圆锥曲线的弦长及中点弦问题-直线与圆锥曲线的位置关系知识点专题进阶自测题答案-辽宁省等高一数学选择必修,平均正确率50.0%

1、['圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '两角和与差的正切公式'， '向量的夹角']

正确率19.999999999999996%已知椭圆$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( 0 < b < 2 )$$，作倾斜角为$$\frac{3} {4}$$的直线交椭圆$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，线段$${{A}{B}}$$的中点为$${{M}{，}{O}}$$为坐标原点，$$\overrightarrow{O M}$$与$$\overrightarrow{M A}$$的夹角为$${{θ}}$$，且$$| \operatorname{t a n} \theta|=3$$，则$${{b}{=}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$

2、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']

正确率40.0%已知椭圆$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左焦点为$${{F}{，}}$$过点$${{F}}$$的直线$$x-y+\sqrt{2}=0$$与椭圆$${{C}}$$相交于不同的两点$${{A}{，}{B}{，}}$$若$${{P}}$$为线段$${{A}{B}}$$的中点$${，{O}}$$为坐标原点，直线$${{O}{P}}$$的斜率为$$- \frac1 2，$$则椭圆$${{C}}$$的方程为（）

A.$$\frac{x^{2}} {3}+y^{2}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {2}=1$$

C.$$\frac{x^{2}} {5}+\frac{y^{2}} {3}=1$$

D.$$\frac{x^{2}} {6}+\frac{y^{2}} {3}=1$$

3、['直线与椭圆的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']

正确率80.0%以椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {4}=1$$内一点$$M ( 1， 1 )$$为中点的弦所在的直线方程为$${{(}{)}}$$

A.$$4 x-3 y-3=0$$

B.$$x-4 y+3=0$$

C.$$4 x+y-5=0$$

D.$$x+4 y-5=0$$

4、['直线与抛物线的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']

正确率80.0%设经过点$$F ( 1， 0 )$$的直线与抛物线$$y^{2}=4 x$$相交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点．若线段$${{A}{B}}$$中点的横坐标为$${{2}}$$，则$$| A B |=$$

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{7}}$$

5、['平面上中点坐标公式'， '抛物线的焦点弦问题'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']

正确率40.0%过抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$的焦点$${{F}}$$作不与坐标轴垂直的直线，交抛物线于$${{M}{，}{N}}$$两点，弦$${{M}{N}}$$的垂直平分线交$${{x}}$$轴于点$${{H}}$$，若$$| M N |=2 0$$，则$$| F H |=~ ($$）

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{4}}$$

6、['点到直线的距离'， '椭圆的离心率'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']

正确率40.0%已知椭圆$$E_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$，直线$${{l}}$$过焦点且倾斜角为$$\frac{\pi} {4}，$$以椭圆的长轴为直径的圆截$${{l}}$$所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（）

A.$$\frac{\sqrt2} 3$$

B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

C.$$\frac{\sqrt{5}} {3}$$

D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$

7、['一元二次方程根与系数的关系'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']

正确率40.0%已知斜率为$${{1}}$$的直线$${{l}}$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$的右支交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A B |=8$$，则直线$${{l}}$$的方程为（）

A.$$y=x+\sqrt{2 1}$$

B.$$y=x-\sqrt{2 1}$$

C.$$y=x-\frac{3 \sqrt{5}} {5}$$

D.$$y=x+\frac{3 \sqrt{5}} {5}$$

8、['双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的其他性质'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '双曲线的标准方程']

正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的一条渐近线方程是$${{y}{=}{\sqrt {2}}{x}}$$，过其左焦点$$F (-\sqrt{3}， 0 )$$作斜率为$${{2}}$$的直线$${{l}}$$交双曲线$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，则截得的弦长$$| A B |=$$（）

A.$${{2}{\sqrt {5}}}$$

B.$${{4}{\sqrt {5}}}$$

C.$${{1}{0}}$$

D.$${{1}{0}{\sqrt {2}}}$$

9、['圆锥曲线的弦长及中点弦问题']

正确率40.0%如果椭圆$$\frac{x^{2}} {3 6}+\frac{y^{2}} {9}=1$$的弦$${{A}{B}}$$被点$$M ( x_{0}， y_{0} )$$平分，设直线$${{A}{B}}$$的斜率为$${{k}_{1}}$$，直线$${{O}{M}{(}{O}}$$为坐标原点)的斜率为$${{k}_{2}}$$，则$${{k}_{1}{{k}_{2}}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${{4}}$$

B.$$\frac{1} {4}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$$- \frac{1} {4}$$

10、['椭圆的定义'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']

正确率80.0%svg异常

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

设直线方程为$$y = -x + c$$（倾斜角$$\frac{3\pi}{4}$$，斜率为-1）。将其代入椭圆方程$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，整理得： $$(b^2 + 4)x^2 - 8cx + 4c^2 - 4b^2 = 0$$ 设$$A(x_1, y_1)$$、$$B(x_2, y_2)$$，中点$$M$$的坐标为$$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$。由韦达定理： $$\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{4c}{b^2 + 4}, \quad \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{b^2 c}{b^2 + 4}$$ 向量$$\overrightarrow{OM} = \left(\frac{4c}{b^2 + 4}, \frac{b^2 c}{b^2 + 4}\right)$$，$$\overrightarrow{MA} = \left(x_1 - \frac{4c}{b^2 + 4}, y_1 - \frac{b^2 c}{b^2 + 4}\right)$$。由夹角条件： $$\left|\tan \theta\right| = \left|\frac{\overrightarrow{OM} \times \overrightarrow{MA}}{\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{MA}}\right| = 3$$ 计算得$$b = \sqrt{2}$$，故选B。

直线$$x - y + \sqrt{2} = 0$$与椭圆相交，设$$A(x_1, y_1)$$、$$B(x_2, y_2)$$，中点$$P$$满足$$P\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$。由直线斜率关系： $$\frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2} = -\frac{1}{2}$$ 联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和焦点条件解得椭圆方程为$$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$$，故选A。

设直线斜率为$$k$$，方程为$$y - 1 = k(x - 1)$$。代入椭圆$$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$$，整理得： $$(1 + 4k^2)x^2 + 8k(1 - k)x + 4(1 - k)^2 - 16 = 0$$ 由中点条件，韦达定理得： $$\frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \Rightarrow k = -\frac{1}{4}$$ 直线方程为$$x + 4y - 5 = 0$$，故选D。

抛物线$$y^2 = 4x$$，直线过$$F(1, 0)$$，设斜率为$$k$$，方程为$$y = k(x - 1)$$。联立得： $$k^2 x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$ 中点为$$x = 2$$，由韦达定理： $$\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2k^2 + 4}{2k^2} = 2 \Rightarrow k^2 = 1$$ 弦长$$|AB| = x_1 + x_2 + p = 6$$，故选C。

抛物线$$y^2 = 2px$$，焦点$$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。设直线斜率为$$k$$，方程为$$y = k\left(x - \frac{p}{2}\right)$$。联立得： $$k^2 x^2 - (k^2 p + 2p)x + \frac{k^2 p^2}{4} = 0$$ 弦长$$|MN| = 20$$，由抛物线性质： $$|MN| = x_1 + x_2 + p = 20 \Rightarrow p = 8$$ 垂直平分线交$$x$$轴于$$H$$，计算得$$|FH| = 6$$，故选C。

椭圆$$E$$的长轴为$$2a$$，焦距为$$2c$$。直线$$l$$倾斜角$$\frac{\pi}{4}$$，方程为$$y = x \pm c$$。以长轴为直径的圆为$$x^2 + y^2 = a^2$$，截$$l$$的弦长为： $$2\sqrt{a^2 - \frac{c^2}{2}} = 2c \Rightarrow a^2 = \frac{3c^2}{2}$$ 离心率$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$，故选D。

双曲线$$\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$$，直线$$l$$斜率为1，方程为$$y = x + c$$。联立得： $$3x^2 + 8cx + 4c^2 + 4 = 0$$ 右支交两点，判别式$$\Delta > 0$$且$$x_1 + x_2 > 0$$。弦长$$|AB| = 8$$，解得$$c = -\sqrt{21}$$，直线方程为$$y = x - \sqrt{21}$$，故选B。

双曲线渐近线$$y = \sqrt{2}x$$，故$$\frac{b}{a} = \sqrt{2}$$。左焦点$$F(-\sqrt{3}, 0)$$，得$$c = \sqrt{3}$$，$$a = 1$$，$$b = \sqrt{2}$$。直线$$l$$斜率为2，方程为$$y = 2(x + \sqrt{3})$$。联立双曲线方程得： $$10x^2 + 12\sqrt{3}x + 15 = 0$$ 弦长$$|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = 10$$，故选C。

椭圆$$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1$$，弦$$AB$$中点$$M(x_0, y_0)$$。由点差法： $$\frac{x_1^2}{36} + \frac{y_1^2}{9} = 1, \quad \frac{x_2^2}{36} + \frac{y_2^2}{9} = 1$$ 相减得： $$\frac{(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)}{36} + \frac{(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)}{9} = 0$$ 即： $$\frac{2x_0}{36} + \frac{2y_0 k_1}{9} = 0 \Rightarrow k_1 = -\frac{x_0}{4y_0}$$ 又$$k_2 = \frac{y_0}{x_0}$$，故$$k_1 k_2 = -\frac{1}{4}$$，故选D。

10.

题目不完整，无法解析。

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