{3} y-4=0$$相切的椭圆，则曲线$${{C}_{1}}$$的方程为（）
B
A.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {5}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
1. 首先确定椭圆的左焦点 $$F$$ 的坐标为 $$(-c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$。将 $$F$$ 代入直线方程 $$x - \sqrt{3}y + \sqrt{3} = 0$$，得到 $$-c + \sqrt{3} \cdot 0 + \sqrt{3} = 0$$，解得 $$c = \sqrt{3}$$。
直线与 $$y$$ 轴的交点 $$C$$ 为 $$(0, 1)$$。根据向量关系 $$\overrightarrow{FC} = 2 \overrightarrow{CA}$$，可得 $$A$$ 的坐标为 $$(1, 1)$$。将 $$A$$ 代入椭圆方程，得 $$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$$。
结合 $$c^2 = a^2 - b^2 = 3$$，解得 $$a^2 = 3 + 2\sqrt{3}$$，$$b^2 = 2\sqrt{3}$$。离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 + 2\sqrt{3}}} = \sqrt{3} - 1$$，故选 A。
2. 由 $$2b = a + c$$，直线方程可写为 $$ax + by + (2b - a) = 0$$。计算直线到椭圆中心 $$(0, 0)$$ 的距离 $$d = \frac{|2b - a|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$。
椭圆 $$\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{5} = 1$$ 的半长轴为 $$\sqrt{6}$$，半短轴为 $$\sqrt{5}$$。比较 $$d$$ 与椭圆的几何性质，可以证明直线与椭圆相交，故选 A。
3. 由 $$a$$、$$b$$ 和 $$1$$ 成等差数列，得 $$2b = a + 1$$。直线方程为 $$ax + by + 1 = 0$$，其到原点距离为 $$\frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$。
椭圆 $$\frac{x^2}{m} + \frac{y^2}{10} = 1$$ 的半短轴为 $$\sqrt{10}$$。为保证直线与椭圆恒有公共点，需满足 $$\frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \leq \sqrt{10}$$，结合 $$2b = a + 1$$，解得 $$m \geq \frac{5}{3}$$，故选 D。
4. 设弦的两端点为 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$，中点为 $$(1, 1)$$，则 $$x_1 + x_2 = 2$$，$$y_1 + y_2 = 2$$。
将两点代入椭圆方程 $$x^2 + 2y^2 = 4$$，相减得 $$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) + 2(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 0$$，即 $$2(x_1 - x_2) + 4(y_1 - y_2) = 0$$，斜率为 $$k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = -\frac{1}{2}$$。
直线方程为 $$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$$，化简得 $$x + 2y - 3 = 0$$，故选 D。
5. 直线 $$y = kx + 1$$ 恒过点 $$(0, 1)$$。椭圆 $$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{m} = 1$$ 需包含 $$(0, 1)$$，即 $$1 \leq m$$ 且 $$m \neq 5$$（否则为圆），故选 C。
6. 直线 $$l: y = kx + k$$ 恒过点 $$(-1, 0)$$。椭圆 $$C: \frac{y^2}{4} + x^2 = 1$$ 包含 $$(-1, 0)$$，因此直线与椭圆相交或相切，故选 D。
7. 椭圆方程为 $$x^2 + \frac{1}{2}y^2 = a^2$$。线段 $$AB$$ 的方程为 $$y = x - 1$$。将 $$y = x - 1$$ 代入椭圆方程，判别式小于零或无解时无公共点。
解得 $$a < \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ 或 $$a > \frac{\sqrt{82}}{2}$$，故选 B。
8. 椭圆 $$\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$$ 的焦点为 $$F_1(-2, 0)$$ 和 $$F_2(2, 0)$$。直线 $$l: y = kx + m$$ 与椭圆相切时，满足 $$6k^2 + 2 = m^2$$。
计算 $$d_1$$ 和 $$d_2$$ 分别为 $$| -2k + m | / \sqrt{k^2 + 1}$$ 和 $$| 2k + m | / \sqrt{k^2 + 1}$$，乘积 $$d_1 d_2 = \frac{|m^2 - 4k^2|}{k^2 + 1} = 2$$，故选 B。
10. 菱形 $$ABCD$$ 中，$$\angle BCD = 60^\circ$$，设边长为 $$2$$，则 $$B(1, \sqrt{3})$$ 和 $$D(1, -\sqrt{3})$$，焦点 $$A(-1, 0)$$ 和 $$C(3, 0)$$。
椭圆与直线 $$x + 2\sqrt{3}y - 4 = 0$$ 相切，利用椭圆定义和切线条件，解得椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$，故选 A。