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正确率40.0%已知曲线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与曲线$${{C}}$$交于$${{P}{，}{Q}}$$两点，且$$\overrightarrow{F P}+2 \overrightarrow{F Q}=\overrightarrow{0}，$$则$${{△}{O}{P}{Q}}$$的面积等于（）
C
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{3 \sqrt2} {4}$$
2、['向量坐标与向量的数量积'， '直线与抛物线的交点个数'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%设$${{A}{，}{B}}$$是抛物线$$y^{2}=2 x$$上异于原点的不同两点，则$$\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{−}{4}}$$
3、['向量坐标与向量的数量积'， '直线的点斜式方程'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%过点$$P ( 0， p )$$作倾斜角为$${{4}{5}^{∘}}$$的直线与抛物线$$C : x^{2}=2 p y ( p > 0 )$$交于$${{M}{，}{N}}$$两点，若$$\overrightarrow{M P} \cdot\overrightarrow{N P}=-8，$$则$${{p}}$$的值是（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
4、['点到平面的距离'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的交点个数'， '立体几何中的轨迹问题']正确率60.0%平面$$\alpha， ~ \beta， ~ \gamma$$两两互相垂直，在平面$${{α}}$$内有一点$${{A}}$$到平面$${{β}{，}}$$平面$${{γ}}$$的距离都等于$${{1}}$$.则在平面$${{α}}$$内与点$${{A}}$$，平面$${{β}{，}}$$平面$${{γ}}$$距离都相等的点的个数为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['抛物线的标准方程'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%已知过抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点$$F \left( \frac{1} {2}， \ 0 \right)$$的直线与抛物线$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点$${{(}{A}}$$在第一象限），$${{D}}$$是以$${{A}{B}}$$为直径的圆$${{E}}$$与抛物线$${{C}}$$的准线的公共点.若$$| A D |=\sqrt{3} | B D |，$$则$$| A B |=$$（）
B
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\frac{8} {2}$$
C.$$\frac{1 1} {3}$$
D.$$\frac{8 \sqrt{3}} {3}$$
6、['直线与抛物线的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%已知直线$${{l}}$$是抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=2 x$$的准线，抛物线$${{C}}$$的焦点为$${{F}{，}}$$若$${{A}}$$为$${{C}}$$上一点$${，{l}}$$与$${{C}}$$的对称轴交于点$$B， \， \， \operatorname{s i n} \angle A F B=\sqrt{2} \mathrm{s i n} \angle A B F，$$则$$| A B |=$$（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%若双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的一条渐近线与抛物线$$x^{2}=y-1$$只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）
C
A.$${{5}}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
8、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '直线和圆相切'， '导数的几何意义'， '直线与抛物线的交点个数']正确率60.0%过点$$P ~ ( \textit{1}， \textit{-3} )$$的直线既与抛物线$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$相切，又与圆$$( \mathbf{\} x-2 )^{\mathbf{\} 2}+y^{2}=5$$相切，则切线的斜率为（）
B
A.$${{−}{6}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{3}}$$
9、['直线与抛物线的综合应用'， '直线与抛物线的交点个数']正确率60.0%过点$$A ( 0， 2 )$$且与抛物线$$C : y^{2}=4 x$$恰有一个交点的直线有（）
D
A.$${{0}}$$条
B.$${{1}}$$条
C.$${{2}}$$条
D.$${{3}}$$条
10、['抛物线的焦点弦问题'， '抛物线的其他性质'， '直线与抛物线的交点个数']正确率60.0%已知抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=1 2 x$$，过点$$P ( 2， 0 )$$且斜率为$${{1}}$$的直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$相交于$${{A}{、}{B}}$$两点，则线段$${{A}{B}}$$的中点到抛物线$${{C}}$$的准线的距离为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}{2}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{8}}$$
1. 曲线 $$C: y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k(x - 1)$$。与抛物线联立得：
$$k^2(x - 1)^2 = 4x \Rightarrow k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$
设 $$P(x_1, y_1)$$，$$Q(x_2, y_2)$$，由条件 $$\overrightarrow{FP} + 2\overrightarrow{FQ} = \overrightarrow{0}$$ 得：
$$(x_1 - 1, y_1) + 2(x_2 - 1, y_2) = (0, 0) \Rightarrow x_1 + 2x_2 = 3$$
由韦达定理，$$x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 1$$。解得 $$k^2 = 8$$，进而求得 $$P$$ 和 $$Q$$ 的坐标。面积计算为：
$$\text{面积} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$
正确答案：$$\boxed{C}$$
2. 设 $$A(y_1^2/2, y_1)$$，$$B(y_2^2/2, y_2)$$，则：
$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{y_1^2y_2^2}{4} + y_1y_2$$
由抛物线性质，$$y_1y_2 = -4$$（因 $$A$$、$$B$$ 异于原点）。代入得：
$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{(-4)^2}{4} + (-4) = 4 - 4 = 0$$
但题目要求最小值，重新考虑一般情况：
设 $$y_1y_2 = t$$，则 $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{t^2}{4} + t$$，最小值为 $$-1$$（当 $$t = -2$$ 时）。
正确答案：$$\boxed{B}$$
3. 直线斜率为 $$1$$，方程为 $$y = x + p$$。与抛物线 $$x^2 = 2py$$ 联立得：
$$x^2 = 2p(x + p) \Rightarrow x^2 - 2px - 2p^2 = 0$$
设 $$M(x_1, y_1)$$，$$N(x_2, y_2)$$，则 $$\overrightarrow{MP} = (-x_1, p - y_1)$$，$$\overrightarrow{NP} = (-x_2, p - y_2)$$。
由条件 $$\overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{NP} = x_1x_2 + (p - y_1)(p - y_2) = -8$$，代入 $$y_i = x_i + p$$ 得：
$$x_1x_2 + (-x_1)(-x_2) = 2x_1x_2 = -8$$
由韦达定理，$$x_1x_2 = -2p^2$$，故 $$-4p^2 = -8 \Rightarrow p = 2$$。
正确答案：$$\boxed{A}$$
4. 设平面 $$\alpha$$ 为 $$xy$$-平面，平面 $$\beta$$ 为 $$yz$$-平面，平面 $$\gamma$$ 为 $$xz$$-平面。点 $$A$$ 在 $$\alpha$$ 内，坐标为 $$(1, 1, 0)$$。
求与 $$A$$、$$\beta$$、$$\gamma$$ 距离相等的点 $$(x, y, 0)$$，满足：
$$\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = |x| = |y|$$
解得 $$(1, 0, 0)$$、$$(0, 1, 0)$$ 和 $$(1/2, 1/2, 0)$$，共 3 个点。
正确答案：$$\boxed{C}$$
5. 抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点 $$F(1/2, 0)$$，故 $$p = 1$$。设直线斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - 1/2)$$。
与抛物线联立得：
$$k^2(x - 1/2)^2 = 2x \Rightarrow k^2x^2 - (k^2 + 2)x + \frac{k^2}{4} = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由 $$|AD| = \sqrt{3}|BD|$$ 得 $$A$$ 和 $$B$$ 的坐标关系。计算得 $$|AB| = 8/3$$。
正确答案：$$\boxed{A}$$
6. 抛物线 $$y^2 = 2x$$ 的准线 $$l: x = -1/2$$，焦点 $$F(1/2, 0)$$。设 $$A(x, y)$$ 在抛物线上，$$B(-1/2, y)$$。
由正弦定理和条件 $$\sin \angle AFB = \sqrt{2} \sin \angle ABF$$，得：
$$\frac{AB}{\sin \angle AFB} = \frac{AF}{\sin \angle ABF} \Rightarrow AB = \sqrt{2} AF$$
利用距离公式解得 $$AB = 2$$。
正确答案：$$\boxed{D}$$
7. 双曲线渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，与抛物线 $$x^2 = y - 1$$ 联立得：
$$x^2 = \frac{b}{a}x - 1$$ 有唯一解，判别式为零：
$$\left(\frac{b}{a}\right)^2 - 4 = 0 \Rightarrow \frac{b}{a} = 2$$
离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{5}$$。
正确答案：$$\boxed{C}$$
8. 设切线方程为 $$y + 3 = k(x - 1)$$，与抛物线 $$y = x^2$$ 联立得：
$$x^2 - kx + (k + 3) = 0$$，判别式为零：
$$k^2 - 4(k + 3) = 0 \Rightarrow k = -2 \text{ 或 } 6$$
验证与圆的切线条件，只有 $$k = -2$$ 满足。
正确答案：$$\boxed{B}$$
9. 过点 $$A(0, 2)$$ 的直线可以是：
- 垂直 $$x$$-轴：$$x = 0$$，与抛物线 $$y^2 = 4x$$ 仅交于 $$(0, 0)$$。
- 斜线 $$y = kx + 2$$，与抛物线联立得 $$k^2x^2 + (4k - 4)x + 4 = 0$$，判别式为零时 $$k = 1$$。
共有 2 条直线。
正确答案：$$\boxed{C}$$
10. 直线 $$l: y = x - 2$$ 与抛物线 $$y^2 = 12x$$ 联立得：
$$(x - 2)^2 = 12x \Rightarrow x^2 - 16x + 4 = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，中点坐标为 $$(8, 6)$$。准线为 $$x = -3$$，距离为 $$11$$。
正确答案：$$\boxed{C}$$