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正确率80.0%若直线$${{l}}$$平行于双曲线的一条渐近线，则$${{l}}$$与双曲线的公共点的个数为（）
B
A.$${{0}}$$或$${{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{0}}$$或$${{2}}$$
D.$${{1}}$$或$${{2}}$$
2、['两直线的交点坐标'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与椭圆的交点个数'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%给出下列曲线：$$\oplus4 x+2 y-1=0 ; \， \oplus\， x^{2}+y^{2}=3 ; \， \oplus\， \frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1 ; \， \oplus\， \frac{x^{2}} {2}-y^{2}=1$$.其中与直线$${{y}{=}{−}{2}{x}{−}{3}}$$有公共点的曲线是（）
D
A.$${①{③}}$$
B.$${②{④}}$$
C.$${①{②}{④}}$$
D.$${②{③}{④}}$$
3、['一元二次不等式的解法'， '二次函数的图象分析与判断'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%已知直线$${{y}{=}{k}{x}{−}{1}}$$和双曲线$${{x}^{2}{−}{{y}^{2}}{=}{1}}$$的右支交于不同两点，则$${{k}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{(}{1}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$
B.$${{(}{−}{\sqrt {2}}{，}{−}{1}{)}{⋃}{{(}{1}{，}{\sqrt {2}}{)}}}$$
C.$${{(}{−}{\sqrt {2}}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$
D.$${{(}{−}{\sqrt {2}}{，}{−}{1}{)}{⋃}{{(}{−}{1}{，}{1}{)}}{⋃}{{(}{1}{，}{\sqrt {2}}{)}}}$$
5、['两点间的斜率公式'， '平面上中点坐标公式'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%已知双曲线$${{C}}$$的中心为原点，$${{F}{(}{3}{，}{0}{)}}$$是$${{C}}$$的一个焦点，过$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与$${{C}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$${{A}{B}}$$的中点为$${{E}{(}{−}{{1}{2}}{，}{−}{{1}{5}}{)}}$$，则$${{C}}$$的标准方程为
B
A.$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{y^{2}} {6}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {6}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {5}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
6、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用'， '直线与双曲线的交点个数']正确率60.0%若直线$${{y}{=}{2}{x}}$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（）
B
A.$${（{1}{，}{\sqrt {5}}{）}}$$
B.$${（{\sqrt {5}}{，}{+}{∞}{）}}$$
C.$${（{1}{，}{\sqrt {5}}{]}}$$
D.$${{[}{\sqrt {5}}{，}{+}{∞}{）}}$$
7、['两点间的斜率公式'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%已知$${{A}{，}{B}{，}{P}}$$为双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {4}=1$$上不同三点，且满足$$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=2 \overrightarrow{P O} ( O$$为坐标原点$${{)}}$$，直线$${{P}{A}{，}{P}{B}}$$的斜率记为$${{m}{，}{n}}$$，则$$m^{2}+\frac{n^{2}} {4}$$的最小值为（）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
8、['双曲线的其他性质'， '直线与双曲线的交点个数'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率60.0%若直线$${{x}{=}{t}}$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$有两个交点，则$${{t}}$$的值可以是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{2}}$$
9、['双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的交点个数']正确率60.0%直线$$y=\frac{b} {a} x+3$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的交点个数是（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$或$${{2}}$$
D.$${{0}}$$
10、['直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%直线$${{l}{:}{y}{=}{k}{x}}$$与双曲线$${{C}{:}{{x}^{2}}{−}{{y}^{2}}{=}{2}}$$交于不同的两点，则斜率$${{k}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
B.$${{(}{−}{\sqrt {2}}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$
C.$${{(}{−}{1}{，}{1}{)}}$$
D.$${{[}{−}{1}{，}{1}{]}}$$
1. 直线$$l$$平行于双曲线的一条渐近线时，有两种情况：
- 若$$l$$与双曲线的渐近线重合，则有无穷多个公共点。
- 若$$l$$与双曲线的渐近线平行但不重合，则无公共点。
但题目中$$l$$仅平行于一条渐近线，未说明是否重合，因此公共点个数为$$0$$或$$1$$。答案为$$A$$。
2. 直线$$y=-2x-3$$与各曲线的交点情况：
- $$\oplus4x+2y-1=0$$：代入得$$4x+2(-2x-3)-1=0$$，化简为$$-7=0$$，无解，无公共点。
- $$\oplus x^2+y^2=3$$：代入得$$x^2+(-2x-3)^2=3$$，化简为$$5x^2+12x+6=0$$，判别式$$\Delta=24>0$$，有公共点。
- $$\oplus \frac{x^2}{2}+y^2=1$$：代入得$$\frac{x^2}{2}+(-2x-3)^2=1$$，化简为$$9x^2+24x+17=0$$，判别式$$\Delta=-12<0$$，无公共点。
- $$\oplus \frac{x^2}{2}-y^2=1$$：代入得$$\frac{x^2}{2}-(-2x-3)^2=1$$，化简为$$-7x^2-24x-10=0$$，判别式$$\Delta=176>0$$，有公共点。
因此，有公共点的曲线是$$②④$$，答案为$$B$$。
3. 直线$$y=kx-1$$与双曲线$$x^2-y^2=1$$联立，得$$x^2-(kx-1)^2=1$$，化简为$$(1-k^2)x^2+2kx-2=0$$。要求右支有两个不同交点，需满足：
- 判别式$$\Delta=4k^2+8(1-k^2)>0$$，即$$k^2<2$$。
- $$1-k^2 \neq 0$$，即$$k \neq \pm1$$。
- 两根之和$$\frac{-2k}{1-k^2}>0$$，两根之积$$\frac{-2}{1-k^2}<0$$，解得$$k^2>1$$。
综上，$$k \in (-\sqrt{2},-1) \cup (1,\sqrt{2})$$，答案为$$B$$。
5. 设双曲线标准方程为$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$，焦点$$F(3,0)$$，故$$a^2+b^2=9$$。直线$$l$$过$$F$$和$$E(-12,-15)$$，斜率为$$\frac{0-(-15)}{3-(-12)}=1$$，方程为$$y=x-3$$。联立双曲线与直线，利用中点条件可解得$$a^2=4$$，$$b^2=5$$。因此双曲线方程为$$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$$，答案为$$B$$。
6. 直线$$y=2x$$与双曲线$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$联立，得$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{4x^2}{b^2}=1$$，化简为$$(b^2-4a^2)x^2=a^2b^2$$。有解需$$b^2-4a^2>0$$，即$$\frac{b^2}{a^2}>4$$。离心率$$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}>\sqrt{5}$$，答案为$$B$$。
7. 设$$P(x_0,y_0)$$，$$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，由$$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PO}$$得$$A$$和$$B$$关于$$P$$对称。利用双曲线方程和斜率公式，通过对称性化简得$$m^2+\frac{n^2}{4} \geq 4$$，最小值为$$4$$，答案为$$B$$。
8. 直线$$x=t$$与双曲线$$\frac{x^2}{4}-y^2=1$$联立，得$$\frac{t^2}{4}-y^2=1$$，即$$y^2=\frac{t^2}{4}-1$$。有两个交点需$$\frac{t^2}{4}-1>0$$，即$$t^2>4$$。选项中只有$$A$$（$$t=4$$）满足，答案为$$A$$。
9. 直线$$y=\frac{b}{a}x+3$$与双曲线$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$联立，判别式分析表明：
- 若直线与渐近线平行（即斜率为$$\pm \frac{b}{a}$$），则可能无交点或有一个交点。
- 但题目中直线斜率为$$\frac{b}{a}$$，与双曲线的一条渐近线平行，且截距$$3 \neq 0$$，故无交点，答案为$$D$$。
10. 直线$$y=kx$$与双曲线$$x^2-y^2=2$$联立，得$$x^2(1-k^2)=2$$。有不同两点需$$1-k^2>0$$，即$$k^2<1$$，故$$k \in (-1,1)$$，答案为$$C$$。