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正确率40.0%设$${{A}{，}{B}}$$是抛物线$$y^{2}=2 x$$上异于原点的不同两点，则$$\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{−}{2}}$$
D.$${{−}{4}}$$
2、['直线与抛物线的交点个数']正确率60.0%已知抛物线$${{C}_{1}}$$：$$x^{2}=2 p y ( p > 0 )$$与圆$${{C}_{2}}$$：$$x^{2}+y^{2}=8$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$$| A B |=4$$.现有如下$${{3}}$$条直线：①$${{l}_{1}}$$：$${{y}{=}{0}}$$；②$${{l}_{2}}$$：$${{x}{=}{3}}$$；③$${{l}_{3}}$$：$$2 x-y-2=0$$.则与抛物线$${{C}_{1}}$$只有$${{1}}$$个交点的直线的条数为（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
3、['两点间的斜率公式'， '直线的点斜式方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%已知倾斜角为$${{4}{5}^{∘}}$$的直线$${{l}}$$过抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点$${{F}}$$，且直线$${{l}}$$叫抛物线$${{C}}$$于$${{A}{、}{B}}$$两点．若点$$M (-\frac{p} {2}， \ 0 )$$，则$$\operatorname{t a n} \angle A M B=\c($$）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {6}}}$$
4、['两点间的斜率公式'， '一元二次方程根与系数的关系'， '平面上中点坐标公式'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的交点个数'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x， ~ p > 0$$的焦点为$${{F}}$$，过焦点的直线$${{l}}$$交抛物线$${{C}}$$与$${{M}{，}{N}}$$两点，设$${{M}{N}}$$的中点为$${{G}}$$，则直线$${{O}{G}}$$的斜率的最大值为（）
A
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
5、['直线与双曲线的综合应用'， '直线与抛物线的综合应用'， '直线与抛物线的交点个数'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%过点$$A ( 0， 1 )$$作直线，与双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {9}=1$$有且只有一个公共点，记符合条件的直线的条数为$${{m}}$$，又过点$$A ( 0， 1 )$$作直线，与抛物线$$y^{2}=2 x$$有且只有一个公共点，记符合条件的直线的条数为$${{n}}$$，则$${{m}{+}{n}{=}}$$（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
6、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=2 p x$$的准线交$${{x}}$$轴于点$${{M}}$$，过点$${{M}}$$的直线交抛物线于$${{N}{，}{Q}}$$两点，$${{F}}$$为抛物线的焦点，若$$\angle N F Q=9 0^{\circ}，$$则直线$${{N}{Q}}$$的斜率$$\boldsymbol{k} \left( \boldsymbol{k} > 0 \right)$$为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
7、['抛物线的焦点弦问题'， '抛物线的其他性质'， '直线与抛物线的交点个数'， '直线的斜率']正确率60.0%过抛物线$${{y}^{2}{=}{x}}$$上一点$$A \， ( 4， 2 )$$作倾斜角互补的两条直线$$A B， \， A C$$交抛物线于$${{B}{，}{C}}$$两点，则直线$${{B}{C}}$$的斜率为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$- \frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$- \frac{1} {2}$$
9、['平面向量的概念'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%已知抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}{，}{M}}$$是$${{l}}$$上一点，$${{N}}$$是直线$${{M}{F}}$$与抛物线$${{C}}$$的一个交点，且$$\overrightarrow{F N}=\frac{1} {3} \overrightarrow{F M}，$$
则$$| F N |=~ ($$）
D
A.$$\frac{8} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
10、['抛物线的标准方程'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题'， '直线与抛物线的交点个数']正确率40.0%若直线$$y=k x-2$$与抛物线$$y^{2}=8 x$$交于$${{A}{，}{B}}$$两个不同的点，且线段$${{A}{B}}$$的中点的横坐标为$${{2}}$$，则$${{k}{=}{{(}{)}}}$$
A
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$或$${{−}{1}}$$
D.$${{1}{±}{\sqrt {5}}}$$
1. 设$$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$在$$y^2=2x$$上，则$$y_1^2=2x_1$$，$$y_2^2=2x_2$$
$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = x_1x_2 + y_1y_2 = \frac{{y_1^2y_2^2}}{{4}} + y_1y_2$$
令$$t=y_1y_2$$，则$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{{t^2}}{{4}} + t = \frac{{1}}{{4}}(t^2+4t) = \frac{{1}}{{4}}[(t+2)^2-4]$$
当$$t=-2$$时取最小值$$-1$$，故选B
2. 联立$$x^2=2py$$与$$x^2+y^2=8$$得$$2py+y^2=8$$，即$$y^2+2py-8=0$$
设交点$$y_1,y_2$$，则$$|AB|=\sqrt{{1+k^2}}|y_1-y_2|=4$$，解得$$p=2$$
抛物线为$$x^2=4y$$，验证三条直线：
①$$y=0$$：代入得$$x^2=0$$，有唯一交点(0,0)
②$$x=3$$：代入得$$9=4y$$，有唯一交点(3,9/4)
③$$2x-y-2=0$$：代入得$$x^2=4(2x-2)$$，即$$x^2-8x+8=0$$，$$\Delta=64-32=32>0$$，有两个交点
故有2条直线满足条件，选C
3. 焦点$$F(\frac{{p}}{{2}},0)$$，直线$$l$$斜率$$k=\tan45^\circ=1$$，方程为$$y=x-\frac{{p}}{{2}}$$
联立$$y^2=2px$$得$$(x-\frac{{p}}{{2}})^2=2px$$，整理得$$x^2-3px+\frac{{p^2}}{{4}}=0$$
设$$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，则$$x_1+x_2=3p$$，$$x_1x_2=\frac{{p^2}}{{4}}$$
$$\tan\angle AMB = \frac{{|\frac{{y_1}}{{x_1+\frac{{p}}{{2}}}} - \frac{{y_2}}{{x_2+\frac{{p}}{{2}}}}|}}{{1+\frac{{y_1y_2}}{{(x_1+\frac{{p}}{{2}})(x_2+\frac{{p}}{{2}})}}}$$
计算得$$\tan\angle AMB=2\sqrt{{2}}$$，选C
4. 设直线$$l$$：$$y=k(x-\frac{{p}}{{2}})$$，与$$y^2=2px$$联立得$$k^2x^2-(k^2p+2p)x+\frac{{k^2p^2}}{{4}}=0$$
设$$M(x_1,y_1)$$，$$N(x_2,y_2)$$，则中点$$G(\frac{{x_1+x_2}}{{2}},\frac{{y_1+y_2}}{{2}})$$
$$x_1+x_2=\frac{{k^2p+2p}}{{k^2}}$$，$$y_1+y_2=k(x_1+x_2-p)$$
$$k_{OG}=\frac{{y_1+y_2}}{{x_1+x_2}}=\frac{{k(x_1+x_2-p)}}{{x_1+x_2}}=k(1-\frac{{p}}{{x_1+x_2}})$$
代入得$$k_{OG}=\frac{{2k}}{{k^2+2}}$$，求最大值：令$$t=k>0$$，$$f(t)=\frac{{2t}}{{t^2+2}}$$
$$f'(t)=\frac{{2(t^2+2)-4t^2}}{{(t^2+2)^2}}=\frac{{4-2t^2}}{{(t^2+2)^2}}$$，当$$t=\sqrt{{2}}$$时取最大值$$\frac{{\sqrt{{2}}}}{{2}}$$，选A
5. 双曲线$$x^2-\frac{{y^2}}{{9}}=1$$，过A(0,1)：
①垂直渐近线$$y=\pm3x$$的直线：$$x=0$$（y轴）
②斜率$$k$$满足$$9-k^2=0$$即$$k=\pm3$$：$$y=3x+1$$和$$y=-3x+1$$
③与双曲线相切的直线：代入$$y=kx+1$$得$$x^2-\frac{{(kx+1)^2}}{{9}}=1$$
判别式$$\Delta=0$$得$$k=\pm\frac{{3\sqrt{{2}}}}{{2}}$$（但经过验证均过A点）
实际上$$m=4$$（两条切线和两条渐近线平行线）
抛物线$$y^2=2x$$，过A(0,1)：
①垂直对称轴：$$x=0$$
②切线：设$$y=kx+1$$，代入得$$k^2x^2+(2k-2)x+1=0$$
$$\Delta=(2k-2)^2-4k^2=0$$得$$k=\frac{{1}}{{2}}$$，即$$y=\frac{{1}}{{2}}x+1$$
故$$n=2$$，$$m+n=6$$，选C
6. 抛物线$$y^2=2px$$，准线$$x=-\frac{{p}}{{2}}$$，$$M(-\frac{{p}}{{2}},0)$$，焦点$$F(\frac{{p}}{{2}},0)$$
设直线$$NQ$$：$$y=k(x+\frac{{p}}{{2}})$$，与抛物线联立得$$k^2(x+\frac{{p}}{{2}})^2=2px$$
整理得$$k^2x^2+(k^2p-2p)x+\frac{{k^2p^2}}{{4}}=0$$
设$$N(x_1,y_1)$$，$$Q(x_2,y_2)$$，则$$x_1+x_2=\frac{{2p-k^2p}}{{k^2}}$$，$$x_1x_2=\frac{{p^2}}{{4}}$$
$$\angle NFQ=90^\circ$$，即$$\overrightarrow{FN} \cdot \overrightarrow{FQ}=0$$
$$(x_1-\frac{{p}}{{2}})(x_2-\frac{{p}}{{2}})+y_1y_2=0$$
代入计算得$$k^2=2$$，$$k=\sqrt{{2}}$$（取正值），选B
7. 设$$B(x_1,y_1)$$，$$C(x_2,y_2)$$在$$y^2=x$$上，A(4,2)
$$k_{AB}=\frac{{y_1-2}}{{x_1-4}}$$，$$k_{AC}=\frac{{y_2-2}}{{x_2-4}}$$
由倾斜角互补得$$k_{AB}+k_{AC}=0$$
即$$\frac{{y_1-2}}{{x_1-4}}+\frac{{y_2-2}}{{x_2-4}}=0$$
利用$$y_1^2=x_1$$，$$y_2^2=x_2$$，化简得$$(y_1+2)(y_2+2)=-4$$
$$k_{BC}=\frac{{y_1-y_2}}{{x_1-x_2}}=\frac{{1}}{{y_1+y_2}}$$
由对称性和计算得$$y_1+y_2=-4$$，故$$k_{BC}=-\frac{{1}}{{4}}$$，选B
9. 抛物线$$y^2=4x$$，焦点$$F(1,0)$$，准线$$l:x=-1$$
设$$M(-1,y_0)$$，则$$\overrightarrow{FM}=(-2,y_0)$$
$$\overrightarrow{FN}=\frac{{1}}{{3}}\overrightarrow{FM}=(-\frac{{2}}{{3}},\frac{{y_0}}{{3}})$$
故$$N(1-\frac{{2}}{{3}},\frac{{y_0}}{{3}})=(\frac{{1}}{{3}},\frac{{y_0}}{{3}})$$
代入抛物线：$$(\frac{{y_0}}{{3}})^2=4\times\frac{{1}}{{3}}$$，得$$y_0^2=12$$
$$|FN|=|\overrightarrow{FN}|=\sqrt{{(-\frac{{2}}{{3}})^2+(\frac{{y_0}}{{3}})^2}}=\sqrt{{\frac{{4}}{{12}}+\frac{{12}}{{9}}}=\sqrt{{\frac{{16}}{{9}}}}=\frac{{4}}{{3}}$$，选D
10. 联立$$y=kx-2$$与$$y^2=8x$$得$$(kx-2)^2=8x$$
即$$k^2x^2-(4k+8)x+4=0$$
设$$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，则$$x_1+x_2=\frac{{4k+8}}{{k^2}}$$
中点横坐标$$\frac{{x_1+x_2}}{{2}}=2$$，即$$\frac{{4k+8}}{{2k^2}}=2$$
解得$$k^2-k-2=0$$，$$k=2$$或$$k=-1$$
验证判别式$$\Delta=(4k+8)^2-16k^2>0$$，均满足，选C