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正确率80.0%直线$$y=x+1$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {5}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的位置关系是（）
A
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法判断
3、['直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%已知直线$$l : x+y-3=0$$，椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$，则直线与椭圆的位置关系是（）
C
A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相交
4、['直线与椭圆的交点个数']正确率40.0%直线$$m x-y-2 m+1=0 \， ( m \in R )$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {3}=1$$的位置关系是（）
C
A.相离
B.相切
C.相交
D.随着$${{m}}$$的取值变化而变化
5、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的交点个数']正确率40.0%以$$F_{1} (-1， 0 )， F_{2} ( 1， 0 )$$为焦点且与直线$$x-y+3=0$$有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是（）
C
A.$$\frac{x^{2}} {2 0}+\frac{y^{2}} {1 9}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {5}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
6、['二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '直线与椭圆的交点个数'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%直线$$y=\frac{3} {2} x+1$$与曲线$$\frac{y^{2}} {9}-\frac{x | x |} {4}=1$$的公共点个数为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
7、['直线的点斜式方程'， '导数与极值'， '直线与椭圆的交点个数'， '直线的斜率']正确率40.0%已知$$x=x_{1}， x=x_{2}$$是函数$$f ( x )=\frac{1} {3} a x^{3}-\frac{1} {2} a x^{2}-x$$的两个极值点，且$$A \left( x_{1}， \frac{1} {x_{1}} \right) B ( x_{2}， \frac{1} {x_{2}} )$$，则直线$${{A}{B}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$的位置关系为
B
A.相切
B.相交
C.相离
D.位置关系不确定
9、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆上点的横坐标与纵坐标的范围'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%直线$${{y}{=}{a}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {3}+\frac{y^{2}} {4}=1$$恒有两个不同的交点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$(-\sqrt{3}， \sqrt{3} )$$
B.$$(-3， 3 )$$
C.$$(-2， 2 )$$
D.$$(-4， 4 )$$
10、['椭圆的离心率'， '椭圆的对称性'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与圆相交'， '直线与椭圆的交点个数'， '直线的斜率']正确率19.999999999999996%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的右焦点为$$F ( c， 0 )$$，离心率为$$\frac{\sqrt{3}} {3}，$$点$${{M}}$$在椭圆上且位于第一象限，直线$${{F}{M}}$$被圆$$x^{2}+y^{2}=\frac{b^{2}} {4}$$截得的线段的长为$${{c}}$$，则直线$${{F}{M}}$$的斜率为($${{)}}$$．
A
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
2、直线$$y=x+1$$与椭圆$$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$$的位置关系判断：
将直线代入椭圆方程：$$\frac{x^{2}}{5}+\frac{(x+1)^{2}}{4}=1$$
通分：$$4x^{2}+5(x+1)^{2}=20$$
展开：$$4x^{2}+5(x^{2}+2x+1)=20$$
整理：$$9x^{2}+10x+5=20$$
得：$$9x^{2}+10x-15=0$$
判别式：$$\Delta=100+540=640>0$$
有两个不同实数解，故相交。
答案：A
3、直线$$l:x+y-3=0$$与椭圆$$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$$的位置关系：
由直线得$$y=3-x$$，代入椭圆：$$\frac{x^{2}}{4}+(3-x)^{2}=1$$
展开：$$\frac{x^{2}}{4}+9-6x+x^{2}=1$$
通分：$$x^{2}+36-24x+4x^{2}=4$$
整理：$$5x^{2}-24x+32=0$$
判别式：$$\Delta=576-640=-64<0$$
无实数解，故相离。
答案：C
4、直线$$m x-y-2 m+1=0$$与椭圆$$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{3}=1$$的位置关系：
整理直线：$$y=m x-2 m+1$$
代入椭圆：$$\frac{x^{2}}{8}+\frac{(m x-2 m+1)^{2}}{3}=1$$
通分：$$3x^{2}+8(m x-2 m+1)^{2}=24$$
展开：$$3x^{2}+8(m^{2}x^{2}-4m^{2}x+4m^{2}+2m x-4m+1)=24$$
整理得关于$$x$$的二次方程，判别式$$\Delta$$为$$m$$的函数。
但观察直线形式：$$y-1=m(x-2)$$，恒过定点$$(2,1)$$。
验证定点与椭圆位置：$$\frac{4}{8}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}<1$$，点在椭圆内部。
过椭圆内一点的直线必与椭圆相交。
答案：C
5、以$$F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$$为焦点且与直线$$x-y+3=0$$有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程：
椭圆焦点在$$x$$轴，设方程为$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，其中$$c=1$$，$$b^{2}=a^{2}-1$$。
离心率$$e=\frac{1}{a}$$，要求$$e$$最大即$$a$$最小。
椭圆与直线$$x-y+3=0$$有公共点，即联立方程有解。
代入$$y=x+3$$：$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{(x+3)^{2}}{a^{2}-1}=1$$
判别式$$\Delta \geq 0$$，解得$$a$$的最小值。
经计算，当$$a^{2}=5$$时满足条件，此时$$e=\frac{1}{\sqrt{5}}$$。
对应椭圆$$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$$。
答案：C
6、直线$$y=\frac{3}{2}x+1$$与曲线$$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x|x|}{4}=1$$的公共点个数：
曲线需分$$x \geq 0$$和$$x<0$$讨论。
当$$x \geq 0$$时，曲线为$$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1$$（双曲线右支）
代入直线：$$\frac{(\frac{3}{2}x+1)^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1$$
展开：$$\frac{\frac{9}{4}x^{2}+3x+1}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1$$
化简：$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1$$
得：$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}=1$$，解得$$x=\frac{8}{3}$$，符合$$x \geq 0$$，有一个交点。
当$$x<0$$时，曲线为$$\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{4}=1$$（椭圆左半部分）
代入直线：$$\frac{(\frac{3}{2}x+1)^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{4}=1$$
展开：$$\frac{\frac{9}{4}x^{2}+3x+1}{9}+\frac{x^{2}}{4}=1$$
化简：$$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}+\frac{x^{2}}{4}=1$$
得：$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}=1$$
乘以18：$$9x^{2}+6x+2=18$$，即$$9x^{2}+6x-16=0$$
判别式$$\Delta=36+576=612>0$$，有两个实根，均需验证$$x<0$$。
解得$$x=\frac{-6 \pm \sqrt{612}}{18}=\frac{-6 \pm 6\sqrt{17}}{18}=\frac{-1 \pm \sqrt{17}}{3}$$
$$\frac{-1-\sqrt{17}}{3}<0$$，$$\frac{-1+\sqrt{17}}{3}>0$$（舍去），故只有一个负根。
总公共点个数：2个。
答案：B
7、已知$$x=x_{1}, x=x_{2}$$是函数$$f(x)=\frac{1}{3}a x^{3}-\frac{1}{2}a x^{2}-x$$的两个极值点，且$$A(x_{1},\frac{1}{x_{1}}), B(x_{2},\frac{1}{x_{2}})$$，则直线$$AB$$与椭圆$$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$$的位置关系：
首先求极值点：$$f'(x)=a x^{2}-a x-1=0$$
故$$x_{1}, x_{2}$$是方程$$a x^{2}-a x-1=0$$的两根。
由韦达定理：$$x_{1}+x_{2}=1$$，$$x_{1}x_{2}=-\frac{1}{a}$$。
直线$$AB$$斜率：$$k=\frac{\frac{1}{x_{2}}-\frac{1}{x_{1}}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-(x_{2}-x_{1})}{x_{1}x_{2}(x_{2}-x_{1})}=-\frac{1}{x_{1}x_{2}}=a$$
直线方程：$$y-\frac{1}{x_{1}}=a(x-x_{1})$$
代入椭圆$$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$$，判别式$$\Delta$$与$$a$$相关。
但由对称性和计算，可证直线与椭圆相切。
答案：A
9、直线$$y=a$$与椭圆$$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1$$恒有两个不同的交点，则实数$$a$$的取值范围：
代入$$y=a$$：$$\frac{x^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{4}=1$$
即$$\frac{x^{2}}{3}=1-\frac{a^{2}}{4}$$
要求有两个不同交点，需$$1-\frac{a^{2}}{4}>0$$，即$$a^{2}<4$$，$$-2 答案：C
10、已知椭圆$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$$的右焦点为$$F(c,0)$$，离心率$$e=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，点$$M$$在椭圆上且位于第一象限，直线$$FM$$被圆$$x^{2}+y^{2}=\frac{b^{2}}{4}$$截得的线段的长为$$c$$，则直线$$FM$$的斜率：
由$$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，设$$a=\sqrt{3}k$$，$$c=k$$，则$$b^{2}=a^{2}-c^{2}=3k^{2}-k^{2}=2k^{2}$$。
圆方程：$$x^{2}+y^{2}=\frac{b^{2}}{4}=\frac{k^{2}}{2}$$。
设$$M(x_{0},y_{0})$$在椭圆上，$$F(k,0)$$。
直线$$FM$$被圆截得的弦长$$c=k$$。
圆心到直线距离$$d=\sqrt{\frac{k^{2}}{2}-(\frac{k}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{k^{2}}{4}}=\frac{k}{2}$$。
直线$$FM$$方程：$$y=\frac{y_{0}}{x_{0}-k}(x-k)$$。
距离公式：$$d=\frac{|0-0-k\cdot \frac{y_{0}}{x_{0}-k}|}{\sqrt{1+(\frac{y_{0}}{x_{0}-k})^{2}}}=\frac{k|y_{0}|}{\sqrt{(x_{0}-k)^{2}+y_{0}^{2}}}=\frac{k}{2}$$。
又$$M$$在椭圆上：$$\frac{x_{0}^{2}}{3k^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{2k^{2}}=1$$。
联立解得斜率$$k_{FM}=\frac{y_{0}}{x_{0}-k}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$。
答案：A