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正确率19.999999999999996%设已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$，若直线$${{l}{:}{y}{=}{k}{x}{+}{m}}$$与椭圆$${{C}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点$${{(}{A}{，}{B}}$$不是左右顶点$${{)}}$$，且以$${{A}{B}}$$为直径的圆过椭圆$${{C}}$$的右顶点.直线$${{l}}$$过定点，则该定点的坐标为（）
A
A.$$( \frac{2} {7}， 0 )$$
B.$${{(}{1}{，}{0}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
D.$$( 0， \frac{4} {7} )$$
3、['椭圆的离心率'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%椭圆$${{C}}$$的两个焦点分别为$${{F}_{1}{(}{−}{1}{，}{0}{)}}$$和$${{F}_{2}{(}{1}{，}{0}{)}}$$，若该椭圆$${{C}}$$与直线$${{x}{+}{y}{−}{3}{=}{0}}$$有公共点，则其离心率的最大值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt6} {1 2}$$
B.$$\frac{\sqrt{6}} {6}$$
C.$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
D.$$\frac{\sqrt{5}} {1 0}$$
4、['直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%直线$${{x}{+}{m}{y}{+}{1}{=}{0}{(}{m}{∈}{R}{)}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$的位置关系是（）
A
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上三种关系都可能
5、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%若直线$${{m}{x}{+}{n}{y}{=}{6}}$$与$${{⊙}{O}}$$：$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{9}}$$没有交点，则过点$${{P}{(}{m}{，}{n}{)}}$$的直线与椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {4}=1$$的交点个数是（）
B
A.$${{0}}$$或$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{0}}$$
6、['椭圆的标准方程'， '椭圆的其他性质'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%椭圆$${{x}^{2}{+}{2}{{y}^{2}}{=}{4}}$$的以$${（{1}{，}{1}{）}}$$为中点的弦所在直线的方程是（）
D
A.$${{x}{−}{4}{y}{+}{3}{=}{0}}$$
B.$${{x}{+}{4}{y}{−}{5}{=}{0}}$$
C.$${{x}{−}{2}{y}{+}{1}{=}{0}}$$
D.$${{x}{+}{2}{y}{−}{3}{=}{0}}$$
7、['直线与椭圆的综合应用'， '椭圆的其他性质'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%己知直线$${{y}{=}{k}{x}{+}{2}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {m}=1$$总有公共点．则$${{m}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{m}{⩾}{4}}$$
B.$${{0}{<}{m}{<}{9}}$$
C.$${{4}{⩽}{m}{<}{9}}$$
D.$${{m}{⩾}{4}}$$或$${{m}{≠}{9}}$$
8、['椭圆的标准方程'， '直线与椭圆的综合应用'， '直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%已知直线$${{y}{=}{k}{x}{+}{1}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {5}+\frac{y^{2}} {m}=1$$恒有公共点，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）
C
A.$${{m}{⩾}{1}}$$
B.$${{m}{>}{0}}$$
C.$${{m}{⩾}{1}}$$且$${{m}{≠}{5}}$$
D.$${{0}{<}{m}{<}{5}}$$且$${{m}{≠}{1}}$$
9、['直线系方程'， '直线与椭圆的综合应用'， '直线与椭圆的交点个数']正确率40.0%若直线$${{y}{=}{k}{x}{−}{1}}$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {a}=1$$有且只有一公共点，那么（）
C
A.$$a \in( 0， 1 ]， k \in\left[-\frac{1} {2}， \frac{1} {2} \right]$$
B.$$a \in\left( 0， 1 \right)， k \in\left(-\frac{1} {2}， \frac{1} {2} \right)$$
C.$$a \in( 0， 1 ]， k \in\left(-\frac{1} {2}， \frac{1} {2} \right)$$
D.$$a \in\left( 0， 1 \right)， k \in\left[-\frac{1} {2}， \frac{1} {2} \right]$$
10、['直线与椭圆的交点个数']正确率60.0%直线$${{x}{−}{2}{y}{−}{3}{=}{0}}$$与椭圆$${{x}^{2}{+}{2}{{y}^{2}}{=}{3}}$$的公共点个数是（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
1. 解析：
椭圆 $$C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$$ 的右顶点为 $$(2, 0)$$。设直线 $$l: y = kx + m$$ 与椭圆相交于点 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$。由于以 $$AB$$ 为直径的圆过右顶点，故向量 $$\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$$，其中 $$D(2, 0)$$。
代入直线方程，得到：
$$(x_1 - 2)(x_2 - 2) + y_1 y_2 = 0$$
联立椭圆与直线方程，消去 $$y$$ 得：
$$(3 + 4k^2)x^2 + 8kmx + 4m^2 - 12 = 0$$
由韦达定理：
$$x_1 + x_2 = -\frac{8km}{3 + 4k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{4m^2 - 12}{3 + 4k^2}$$
将 $$y_1 y_2 = (kx_1 + m)(kx_2 + m)$$ 代入点积条件，化简得：
$$(1 + k^2)x_1 x_2 + (m - 2k)(x_1 + x_2) + m^2 + 4 = 0$$
代入韦达定理结果，整理后得到：
$$7m^2 + 16km + 4k^2 = 0$$
因式分解为：
$$(7m + 2k)(m + 2k) = 0$$
解得 $$m = -\frac{2k}{7}$$ 或 $$m = -2k$$。其中 $$m = -2k$$ 对应直线过右顶点，舍去。故直线方程为：
$$y = kx - \frac{2k}{7}$$
其恒过定点 $$\left(\frac{2}{7}, 0\right)$$，答案为 A。
3. 解析：
椭圆 $$C$$ 的焦点为 $$F_1(-1, 0)$$ 和 $$F_2(1, 0)$$，故 $$c = 1$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{a}$$。
椭圆与直线 $$x + y - 3 = 0$$ 有公共点，需满足直线到椭圆中心的距离小于等于半长轴 $$a$$。椭圆中心为原点，距离为：
$$\frac{|0 + 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \leq a$$
故 $$a \geq \frac{3}{\sqrt{2}}$$，离心率 $$e = \frac{1}{a} \leq \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$。
答案为 B。
4. 解析：
直线 $$x + my + 1 = 0$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$$ 的位置关系可通过判别式判断。将直线方程代入椭圆方程：
$$\frac{x^2}{2} + \left(-\frac{x + 1}{m}\right)^2 = 1$$
化简后得到关于 $$x$$ 的二次方程，其判别式 $$\Delta$$ 与 $$m$$ 有关。由于 $$m \in \mathbb{R}$$，$$\Delta$$ 可能为正、零或负，故直线与椭圆可能相交、相切或相离。
答案为 D。
5. 解析：
直线 $$mx + ny = 6$$ 与圆 $$x^2 + y^2 = 9$$ 无交点，故距离大于半径：
$$\frac{|6|}{\sqrt{m^2 + n^2}} > 3 \implies \sqrt{m^2 + n^2} < 2$$
点 $$P(m, n)$$ 满足 $$m^2 + n^2 < 4$$。考虑直线 $$mX + nY = 6$$ 与椭圆 $$\frac{X^2}{9} + \frac{Y^2}{4} = 1$$ 的交点，其判别式恒为正，故有 2 个交点。
答案为 B。
6. 解析：
椭圆 $$x^2 + 2y^2 = 4$$ 的弦以 $$(1, 1)$$ 为中点，设弦端点为 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$，则：
$$x_1 + x_2 = 2, \quad y_1 + y_2 = 2$$
将两点代入椭圆方程相减，得：
$$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) + 2(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) = 0$$
代入中点坐标，斜率 $$k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = -\frac{1}{2}$$，故直线方程为：
$$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies x + 2y - 3 = 0$$
答案为 D。
7. 解析：
直线 $$y = kx + 2$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{m} = 1$$ 总有公共点，需联立方程有解。代入后判别式 $$\Delta \geq 0$$ 对所有 $$k$$ 成立：
$$(36k^2 - 4(9k^2 + m)(4 - m) \geq 0$$
化简得 $$m \geq 4$$ 且 $$m \neq 9$$（否则退化为直线）。
答案为 D。
8. 解析：
直线 $$y = kx + 1$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{m} = 1$$ 恒有公共点，联立后判别式 $$\Delta \geq 0$$ 对所有 $$k$$ 成立：
$$m \geq 1$$ 且 $$m \neq 5$$（否则退化为直线）。
答案为 C。
9. 解析：
直线 $$y = kx - 1$$ 与椭圆 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{a} = 1$$ 有唯一公共点，需判别式 $$\Delta = 0$$：
$$(a + 4k^2)x^2 - 8kx + 4(1 - a) = 0$$
$$\Delta = 64k^2 - 16(a + 4k^2)(1 - a) = 0$$
解得 $$a = 1 - 4k^2$$。由于 $$a > 0$$，故 $$k \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$，且 $$a \in (0, 1]$$。
答案为 C。
10. 解析：
直线 $$x - 2y - 3 = 0$$ 与椭圆 $$x^2 + 2y^2 = 3$$ 联立，代入 $$x = 2y + 3$$ 得：
$$(2y + 3)^2 + 2y^2 = 3 \implies 6y^2 + 12y + 6 = 0$$
判别式 $$\Delta = 0$$，故有唯一公共点。
答案为 B。