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正确率60.0%已知抛物线$$C : y^{2}=x$$与直线$$l : y=k x+1， ~ ~^{u} k \neq0^{n}$$是$${{“}}$$直线 $${{l}}$$与抛物线 $${{C}}$$有两个不同交点$${{”}}$$的（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['向量坐标与向量的数量积'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%设抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=8 x$$的焦点为$${{F}}$$，过点$$(-1， 0 )$$且斜率为$${{k}}$$的直线与$${{C}}$$交于第一象限$${{M}{，}{N}}$$两点，若$$\overrightarrow{M F} \cdot\overrightarrow{F N}=-1，$$则$${{k}{=}{（}}$$）
B
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
3、['直线与抛物线的交点个数']正确率60.0%过原点且与抛物线$${{y}^{2}{=}{x}}$$只有一个公共点的直线有（）
B
A.$${{1}}$$条
B.$${{2}}$$条
C.$${{3}}$$条
D.无数条
4、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%若双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的一条渐近线与抛物线$$x^{2}=y-1$$只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）
C
A.$${{5}}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
5、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%已知$${{P}}$$为抛物线$$y=a x^{2} \， \left( \right. a \neq0 )$$准线上一点，过点$${{P}}$$作抛物线的切线$$P A， ~ P B$$，若切线$${{P}{A}}$$的斜率为$$\frac{1} {3}，$$则直线$${{P}{B}}$$的斜率为（）
B
A.$${{−}{a}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$
D.$$- \frac{1} {a}$$
6、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%已知抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}{，}{M}}$$是$${{C}}$$上的一点，点$${{M}}$$关于$${{l}}$$的对称点为$${{N}}$$，若$$\angle M F N=9 0^{\， \circ}$$且$$| M F |=1 2$$，则$${{p}}$$的值为（）
C
A.$${{1}{8}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{6}}$$或$${{1}{8}}$$
7、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题'， '直线与抛物线的交点个数']正确率60.0%已知抛物线$$C : y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，过$${{F}}$$的直线交抛物线$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，以线段$${{A}{B}}$$为直径的圆与抛物线$${{C}}$$的准线切于$$M (-\frac{p} {2}， 3 )$$，且$${{Δ}{A}{O}{B}}$$的面积为$${{3}}$$，则$${{p}{=}}$$
A
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
8、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题'， '抛物线的其他性质'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%抛物线$$C_{:} \ y=\frac{1} {4} x^{2}$$的焦点为$${{F}}$$，其准线$${{l}}$$与$${{y}}$$轴交于点$${{A}}$$，点$${{M}}$$在抛物线$${{C}}$$上，当$$\frac{| M A |} {| M F |}=\sqrt{2}$$时，$${{△}{A}{M}{F}}$$的面积为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{4}}$$
9、['直线与抛物线的交点个数']正确率60.0%已知抛物线$$C_{:} y^{2}=4 x$$，若过点$$P \， (-2， 0 )$$作直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两个不同点，且直线$${{l}}$$的斜率为$${{k}}$$，则$${{k}}$$的取值范围是（）
A
A.$$\left(-\frac{\sqrt{2}} {2}， 0 \right) \cup\left( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$
B.$$\left[-\frac{\sqrt{2}} {2}， \frac{\sqrt{2}} {2} \right]$$
C.$$\left(-\frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} \right)$$
D.$$\left(-\frac{\sqrt{3}} {2}， 0 \right) \cup\left( 0， \frac{\sqrt{3}} {2} \right)$$
10、['点到直线的距离'， '直线的点斜式方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的交点个数']正确率60.0%过抛物线$$C_{\colon} \， \， y^{2}=1 6 x$$的焦点$${{F}}$$且斜率为$${\sqrt {3}}$$的直线交抛物线$${{C}}$$于点$${{M}{(}{M}}$$在$${{x}}$$轴上方$${{)}{，}{L}}$$为抛物线$${{C}}$$的准线，点$${{N}}$$在准线$${{L}}$$上，且$${{M}{N}{⊥}{L}}$$，则$${{M}}$$到直线$${{N}{F}}$$的距离为（）
D
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{6}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{8}{\sqrt {3}}}$$
1. 解析：
将直线方程 $$y = kx + 1$$ 代入抛物线方程 $$y^2 = x$$，得到 $$(kx + 1)^2 = x$$，即 $$k^2x^2 + (2k - 1)x + 1 = 0$$。直线与抛物线有两个不同交点，要求判别式 $$\Delta > 0$$，即 $$(2k - 1)^2 - 4k^2 > 0$$，化简得 $$-4k + 1 > 0$$，即 $$k < \frac{1}{4}$$ 且 $$k \neq 0$$。
题目条件是 $$k \neq 0$$，但 $$k < \frac{1}{4}$$ 是更严格的条件。因此，$$k \neq 0$$ 是必要条件，但不是充分条件。故选 B。
2. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 8x$$ 的焦点为 $$F(2, 0)$$。过点 $$(-1, 0)$$ 且斜率为 $$k$$ 的直线方程为 $$y = k(x + 1)$$。将其代入抛物线方程，得到 $$k^2(x + 1)^2 = 8x$$，化简为 $$k^2x^2 + (2k^2 - 8)x + k^2 = 0$$。
设 $$M(x_1, y_1)$$ 和 $$N(x_2, y_2)$$ 为交点，由韦达定理得 $$x_1 + x_2 = \frac{8 - 2k^2}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 1$$。
向量 $$\overrightarrow{MF} = (2 - x_1, -y_1)$$，$$\overrightarrow{FN} = (x_2 - 2, y_2)$$。点积为 $$\overrightarrow{MF} \cdot \overrightarrow{FN} = (2 - x_1)(x_2 - 2) - y_1y_2 = -1$$。
代入 $$y_1 = k(x_1 + 1)$$ 和 $$y_2 = k(x_2 + 1)$$，化简得 $$k^2 = 1$$，即 $$k = 1$$（因为 $$M, N$$ 在第一象限，$$k > 0$$）。故选 B。
3. 解析：
过原点的直线方程为 $$y = kx$$。代入抛物线 $$y^2 = x$$，得 $$k^2x^2 = x$$，即 $$x(k^2x - 1) = 0$$。解得 $$x = 0$$ 或 $$x = \frac{1}{k^2}$$。
若直线与抛物线只有一个公共点，需 $$x = 0$$ 为唯一解，即 $$k^2x - 1 = 0$$ 无解或与 $$x = 0$$ 重合。因此，$$k^2 \to \infty$$（即 $$k$$ 不存在，直线为 $$x = 0$$）或 $$k = 0$$（直线为 $$y = 0$$）。
综上，有两条直线满足条件：$$x = 0$$ 和 $$y = 0$$。故选 B。
4. 解析：
双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。将其代入抛物线 $$x^2 = y - 1$$，得 $$x^2 = \frac{b}{a}x - 1$$，即 $$x^2 - \frac{b}{a}x + 1 = 0$$。
要求只有一个公共点，判别式 $$\Delta = \left(\frac{b}{a}\right)^2 - 4 = 0$$，即 $$\frac{b}{a} = 2$$。
双曲线的离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$。故选 C。
5. 解析：
抛物线 $$y = ax^2$$ 的准线为 $$y = -\frac{1}{4a}$$。设 $$P(x_0, -\frac{1}{4a})$$ 为准线上一点。
抛物线的导数为 $$y' = 2ax$$，切线斜率为 $$2ax$$。已知一条切线斜率为 $$\frac{1}{3}$$，因此切点 $$A$$ 满足 $$2ax_A = \frac{1}{3}$$，即 $$x_A = \frac{1}{6a}$$。
切线方程为 $$y - y_A = \frac{1}{3}(x - x_A)$$，代入 $$P$$ 点坐标，解得 $$x_A$$ 和 $$y_A$$。由对称性，另一条切线斜率应为 $$-\frac{1}{3}$$。故选 C。
6. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$，准线为 $$x = -\frac{p}{2}$$。设 $$M(x, y)$$ 为抛物线上一点，则 $$N(-p - x, y)$$。
由题意，$$\angle MFN = 90^\circ$$，即向量 $$\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FN} = 0$$。计算得 $$(x - \frac{p}{2})(-p - x - \frac{p}{2}) + y^2 = 0$$。
代入 $$y^2 = 2px$$，化简得 $$x = \frac{3p}{2}$$ 或 $$x = -\frac{p}{2}$$（舍去）。由 $$|MF| = 12$$，解得 $$p = 6$$ 或 $$p = 18$$。验证后 $$p = 6$$ 符合。故选 C。
7. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。以 $$AB$$ 为直径的圆与准线 $$x = -\frac{p}{2}$$ 切于 $$M(-\frac{p}{2}, 3)$$，说明圆心在 $$AB$$ 的中点，且半径为 $$3$$。
设直线 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - \frac{p}{2})$$。代入抛物线方程，利用韦达定理和几何性质，解得 $$p = 2$$。故选 D。
8. 解析：
抛物线 $$C: y = \frac{1}{4}x^2$$ 的焦点为 $$F(0, 1)$$，准线为 $$y = -1$$，点 $$A(0, -1)$$。
设 $$M(x, \frac{1}{4}x^2)$$，由 $$\frac{|MA|}{|MF|} = \sqrt{2}$$，代入距离公式化简得 $$x^2 = 4$$，即 $$x = \pm 2$$。
计算 $$\triangle AMF$$ 的面积，底 $$AF = 2$$，高为 $$2$$，面积为 $$2$$。故选 B。
9. 解析：
过点 $$P(-2, 0)$$ 的直线方程为 $$y = k(x + 2)$$。代入抛物线 $$y^2 = 4x$$，得 $$k^2(x + 2)^2 = 4x$$，即 $$k^2x^2 + (4k^2 - 4)x + 4k^2 = 0$$。
要求有两个不同交点，判别式 $$\Delta > 0$$ 且 $$k \neq 0$$，解得 $$k \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。故选 D。
10. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 16x$$ 的焦点为 $$F(4, 0)$$，准线为 $$x = -4$$。直线斜率为 $$\sqrt{3}$$，方程为 $$y = \sqrt{3}(x - 4)$$。
代入抛物线方程，解得 $$M(12, 8\sqrt{3})$$。准线上点 $$N$$ 为 $$(-4, 8\sqrt{3})$$。
直线 $$NF$$ 的斜率为 $$\frac{8\sqrt{3}}{-8} = -\sqrt{3}$$，方程为 $$y = -\sqrt{3}(x - 4)$$。
计算 $$M$$ 到直线 $$NF$$ 的距离为 $$8\sqrt{3}$$。故选 D。