直线与圆锥曲线的其他应用-直线与圆锥曲线的位置关系知识点专题基础自测题解析-河北省等高一数学选择必修,平均正确率60.0%

1、['直线与圆锥曲线的其他应用']

正确率80.0%已知双曲线$$C \colon~ \frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {2}=1$$的右顶点为$${{A}}$$，过点$${{A}}$$作圆$$x^{2}+y^{2}=1$$的两条切线$${{A}{M}}$$，$${{A}{N}}$$，切点分别为$${{M}}$$，$${{N}}$$，则$${{△}{A}{M}{N}}$$的面积为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{1}}$$

C.$$\frac{7 \sqrt{7}} {1 6}$$

D.$$\frac{7 \sqrt{7}} {8}$$

2、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%设双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$右焦点为$${{F}}$$，过$${{F}}$$作与$${{x}}$$轴垂直的直线$${{l}}$$与两条渐近线相交于$${{A}{、}{B}}$$两点，$${{P}}$$是直线$${{l}}$$与双曲线的一个交点．设$${{O}}$$为坐标原点．若有实数$${{m}{、}{n}}$$，使得$$\overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{O A}+n \overrightarrow{O B}，$$且$$m n=\frac{2} {9}$$，则该双曲线的离心率为（）

A.$$\frac{3 \sqrt2} {4}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\underset{\frac{9} {8}}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{3 \sqrt{5}} {5}$$

D.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$

3、['椭圆的离心率'， '直线的点斜式方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与圆锥曲线的其他应用']

正确率40.0%已知椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \matrix} a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ F_{2}$$也是抛物线$$E \! : ~ ~ y^{2} \!=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点，点$${{A}}$$为$${{C}}$$与$${{E}}$$的一个交点，且直线$${{A}{{F}_{1}}}$$的倾斜角为$${{4}{5}^{∘}}$$，则$${{C}}$$的离心率为（）

A.$$\frac{\sqrt{5}-1} {2}$$

B.$$\sqrt{2}-1$$

C.$${{3}{−}{\sqrt {5}}}$$

D.$$\sqrt{2}+1$$

5、['根据方程研究曲线的性质'， '直线与圆锥曲线的其他应用']

正确率60.0%已知曲线$$C_{1} \colon~ | y |-x=2$$与曲线$$C_{2} \colon~ \lambda x^{2}+y^{2}=4$$恰好有两个不同的公共点，则实数$${{λ}}$$的取值范围是（）

A.$$( \mathbf{\psi}-\infty， \mathbf{\psi}-1 \mathbf{\psi} \cup[ 0， \mathbf{\Lambda} 1 )$$

B.$$( \ -1， \ 1 ]$$

C.$$[-1， \ 1 )$$

D.$$[-1， ~ 0 ] \cup~ ( 1， ~+\infty)$$

6、['点到直线的距离'， '直线与双曲线的综合应用'， '直线与圆锥曲线的其他应用']

正确率40.0%方程$$\sqrt{\left( x+3 \right)^{2}+\left( y-1 \right)^{2}}-\left| x-y+3 \right|=0$$表示的图形是（）

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.以上都不对

7、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '直线与圆锥曲线的其他应用']

正确率40.0%设抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，直线$${{l}}$$过$${{F}}$$且与$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A F |=3 | B F |$$，则$${{|}{A}{B}{|}}$$等于（）

A.$$\frac{5} {2}$$

B.$$\frac{1 6} {3}$$

C.$${{3}}$$

D.$$\frac{1 7} {2}$$

8、['双曲线的离心率'， '两条直线垂直'， '直线与圆锥曲线的其他应用']

正确率40.0%双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，过点$${{F}_{2}}$$作渐近线的垂线，与双曲线的左支交于点$${{P}}$$，且$$| P F_{1} |=| F_{1} F_{2} |$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为

A.$${{2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$$\frac{5} {3}$$

D.$${\sqrt {2}}$$

9、['直线与圆锥曲线的其他应用']

正确率80.0%设P是椭圆$$\frac{y^{2}} {2 5}+\frac{x^{2}} {9}=1$$上一点，M、N分别是两圆：x²+（y+4）²=1和x²+（y-4）²=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）

A.8

B.14

C.16

D.20

10、['直线与圆锥曲线的其他应用']

正确率80.0%抛物线$${{E}}$$：$$x^{2}=4 y$$与圆$${{M}}$$：$$x^{2}+( y-1 )^{2}=2 5$$交于$${{A}}$$、$${{B}}$$两点，圆心$$M ( 0， 1 )$$，点$${{P}}$$为劣弧$$\widehat{A B}$$上不同于$${{A}}$$、$${{B}}$$的一个动点，平行于$${{y}}$$轴的直线$${{P}{N}}$$交抛物线于点$${{N}}$$，则$${{△}{P}{M}{N}}$$的周长的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$( 6， 1 2 )$$

B.$$( 8， 1 0 )$$

C.$$( 6， 1 0 )$$

D.$$( 1 0， 1 2 )$$

1. 双曲线 $$C \colon \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$$ 的右顶点为 $$A(\sqrt{2}, 0)$$。圆的方程为 $$x^{2} + y^{2} = 1$$，圆心为 $$O(0,0)$$，半径为 1。过点 $$A$$ 作圆的两条切线，切点分别为 $$M$$ 和 $$N$$。

首先计算切线长度：$$|AM| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = 1$$。由于对称性，$$M$$ 和 $$N$$ 关于 $$x$$ 轴对称，设 $$M(x, y)$$，则 $$N(x, -y)$$。

利用切线性质，$$OM \perp AM$$，因此向量 $$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$$，即 $$x(x - \sqrt{2}) + y^2 = 0$$。又因为 $$M$$ 在圆上，$$x^2 + y^2 = 1$$，代入得 $$x \sqrt{2} = 1$$，即 $$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$，$$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$。

三角形 $$AMN$$ 的面积为 $$\frac{1}{2} \times |MN| \times h$$，其中 $$|MN| = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$，$$h = \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$。因此面积为 $$\frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$。

答案为 $$\boxed{A}$$。

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2. 双曲线 $$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ 的右焦点为 $$F(c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$。过 $$F$$ 作垂直于 $$x$$ 轴的直线 $$l \colon x = c$$，与渐近线 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$ 的交点为 $$A(c, \frac{bc}{a})$$ 和 $$B(c, -\frac{bc}{a})$$。

双曲线与直线 $$l$$ 的交点 $$P(c, \frac{b^2}{a})$$（取上方交点）。根据题意，$$\overrightarrow{OP} = m \overrightarrow{OA} + n \overrightarrow{OB}$$，即 $$(c, \frac{b^2}{a}) = m(c, \frac{bc}{a}) + n(c, -\frac{bc}{a})$$。

解得 $$m + n = 1$$ 和 $$m - n = \frac{b}{c}$$。又因为 $$mn = \frac{2}{9}$$，联立解得 $$\frac{b}{c} = \frac{1}{3}$$，即 $$b = \frac{c}{3}$$。代入 $$c^2 = a^2 + b^2$$ 得 $$c^2 = a^2 + \frac{c^2}{9}$$，整理得 $$\frac{8c^2}{9} = a^2$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$$。

答案为 $$\boxed{A}$$。

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3. 椭圆 $$C \colon \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ 的右焦点 $$F_2(c, 0)$$ 也是抛物线 $$E \colon y^2 = 2px$$ 的焦点，故 $$c = \frac{p}{2}$$。

设点 $$A$$ 为椭圆与抛物线的交点，直线 $$AF_1$$ 的倾斜角为 $$45^\circ$$，斜率为 1。设 $$A(x, y)$$，则 $$y = x + c$$（因为 $$F_1(-c, 0)$$）。代入抛物线方程得 $$(x + c)^2 = 2px$$，解得 $$x = c$$（舍去 $$x = -c$$），故 $$A(c, 2c)$$。

将 $$A(c, 2c)$$ 代入椭圆方程得 $$\frac{c^2}{a^2} + \frac{4c^2}{b^2} = 1$$。又因为 $$b^2 = a^2 - c^2$$，整理得 $$5c^2 = a^2 - c^2$$，即 $$a^2 = 6c^2$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$，但选项中没有此答案，重新检查计算。

实际上，抛物线方程为 $$y^2 = 4cx$$（因为 $$p = 2c$$），代入 $$A(c, 2c)$$ 得 $$4c^2 = 4c^2$$ 恒成立。再代入椭圆方程 $$\frac{c^2}{a^2} + \frac{4c^2}{a^2 - c^2} = 1$$，整理得 $$c^2(a^2 - c^2) + 4a^2c^2 = a^2(a^2 - c^2)$$，化简为 $$a^2 - 2ac - c^2 = 0$$，解得 $$\frac{c}{a} = \sqrt{2} - 1$$。

答案为 $$\boxed{B}$$。

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5. 曲线 $$C_1 \colon |y| - x = 2$$ 分为两部分：$$y - x = 2$$（$$y \geq 0$$）和 $$-y - x = 2$$（$$y \leq 0$$）。曲线 $$C_2 \colon \lambda x^2 + y^2 = 4$$ 是椭圆（$$\lambda > 0$$）或双曲线（$$\lambda < 0$$）。

要求两曲线恰好有两个不同的交点，需分析不同情况：

当 $$\lambda = 0$$，$$C_2$$ 退化为两条直线 $$y = \pm 2$$，与 $$C_1$$ 有四个交点，不符合。
当 $$\lambda > 0$$，$$C_2$$ 为椭圆。与 $$C_1$$ 的上半部分 $$y = x + 2$$ 相切时，代入得 $$\lambda x^2 + (x + 2)^2 = 4$$，即 $$(\lambda + 1)x^2 + 4x = 0$$。判别式为 0 时，$$\lambda = -1$$ 无解。实际上，当 $$\lambda = 1$$，椭圆与直线 $$y = x + 2$$ 相切于一点，同时与 $$y = -x - 2$$ 无交点，总共有两个交点。
当 $$\lambda < 0$$，$$C_2$$ 为双曲线。需与 $$C_1$$ 的某一部分相切，如 $$\lambda = -1$$ 时，双曲线 $$-x^2 + y^2 = 4$$ 与 $$y = x + 2$$ 相切于 $$(0, 2)$$，同时与 $$y = -x - 2$$ 无交点。

综上，$$\lambda$$ 的取值范围为 $$[-1, 0] \cup (1, +\infty)$$。

答案为 $$\boxed{D}$$。

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6. 方程 $$\sqrt{(x+3)^2 + (y-1)^2} - |x - y + 3| = 0$$ 可以改写为 $$\sqrt{(x+3)^2 + (y-1)^2} = |x - y + 3|$$。

几何意义是点 $$(x, y)$$ 到点 $$(-3, 1)$$ 的距离等于到直线 $$x - y + 3 = 0$$ 的距离。根据抛物线的定义，这表示一条抛物线。

答案为 $$\boxed{C}$$。

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7. 抛物线 $$C \colon y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - 1)$$。与抛物线联立得 $$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$。

设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由抛物线性质 $$|AF| = x_1 + 1$$，$$|BF| = x_2 + 1$$。根据题意 $$x_1 + 1 = 3(x_2 + 1)$$，即 $$x_1 = 3x_2 + 2$$。

由韦达定理，$$x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 1$$。代入 $$x_1 = 3x_2 + 2$$ 解得 $$x_2 = \frac{1}{3}$$，$$x_1 = 3$$。因此 $$|AB| = x_1 + x_2 + 2 = \frac{16}{3}$$。

答案为 $$\boxed{B}$$。

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8. 双曲线 $$C \colon \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$ 的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。过 $$F_2(c, 0)$$ 作渐近线的垂线，方程为 $$y = -\frac{a}{b}(x - c)$$。

与双曲线左支的交点 $$P$$ 满足 $$|PF_1| = |F_1F_2| = 2c$$。由双曲线性质 $$|PF_2| - |PF_1| = 2a$$，故 $$|PF_2| = 2a + 2c$$。在三角形 $$PF_1F_2$$ 中，由余弦定理可得 $$\frac{c}{a} = 2$$，即离心率 $$e = 2$$。

答案为 $$\boxed{A}$$。

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9. 椭圆 $$\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$$ 的焦点在 $$y$$ 轴上，两圆的圆心分别为 $$(0, -4)$$ 和 $$(0, 4)$$，半径均为 1。

点 $$P$$ 在椭圆上，$$|PM| + |PN|$$ 的最小值为椭圆上的点到两圆圆心的距离之和减去两圆的半径，即 $$(5 + 5) - 2 = 8$$。

答案为 $$\boxed{A}$$。

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10. 抛物线 $$E \colon x^2 = 4y$$ 与圆 $$M \colon x^2 + (y - 1)^2 = 25$$ 的交点为 $$A(-4, 4)$$ 和 $$B(4, 4)$$。点 $$P$$ 在劣弧 $$\widehat{AB}$$ 上，设 $$P(x, y)$$，$$-4 < x < 4$$，$$y > 4$$。

平行于 $$y$$ 轴的直线 $$PN$$ 交抛物线于 $$N(x, \frac{x^2}{4})$$。三角形 $$PMN$$ 的周长为 $$|PM| + |PN| + |MN|$$，其中 $$|PM| = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$$，$$|PN| = y - \frac{x^2}{4}$$，$$|MN| = \sqrt{x^2 + \left(\frac{x^2}{4} - 1\right)^2}$$。通过计算可得周长的取值范围为 $$(10, 12)$$。

答案为 $$\boxed{D}$$。

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