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正确率60.0%经过双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$的右焦点的直线与双曲线交于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$$| A B |=4$$，则这样的直线的条数为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
2、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%过双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {2}=1$$的右焦点作直线$${{l}}$$交双曲线于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$$| A B |=4$$，则满足条件的直线$${{l}}$$有（）
B
A.$${{4}}$$条
B.$${{3}}$$条
C.$${{2}}$$条
D.无数条
3、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义'， '直线与双曲线的交点个数']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {1 6}=1 ( a > 0 )$$的左右焦点，点$${{A}}$$在双曲线的右支上，点$$P ( 7， 2 )$$是平面内一定点，若对任意实数$${{m}}$$，直线$$4 x+3 y+m=0$$与双曲线$${{C}}$$至多有一个公共点，则$$| A P |+| A F_{2} |$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}{\sqrt {{3}{7}}}{−}{6}}$$
B.$$1 0-3 \sqrt{5}$$
C.$${{8}{−}{\sqrt {{3}{7}}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}{−}{2}}$$
4、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用'， '直线与双曲线的交点个数']正确率60.0%若直线$${{y}{=}{2}{x}}$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（）
B
A.$$( 1， \ \sqrt{5} )$$
B.$$( \: \sqrt{5}， \: \:+\infty)$$
C.$$( 1， ~ \sqrt{5} ]$$
D.$$[ \sqrt{5}， ~+\infty)$$
5、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与双曲线的交点个数']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的右焦点为$$F ( c， 0 )$$，直线$$y=k ( x-c )$$与双曲线的右支有两个交点，则（）
A
A.$$| k | > \frac{b} {a}$$
B.$$| k | < \frac b a$$
C.$$| k | > \frac{c} {a}$$
D.$$| k | < \frac{c} {a}$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点为$${{F}}$$，直线$${{l}}$$经过点$${{F}}$$且与双曲线的一条渐近线垂直，直线$${{l}}$$与双曲线的右支交于不同两点$${{A}{，}{B}}$$，若$$\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}，$$则该双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0. b > 0 )，$$过$${{x}}$$轴上的点$${{P}}$$与双曲线的右支相交于$$M， N ( M$$在第一象限$${{)}}$$，直线$${{N}{O}}$$交双曲线的左支与$${{Q}{(}{O}}$$为坐标原点$${{)}}$$，连接$${{Q}{M}}$$，若$$\angle M P O=1 2 0^{\circ} \，， \angle N M Q=3 0^{\circ} \，，$$则双曲线的离心率为（）
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
8、['双曲线的其他性质'， '直线与双曲线的交点个数']正确率60.0%过点$$P ( 4， 3 )$$作直线，使它与双曲线$$E : \frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {3}=1$$有且仅有一个公共点，这样的直线条数有$${{(}{)}}$$
C
A.$${{0}}$$条
B.$${{2}}$$条
C.$${{3}}$$条
D.$${{4}}$$条
10、['充分、必要条件的判定'， '直线与双曲线的交点个数']正确率60.0%$${{“}}$$直线与双曲线相切$${{”}}$$是$${{“}}$$直线与双曲线只有一个公共点$${{”}}$$的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1. 双曲线为 $$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$$，右焦点为 $$(\sqrt{5},0)$$。设直线斜率为 $$k$$，直线方程为 $$y=k(x-\sqrt{5})$$。代入双曲线方程，利用弦长公式 $$|AB|=\sqrt{1+k^{2}}|x_{1}-x_{2}|$$。当 $$|AB|=4$$ 时，解得 $$k$$ 的取值情况。经计算，存在两条斜率不同的直线满足条件，此外还有一条垂直于 $$x$$ 轴的直线（即 $$x=\sqrt{5}$$），但验证发现该直线与双曲线无交点或交点不满足弦长。实际上，满足条件的直线有 $$2$$ 条。
答案：C.$$2$$
2. 双曲线为 $$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$$，右焦点为 $$(\sqrt{3},0)$$。设直线 $$l$$ 斜率为 $$k$$，方程为 $$y=k(x-\sqrt{3})$$。代入双曲线，利用弦长公式 $$|AB|=\sqrt{1+k^{2}}|x_{1}-x_{2}|$$。令 $$|AB|=4$$，解得 $$k$$ 的取值。经分析，存在两条斜率不同的直线，另外当直线垂直于 $$x$$ 轴（即 $$x=\sqrt{3}$$）时，计算得弦长为 $$2\sqrt{2}$$，不满足 $$4$$。因此只有 $$2$$ 条直线。
答案：C.$$2$$条
3. 双曲线为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{16}=1$$，焦点 $$F_{1}(-c,0)$$，$$F_{2}(c,0)$$，其中 $$c=\sqrt{a^{2}+16}$$。条件：直线 $$4x+3y+m=0$$ 与双曲线至多一个公共点，说明该直线与双曲线相切或不相交，即双曲线与直线无割线，可得双曲线的渐近线斜率需满足一定条件。实际上，该条件暗示双曲线的开口程度，经推导得 $$a=3$$。点 $$A$$ 在右支，求 $$|AP|+|AF_{2}|$$ 最小值，利用双曲线定义 $$|AF_{1}|-|AF_{2}|=2a=6$$，即 $$|AF_{2}|=|AF_{1}|-6$$，因此 $$|AP|+|AF_{2}|=|AP|+|AF_{1}|-6$$，即求 $$|AP|+|AF_{1}|$$ 的最小值，为 $$P$$ 到 $$F_{1}$$ 的距离 $$|PF_{1}|=\sqrt{(7+5)^{2}+(2-0)^{2}}=\sqrt{144+4}=\sqrt{148}=2\sqrt{37}$$，故最小值为 $$2\sqrt{37}-6$$。
答案：A.$$2\sqrt{37}-6$$
4. 直线 $$y=2x$$ 与双曲线 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$ 有公共点。代入得 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{4x^{2}}{b^{2}}=1$$，即 $$x^{2}\left(\frac{1}{a^{2}}-\frac{4}{b^{2}}\right)=1$$。有解的条件是 $$\frac{1}{a^{2}}-\frac{4}{b^{2}}>0$$，即 $$b^{2}>4a^{2}$$。离心率 $$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}>\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$$。因此 $$e\in(\sqrt{5},+\infty)$$。
答案：B.$$(\sqrt{5},+\infty)$$
5. 直线 $$y=k(x-c)$$ 过右焦点 $$F(c,0)$$，与右支有两个交点。代入双曲线 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{k^{2}(x-c)^{2}}{b^{2}}=1$$。由于与右支有两交点，直线斜率需大于渐近线斜率，即 $$|k|>\frac{b}{a}$$。
答案：A.$$|k|>\frac{b}{a}$$
6. 直线 $$l$$ 过焦点 $$F(c,0)$$ 且与一条渐近线垂直。渐近线斜率为 $$\pm\frac{b}{a}$$，故 $$l$$ 的斜率为 $$\mp\frac{a}{b}$$。设 $$l:y=-\frac{a}{b}(x-c)$$。与双曲线联立，利用 $$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$$ 及交点位置关系，结合双曲线参数关系，解得离心率 $$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$。
答案：A.$$\frac{\sqrt{6}}{2}$$
7. 设点 $$P(p,0)$$，$$M$$ 和 $$N$$ 在右支，$$Q$$ 在左支。条件 $$\angle MPO=120^{\circ}$$，$$\angle NMQ=30^{\circ}$$。通过几何关系及双曲线性质，利用角度和对称性，可推导出离心率 $$e=\sqrt{3}$$。
答案：B.$$\sqrt{3}$$
8. 点 $$P(4,3)$$ 在双曲线 $$E:\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$$ 外部。过外部点作直线与双曲线有且仅一个公共点，这样的直线包括两条切线和一条与渐近线平行的直线（该直线与双曲线一支相交于一交点，另一支无交点）。验证得存在 $$3$$ 条直线。
答案：C.$$3$$条
10. 直线与双曲线相切则一定只有一个公共点，但只有一个公共点不一定相切（可能直线与渐近线平行，与双曲线一支相交于一交点，另一支无交点）。因此是充分不必要条件。
答案：A.充分不必要条件