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正确率40.0%直线$${{x}{−}{\sqrt {3}}{y}{+}{\sqrt {3}}{=}{0}}$$经过椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \; ( a > b > 0 )$$的左焦点$${{F}}$$，交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点，交$${{y}}$$轴于$${{C}}$$点，若$$\overrightarrow{F C}=2 \overrightarrow{C A}，$$则该椭圆的离心率是（）
A
A.$${\sqrt {3}{−}{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt3-1} {2}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{2}}$$
D.$${\sqrt {2}{−}{1}}$$
2、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%已知以$${{F}_{1}{(}{−}{2}{，}{0}{)}{，}{{F}_{2}}{(}{2}{，}{0}{)}}$$为焦点的椭圆与直线$${{x}{+}{y}{+}{4}{=}{0}}$$有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（）
C
A.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {6}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
D.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
3、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '直线与椭圆的交点个数']正确率40.0%椭圆$$C_{1} \colon~ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$与双曲线$$C_{2} \colon~ \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的离心率之积为$$\frac{\sqrt3} {2}，$$直线$${{l}{：}{x}{−}{y}{+}{3}{=}{0}}$$与椭圆$${{C}_{1}}$$相切，则椭圆$${{C}_{1}}$$的方程为（）
C
A.$$\frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {6}+\frac{y^{2}} {3}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {8}=1$$
4、['直线与椭圆的综合应用'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%直线$${{y}{=}{x}{+}{1}}$$被椭圆$${{x}^{2}{+}{2}{{y}^{2}}{=}{4}}$$所截得线段中点的坐标是（）
C
A.$$( \frac{2} {3}， \frac{1} {2} )$$
B.$$( \frac{1} {3}，-\frac{2} {3} )$$
C.$$(-\frac{2} {3}， \frac{1} {3} )$$
D.$$(-\frac{1} {3}， \frac{2} {3} )$$
5、['一元二次方程根与系数的关系'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '直线与椭圆的交点个数'， '直线的斜率']正确率40.0%已知椭圆$$\mathit{E :} \ \frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {2}=1， \ O$$为坐标原点，作斜率为$${{k}}$$的直线交椭圆$${{E}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，线段$${{A}{B}}$$的中点为$${{M}}$$，直线$${{O}{M}}$$与$${{A}{B}}$$的夹角为$${{θ}{，}}$$且$${{t}{a}{n}{θ}{=}{2}{\sqrt {2}}}$$，则$${{k}{=}{(}{)}}$$
A
A.$$\pm\frac{\sqrt{2}} {2}$$
B.$${{±}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
6、['点到直线的距离'， '椭圆的其他性质'， '直线与椭圆的交点个数']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {6}+\frac{y^{2}} {2}=1$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，直线$${{l}{：}{y}{=}{k}{x}{+}{m}}$$与椭圆相切，记$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$到直线$${{l}}$$的距离分别为$${{d}_{1}{，}{{d}_{2}}}$$，则$${{d}_{1}{{d}_{2}}}$$的值是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
8、['椭圆的其他性质'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%若直线$${{y}{=}{k}{x}{+}{2}}$$和椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( b > 0 )$$恒有公共点，则实数$${{b}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{[}{2}{，}{3}{)}{∪}{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{[}{2}{，}{3}{)}}$$
D.$${{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$
9、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '直线与椭圆的交点个数']正确率40.0%已知点$${{F}_{1}{(}{−}{1}{，}{0}{)}{，}{{F}_{2}}{(}{1}{，}{0}{)}}$$，直线$${{l}{：}{y}{=}{x}{+}{2}}$$.若以$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$为焦点的椭圆$${{C}}$$与直线$${{l}}$$有公共点，则椭圆$${{C}}$$的离心率最大值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {5}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
10、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} 4+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \; ( 0 < b < 2 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过左焦点$${{F}_{1}}$$作斜率为$${{2}}$$的直线与椭圆交于$${{A}{，}{B}}$$两点，$${{A}{B}}$$的中点是$${{P}{，}{O}}$$为坐标原点，若直线$${{O}{P}}$$的斜率为$$- \frac{1} {4}$$，则$${{b}}$$的值是（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
1. 解析：
首先确定椭圆的左焦点 $$F$$ 为 $$(-c, 0)$$，代入直线方程 $$x - \sqrt{3}y + \sqrt{3} = 0$$ 得 $$-c + \sqrt{3} = 0$$，解得 $$c = \sqrt{3}$$。
直线与 $$y$$ 轴交点 $$C$$ 为 $$(0, 1)$$。由向量关系 $$\overrightarrow{FC} = 2 \overrightarrow{CA}$$，可得 $$A$$ 点坐标为 $$( \frac{c}{2}, \frac{1}{2} ) = ( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} )$$。
将 $$A$$ 点代入椭圆方程 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，并结合 $$c^2 = a^2 - b^2$$，联立解得 $$a = \sqrt{3} + 1$$，$$b = \sqrt{2(\sqrt{3} + 1)}$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$$。故选 A。
2. 解析：
设椭圆方程为 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦距 $$2c = 4$$，故 $$c = 2$$，$$b^2 = a^2 - 4$$。
椭圆与直线 $$x + y + 4 = 0$$ 相切，联立方程判别式为 0，解得 $$a^2 = 8$$，故长轴长为 $$2a = 2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$$。故选 D。
3. 解析：
椭圆 $$C_1$$ 的离心率 $$e_1 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$$，双曲线 $$C_2$$ 的离心率 $$e_2 = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$$。
由题意 $$e_1 \cdot e_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，代入化简得 $$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$$，即 $$a^2 = 2b^2$$。
椭圆 $$C_1$$ 与直线 $$x - y + 3 = 0$$ 相切，联立方程判别式为 0，解得 $$a^2 = 6$$，$$b^2 = 3$$。
故椭圆方程为 $$\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1$$。故选 C。
4. 解析：
将直线 $$y = x + 1$$ 代入椭圆 $$x^2 + 2y^2 = 4$$，得 $$3x^2 + 4x - 2 = 0$$。
设交点中点为 $$(x_0, y_0)$$，由中点公式 $$x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{2}{3}$$，$$y_0 = x_0 + 1 = \frac{1}{3}$$。
故中点坐标为 $$(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$$。故选 C。
5. 解析：
设直线 $$AB$$ 方程为 $$y = kx + m$$，与椭圆 $$E$$ 联立得 $$(1 + 2k^2)x^2 + 4kmx + 2m^2 - 4 = 0$$。
中点 $$M$$ 坐标为 $$(-\frac{2km}{1 + 2k^2}, \frac{m}{1 + 2k^2})$$，直线 $$OM$$ 斜率为 $$-\frac{1}{2k}$$。
由夹角公式 $$\tan \theta = \left| \frac{k + \frac{1}{2k}}{1 - \frac{k}{2k}} \right| = 2\sqrt{2}$$，解得 $$k = \pm \sqrt{2}$$。故选 B。
6. 解析：
椭圆方程为 $$\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$$，焦点 $$F_1 = (-2, 0)$$，$$F_2 = (2, 0)$$。
直线 $$y = kx + m$$ 与椭圆相切，判别式为 0，得 $$m^2 = 2k^2 + 2$$。
计算 $$d_1$$ 和 $$d_2$$ 得 $$d_1 d_2 = \frac{| -2k + m |}{\sqrt{k^2 + 1}} \cdot \frac{| 2k + m |}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{| m^2 - 4k^2 |}{k^2 + 1} = 2$$。故选 B。
8. 解析：
直线 $$y = kx + 2$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 恒有交点，联立方程判别式非负。
化简得 $$b^2 \geq 4$$，且 $$b \neq 3$$（否则退化为圆）。故 $$b \in [2, 3) \cup (3, +\infty)$$。故选 B。
9. 解析：
设椭圆方程为 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦距 $$2c = 2$$，故 $$c = 1$$，$$b^2 = a^2 - 1$$。
椭圆与直线 $$y = x + 2$$ 相切，联立方程判别式为 0，解得 $$a^2 = 5$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$ 为最大值。故选 C。
10. 解析：
椭圆方程为 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$，左焦点 $$F_1 = (-\sqrt{4 - b^2}, 0)$$。
直线斜率为 2，方程为 $$y = 2(x + \sqrt{4 - b^2})$$，与椭圆联立得 $$(4 + b^2)x^2 + 8\sqrt{4 - b^2} x + 4(4 - b^2) - b^4 = 0$$。
中点 $$P$$ 的横坐标为 $$-\frac{4\sqrt{4 - b^2}}{4 + b^2}$$，纵坐标为 $$\frac{2b^2}{4 + b^2}$$。
由 $$OP$$ 斜率 $$-\frac{1}{4}$$，解得 $$b = \sqrt{2}$$。故选 D。