直线与双曲线的交点个数-直线与圆锥曲线的位置关系知识点课后基础选择题自测题答案-江苏省等高一数学选择必修,平均正确率60.0%

正确率60.0%若直线$$y=k x+2$$与双曲线$$x^{2}-y^{2}=6$$的右支交于不同的两点，则$${{k}}$$的取值范围是（）

D

A.$$\left(-\frac{\sqrt{1 5}} {3}， \ \frac{\sqrt{1 5}} {3} \right)$$

B.$$\left( 0， ~ \frac{\sqrt{1 5}} {3} \right)$$

C.$$\left(-\frac{\sqrt{1 5}} {3}， \ 0 \right)$$

D.$$\left(-\frac{\sqrt{1 5}} {3}， \， \， \，-1 \right)$$

正确率60.0%经过双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$的右焦点的直线与双曲线交于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$$| A B |=4$$，则这样的直线的条数为（）​

B

A.$${{4}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

正确率40.0%过等轴双曲线的焦点$${{F}}$$作它的一条渐近线的平行线分别交另一条渐近线以及双曲线于$${{M}{，}{N}}$$两点，则（）

A

A.$$| F N |=| N M |$$

B.$$| F N | > | N M |$$

C.$$| F N | < | N M |$$

D.$$| F N |， ~ | N M |$$的大小关系不确定

正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 ).$$过其右焦点且倾斜角为$${{4}{5}^{∘}}$$的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率$${{e}}$$的取值范围是（）

A

A.$$( 1， \sqrt{2} )$$

B.$$( 1， \sqrt{3} )$$

C.$$( \sqrt2， \sqrt3 )$$

D.$$( 1， \sqrt{5} )$$

正确率40.0%已知直线$$y=k x-1$$和双曲线$$x^{2}-y^{2}=1$$的右支交于不同两点，则$${{k}}$$的取值范围是（）

A

A.$$( 1， \sqrt{2} )$$

B.$$(-\sqrt{2}，-1 ) \bigcup\， ( 1， \sqrt{2} )$$

C.$$(-\sqrt{2}， \sqrt{2} )$$

D.$$(-\sqrt{2}，-1 ) \bigcup(-1， 1 ) \bigcup( 1， \sqrt{2} )$$

正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {1 6}=1 ( a > 0 )$$的左右焦点，点$${{A}}$$在双曲线的右支上，点$$P ( 7， 2 )$$是平面内一定点，若对任意实数$${{m}}$$，直线$$4 x+3 y+m=0$$与双曲线$${{C}}$$至多有一个公共点，则$$| A P |+| A F_{2} |$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A

A.$${{2}{\sqrt {{3}{7}}}{−}{6}}$$

B.$$1 0-3 \sqrt{5}$$

C.$${{8}{−}{\sqrt {{3}{7}}}}$$

D.$${{2}{\sqrt {5}}{−}{2}}$$

正确率40.0%已知$$A， B， P$$为双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {4}=1$$上不同三点，且满足$$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=2 \overrightarrow{P O} ( O$$为坐标原点$${{)}}$$，直线$$P A， P B$$的斜率记为$${{m}{，}{n}}$$，则$$m^{2}+\frac{n^{2}} {4}$$的最小值为（）

B

A.$${{8}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

正确率60.0%若双曲线$$\frac{{\bf x}^{2}} {{\bf a}^{2}}-\frac{{\bf y}^{2}} {{\bf b}^{2}} {=} {\bf1} ( {\bf a} > 0， {\bf b} > 0 )$$与直线$${{y}{=}{\sqrt {3}}{x}}$$有交点，则其离心率的取值范围是$${{(}{)}}$$

C

A.$$( 1， 2 )$$

B.$$( 1. 2 ]$$

C.$${{(}{2}{{，}{+}{∞}{)}}}$$

D.$${{[}{2}{{，}{+}{∞}{)}}}$$

1. 将直线方程 $$y = kx + 2$$ 代入双曲线方程 $$x^2 - y^2 = 6$$，得到：

由于直线与双曲线右支有两个不同交点，需满足以下条件：

解得 $$k \in \left(-\frac{\sqrt{15}}{3}, -1\right)$$，对应选项 D。

2. 双曲线 $$\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$$ 的右焦点为 $$(\sqrt{5}, 0)$$。设直线斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - \sqrt{5})$$。代入双曲线方程，整理得：

弦长公式 $$|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = 4$$。通过计算判别式 $$\Delta$$ 并解方程，可得 $$k$$ 有 2 个实数解。另外，垂直于 $$x$$ 轴的直线 $$x = \sqrt{5}$$ 也与双曲线交于两点，但弦长为 $$2$$，不满足条件。因此共有 3 条直线，对应选项 B。

3. 设等轴双曲线为 $$x^2 - y^2 = a^2$$，其渐近线为 $$y = \pm x$$，焦点 $$F(\sqrt{2}a, 0)$$。作一条渐近线的平行线 $$y = x - \sqrt{2}a$$，与另一渐近线 $$y = -x$$ 交于 $$M\left(\frac{\sqrt{2}a}{2}, -\frac{\sqrt{2}a}{2}\right)$$，与双曲线交于 $$N\left(\frac{3\sqrt{2}a}{2}, \frac{\sqrt{2}a}{2}\right)$$。计算距离得 $$|FN| = |NM| = a$$，对应选项 A。

5. 双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的右焦点为 $$(c, 0)$$，直线斜率为 1，方程为 $$y = x - c$$。代入双曲线方程，整理得：

要求判别式 $$\Delta > 0$$ 且 $$b^2 - a^2 < 0$$（保证双曲线开口方向），解得离心率 $$e \in (1, \sqrt{2})$$，对应选项 A。

6. 将直线 $$y = kx - 1$$ 代入双曲线 $$x^2 - y^2 = 1$$，整理得：

要求判别式 $$\Delta > 0$$ 且 $$1 - k^2 \neq 0$$，且两根为正（右支条件）。解得 $$k \in (1, \sqrt{2})$$，对应选项 A。

7. 双曲线 $$C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{16} = 1$$ 的渐近线为 $$y = \pm \frac{4}{a}x$$。直线 $$4x + 3y + m = 0$$ 与双曲线至多一个交点，说明其为渐近线，斜率 $$-\frac{4}{3}$$。因此 $$\frac{4}{a} = \frac{4}{3}$$，得 $$a = 3$$。右焦点 $$F_2(5, 0)$$，点 $$P(7, 2)$$。由双曲线性质，$$|AP| + |AF_2|$$ 的最小值为 $$|PF_1| - 2a = 2\sqrt{37} - 6$$，对应选项 A。

8. 设 $$P(x_0, y_0)$$，由向量条件 $$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PO}$$，得 $$A$$ 和 $$B$$ 关于 $$P$$ 对称。利用双曲线参数方程和斜率公式，通过优化计算得 $$m^2 + \frac{n^2}{4}$$ 的最小值为 4，对应选项 B。

9. 双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 与直线 $$y = \sqrt{3}x$$ 有交点，需渐近线斜率 $$\frac{b}{a} > \sqrt{3}$$。离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} > 2$$，对应选项 D。