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正确率40.0%直线$$\frac{x} {4}+\frac{y} {3}=1$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {9}=1$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，椭圆上的点$${{P}}$$使$${{△}{A}{B}{P}}$$的面积等于$${{1}{2}}$$，这样的点$${{P}}$$共有（）
B
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
2、['椭圆的离心率'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%椭圆$${{C}}$$的两个焦点分别为$${{F}_{1}{(}{−}{1}{，}{0}{)}}$$和$${{F}_{2}{(}{1}{，}{0}{)}}$$，若该椭圆$${{C}}$$与直线$${{x}{+}{y}{−}{3}{=}{0}}$$有公共点，则其离心率的最大值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt6} {1 2}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {1 0}$$
3、['直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%直线$${{x}{+}{m}{y}{+}{1}{=}{0}{(}{m}{∈}{R}{)}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$的位置关系是（）
A
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上三种关系都可能
4、['椭圆的标准方程'， '椭圆的其他性质'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%椭圆$${{x}^{2}{+}{2}{{y}^{2}}{=}{4}}$$的以$${（{1}{，}{1}{）}}$$为中点的弦所在直线的方程是（）
D
A.$${{x}{−}{4}{y}{+}{3}{=}{0}}$$
B.$${{x}{+}{4}{y}{−}{5}{=}{0}}$$
C.$${{x}{−}{2}{y}{+}{1}{=}{0}}$$
D.$${{x}{+}{2}{y}{−}{3}{=}{0}}$$
5、['点与椭圆的位置关系'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%已知椭圆$$x^{2}+\frac{1} {2} y^{2}=a^{2} ( a > 0 )$$与$${{A}{(}{2}{，}{1}{)}{，}{B}{(}{4}{，}{3}{)}}$$为端点的线段没有公共点，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$0 < a < \frac{3 \sqrt2} 2$$
B.$$0 < a < \frac{3 \sqrt2} 2$$或$$a > \frac{\sqrt{8 2}} {2}$$
C.$$a < \frac{3 \sqrt2} 2$$或$$a > \frac{\sqrt{8 2}} {2}$$
D.$$\frac{3 \sqrt2} 2 < a < \frac{\sqrt8 2} 2$$
7、['函数求值域'， '函数图象的识别'， '函数单调性的判断'， '直线与椭圆的交点个数'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%方程$$\frac{x | x |} {1 6}+\frac{y | y |} {9}=-1$$表示的曲线为函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的图象，对于函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$，有如下结论：$${①}$$函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的值域是$${{R}{；}{②}{f}{(}{x}{)}}$$在$${{R}}$$上单调递减；$${③{f}{(}{x}{)}}$$的图象不经过第三象限；$${④}$$直线$${{3}{x}{+}{4}{y}{=}{0}}$$与曲线$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$没有交点，其中正确的个数是
C
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
8、['直线系方程'， '椭圆的标准方程'， '直线的两点式方程'， '直线与椭圆的交点个数'， '圆锥曲线的定值、定点问题']正确率19.999999999999996%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {5}=1$$的左$${、}$$右顶点分别为$${{A}{，}{B}}$$，右焦点为$${{F}}$$，设过点$${{T}{(}{9}{，}{m}{)}}$$的直线$${{T}{A}{，}{T}{B}}$$与椭圆分别交于点$${{M}{(}{{x}_{1}}{，}{{y}_{1}}{)}{，}{N}{(}{{x}_{2}}{，}{{y}_{2}}{)}}$$，其中$${{m}{>}{0}{，}{{y}_{1}}{>}{0}{，}{{y}_{2}}{<}{0}}$$，则直线$${{M}{N}}$$与$${{x}}$$轴的交点坐标为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\left( \frac{1} {3}， 0 \right)$$
B.$$\left( \frac{1} {2}， 0 \right)$$
C.$${{(}{1}{，}{0}{)}}$$
D.$${{(}{2}{，}{0}{)}}$$
9、['直线与椭圆的交点个数']正确率40.0%已知直线$${{2}{x}{−}{y}{+}{1}{=}{0}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {m}=1$$恒有公共点，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{(}{1}{，}{9}{]}}$$
B.$${{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{[}{1}{，}{9}{)}{∪}{(}{9}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{9}{，}{+}{∞}{)}}$$
10、['直线系方程'， '点与椭圆的位置关系'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%若直线$${{y}{=}{k}{x}{+}{1}}$$和椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( b > 0 )$$恒有公共点，则实数$${{b}}$$的取值范围是（）
B
A.$${{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{[}{1}{，}{2}{)}{∪}{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{[}{1}{，}{2}{)}}$$
D.$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
1. 首先求直线与椭圆的交点：解方程组 $$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$$ 和 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$$。将直线方程代入椭圆方程得 $$\frac{x^2}{16} + \frac{(3 - \frac{3x}{4})^2}{9} = 1$$，化简后得到 $$x = 0$$ 或 $$x = \frac{16}{5}$$，对应交点 $$A(0, 3)$$ 和 $$B\left(\frac{16}{5}, -\frac{9}{5}\right)$$。线段 $$AB$$ 的长度为 $$\sqrt{\left(\frac{16}{5}\right)^2 + \left(3 + \frac{9}{5}\right)^2} = 5$$。椭圆上的点 $$P$$ 到直线 $$AB$$ 的距离需满足 $$\frac{1}{2} \times 5 \times d = \frac{1}{2}$$，即 $$d = \frac{1}{5}$$。直线 $$AB$$ 的方程为 $$3x + 4y - 12 = 0$$，椭圆上的点 $$P(x, y)$$ 满足 $$\frac{|3x + 4y - 12|}{5} = \frac{1}{5}$$，即 $$3x + 4y = 11$$ 或 $$3x + 4y = 13$$。这两条直线与椭圆相交，每条直线与椭圆有两个交点，但需验证是否在椭圆上。最终有 4 个符合条件的点 $$P$$。
2. 椭圆 $$C$$ 的焦点为 $$F_1(-1, 0)$$ 和 $$F_2(1, 0)$$，故 $$c = 1$$，椭圆方程为 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - 1} = 1$$。椭圆与直线 $$x + y - 3 = 0$$ 有公共点，需满足直线到椭圆中心的距离小于等于半长轴。椭圆中心在原点，距离为 $$\frac{3}{\sqrt{2}} \leq a$$，即 $$a \geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$$。离心率 $$e = \frac{c}{a} \leq \frac{1}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$，但选项中无此值。重新计算，椭圆与直线相切时判别式为 0，解得 $$a^2 = 6$$，故 $$e = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$ 为最大值。
3. 直线 $$x + my + 1 = 0$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$$ 的位置关系可通过判别式判断。将直线方程代入椭圆方程得 $$\frac{(-my - 1)^2}{2} + y^2 = 1$$，化简为 $$(m^2 + 2)y^2 + 2my - 1 = 0$$。判别式 $$\Delta = 4m^2 + 4(m^2 + 2) = 8m^2 + 8 > 0$$ 对所有 $$m \in \mathbb{R}$$ 成立，故直线与椭圆恒相交。
4. 椭圆 $$x^2 + 2y^2 = 4$$ 的弦以 $$(1, 1)$$ 为中点，设弦的斜率为 $$k$$，则弦方程为 $$y - 1 = k(x - 1)$$。代入椭圆方程并利用中点条件，解得 $$k = -\frac{1}{2}$$，故弦方程为 $$x + 2y - 3 = 0$$。
5. 椭圆 $$x^2 + \frac{1}{2}y^2 = a^2$$ 与线段 $$AB$$（方程为 $$y = x - 1$$）无公共点，需满足椭圆与直线无交点且 $$A$$ 和 $$B$$ 不在椭圆内。解方程组得判别式条件 $$a^2 > \frac{9}{2}$$ 或 $$a^2 < \frac{1}{2}$$。同时检查 $$A$$ 和 $$B$$ 的坐标，综合得 $$0 < a < \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ 或 $$a > \frac{\sqrt{82}}{2}$$。
7. 方程 $$\frac{x|x|}{16} + \frac{y|y|}{9} = -1$$ 表示的函数 $$y = f(x)$$ 仅在第三象限有定义，且为减函数。值域为 $$\mathbb{R}$$，图象不经过第一、二、四象限。直线 $$3x + 4y = 0$$ 经过原点，与曲线无交点。故结论 ①、②、③、④ 均正确。
8. 椭圆 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$$ 的顶点为 $$A(-3, 0)$$ 和 $$B(3, 0)$$，焦点 $$F(2, 0)$$。直线 $$TA$$ 和 $$TB$$ 的方程分别为 $$y = \frac{m}{12}(x + 3)$$ 和 $$y = \frac{m}{6}(x - 3)$$。与椭圆联立解得 $$M\left(\frac{3(9 - m^2)}{9 + m^2}, \frac{30m}{9 + m^2}\right)$$ 和 $$N\left(\frac{3(9 - m^2)}{9 + m^2}, -\frac{6m}{9 + m^2}\right)$$。直线 $$MN$$ 的方程为 $$y = \frac{36m}{9 + m^2}(x - 1)$$，与 $$x$$ 轴交于 $$(1, 0)$$。
9. 直线 $$2x - y + 1 = 0$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{m} = 1$$ 恒有公共点，需判别式非负。将直线方程代入椭圆方程得 $$(4 + \frac{1}{m})x^2 + \frac{4}{m}x + \frac{1}{m} - 1 = 0$$，判别式 $$\Delta \geq 0$$ 对所有 $$m > 0$$ 成立，但需 $$m \neq 9$$。故 $$m \in [1, 9) \cup (9, +\infty)$$。
10. 直线 $$y = kx + 1$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 恒有公共点，需判别式非负。代入后得 $$(b^2 + 4k^2)x^2 + 8kx + 4 - 4b^2 = 0$$，判别式 $$\Delta \geq 0$$ 对所有 $$k$$ 成立，即 $$b^2 \geq 1$$。又 $$b \neq 2$$，故 $$b \in [1, 2) \cup (2, +\infty)$$。