.jpg)
正确率19.999999999999996%已知对
，直线
与椭圆
恒有公共点，则实数
的取值范围
C
A.
B.
C.
D.
我们需要确定实数 $$m$$ 的取值范围，使得对于任意 $$k \in \mathbb{R}$$，直线 $$y = kx + 1$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{m} = 1$$ 恒有公共点。
**步骤1：联立方程求交点条件**
将直线方程 $$y = kx + 1$$ 代入椭圆方程 $$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{m} = 1$$，得到：
$$
\frac{x^2}{5} + \frac{(kx + 1)^2}{m} = 1
$$
整理后得到关于 $$x$$ 的二次方程：
$$
\left( \frac{1}{5} + \frac{k^2}{m} \right)x^2 + \frac{2k}{m}x + \left( \frac{1}{m} - 1 \right) = 0
$$
**步骤2：判别式非负**
为了保证直线与椭圆有交点，上述二次方程必须有实数解，即判别式 $$D \geq 0$$。计算判别式：
$$
D = \left( \frac{2k}{m} \right)^2 - 4 \left( \frac{1}{5} + \frac{k^2}{m} \right) \left( \frac{1}{m} - 1 \right) \geq 0
$$
展开并简化：
$$
\frac{4k^2}{m^2} - 4 \left( \frac{1}{5m} - \frac{1}{5} + \frac{k^2}{m^2} - \frac{k^2}{m} \right) \geq 0
$$
进一步整理：
$$
4k^2 \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{m^2} + \frac{1}{m} \right) + \frac{4}{5} - \frac{4}{5m} \geq 0
$$
化简为：
$$
\frac{4k^2}{m} + \frac{4}{5} - \frac{4}{5m} \geq 0
$$
两边除以 4：
$$
\frac{k^2}{m} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5m} \geq 0
$$
**步骤3：对任意 $$k$$ 成立的条件**
上述不等式需要对所有实数 $$k$$ 成立。考虑 $$k^2 \geq 0$$，分情况讨论：
1. **当 $$m > 0$$ 时**：
- 不等式可以写成：
$$
k^2 \geq \frac{1}{5} - \frac{m}{5}
$$
- 由于 $$k^2 \geq 0$$，必须有：
$$
\frac{1}{5} - \frac{m}{5} \leq 0 \quad \Rightarrow \quad m \geq 1
$$
2. **当 $$m < 0$$ 时**：
- 不等式方向反转（因为 $$m$$ 为负）：
$$
k^2 \leq \frac{1}{5} - \frac{m}{5}
$$
- 由于 $$k^2$$ 可以无限大，不存在 $$m < 0$$ 满足对所有 $$k$$ 成立。
**步骤4：验证边界情况**
当 $$m = 1$$ 时，椭圆方程为 $$\frac{x^2}{5} + y^2 = 1$$，直线 $$y = kx + 1$$ 与之相切或相交。验证判别式：
$$
D = \frac{4k^2}{1} + \frac{4}{5} - \frac{4}{5 \times 1} = 4k^2 \geq 0
$$
对所有 $$k$$ 成立。
**结论**
实数 $$m$$ 的取值范围为 $$[1, +\infty)$$。因此，正确答案是选项 **D** $$[1,5) \cup (5,+\infty)$$ 的子集，但更精确的范围是 $$[1, +\infty)$$。不过题目选项中有 $$[1,5)$$ 和 $$(5,+\infty)$$ 的并集，考虑到椭圆定义要求 $$m \neq 5$$（否则退化为圆），综合后为 $$[1,5) \cup (5,+\infty)$$。
**最终答案：D** $$[1,5) \cup (5,+\infty)$$
题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱