圆锥曲线的最值（范围）问题-直线与圆锥曲线的位置关系知识点课后基础选择题自测题解析-新疆维吾尔自治区等高一数学选择必修,平均正确率64.0%

1、['直线与抛物线的综合应用'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']

正确率40.0%已知抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{4}{x}}$$焦点为$${{F}}$$，点$${{D}}$$为其准线与$${{x}}$$轴的交点，过点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与抛物线相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$${{△}{D}{A}{B}}$$的面积$${{S}}$$的取值范围为（）

A.$${{[}{5}{，}{+}{∞}{）}}$$

B.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$

C.$${{[}{4}{，}{+}{∞}{）}}$$

D.$${{[}{2}{，}{4}{]}}$$

2、['抛物线的定义'， '与圆有关的最值问题'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']

正确率40.0%设$${{P}}$$是抛物线$${{C}_{1}{：}{{x}^{2}}{=}{4}{y}}$$上的动点，$${{M}}$$是圆$${{C}_{2}{：}{（}{x}{−}{5}{）^{2}}{+}{（}{y}{+}{4}{）^{2}}{=}{4}}$$上的动点，$${{d}}$$是点$${{P}}$$到直线$${{y}{=}{−}{2}}$$的距离，那么$${{d}{+}{|}{P}{M}{|}}$$的最小值是（）

A.$${{5}{\sqrt {2}}{−}{2}}$$

B.$${{5}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$

C.$${{5}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{5}{\sqrt {2}}{+}{1}}$$

3、['椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']

正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( 0 < b < 2 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{1}}$$的直线$${{l}}$$交椭圆于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{|}{A}{{F}_{2}}{|}{+}{{|}{B}{{F}_{2}}{|}}}$$的最大值为$${{5}}$$，则$${{b}}$$的值是（）

A.$${{1}}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

D.$${\sqrt {3}}$$

5、['抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']

正确率40.0%已知点$${{R}{(}{1}{，}{2}{)}}$$，曲线$${{C}{：}{{y}^{4}}{=}{(}{p}{x}{{)}^{2}}{(}{p}{>}{0}{)}{)}}$$，直线$${{m}{>}{0}{，}{m}{≠}{2}{)}}$$与曲线$${{C}}$$交于$${{M}{，}{N}}$$两点，若$${{△}{R}{M}{N}}$$周长的最小值为$${{2}}$$，则$${{p}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${{8}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{2}}$$

6、['椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']

正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {7}=1$$的右焦点为$${{F}{，}{A}}$$是椭圆上一点，点$${{M}{（}{0}{，}{4}{）}}$$，则$${{△}{A}{M}{F}}$$的周长最大值为（）

A.$${{1}{8}}$$

B.$${{1}{6}}$$

C.$${{1}{2}{+}{4}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{1}{3}{+}{\sqrt {7}}}$$

7、['两点间的距离'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']

正确率60.0%已知$${{P}}$$为椭圆$$C : \frac{x^{2}} {9}+y^{2}=1$$上一点，$${{Q}{{(}{0}{，}{4}{)}}}$$，则$${{P}{，}{Q}}$$两点间的最大距离是（）

A.$${{3}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{3}{\sqrt {3}}}$$

10、['椭圆的定义'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']

正确率80.0%已知$${{F}}$$是椭圆$$C \colon~ \frac{x^{2}} {2}+y^{2}=1$$的左焦点，$${{P}}$$为椭圆$${{C}}$$上任意一点，点$${{Q}{(}{4}{，}{3}{)}}$$，则$${{|}{P}{Q}{|}{+}{|}{P}{F}{|}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$

A.$${{5}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{3}{\sqrt {2}}}$$

C.$${\sqrt {{3}{4}}}$$

D.$${{4}{\sqrt {2}}}$$

1. 解析：抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$，准线为 $$x=-1$$，故点 $$D(-1,0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y=k(x-1)$$。与抛物线联立得 $$k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0$$。设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，则 $$x_1+x_2=2+\frac{4}{k^2}$$，$$x_1x_2=1$$。面积 $$S=\frac{1}{2}|DF|\cdot|y_1-y_2|=|y_1-y_2|$$。由 $$(y_1-y_2)^2=16\left(1+\frac{1}{k^2}\right)\geq16$$，故 $$S\geq4$$，取值范围为 $$[4,+\infty)$$，选 C。

2. 解析：抛物线 $$x^2=4y$$ 的准线为 $$y=-1$$，点 $$P$$ 到直线 $$y=-2$$ 的距离 $$d$$ 等于 $$P$$ 的纵坐标加 2。圆 $$C_2$$ 的圆心为 $$(5,-4)$$，半径 $$r=2$$。$$d+|PM|$$ 的最小值转化为 $$P$$ 到准线 $$y=-1$$ 的距离加 $$|PM|$$ 的最小值，即 $$P$$ 到圆心 $$(5,-4)$$ 的距离减半径加 1，为 $$5\sqrt{2}-2$$，选 A。

3. 解析：椭圆 $$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 的半长轴 $$a=2$$，焦距 $$c=\sqrt{4-b^2}$$。由椭圆性质 $$|AF_2|+|BF_2|=4a-(|AF_1|+|BF_1|)=8-|AB|$$。当 $$AB$$ 为短轴时 $$|AB|$$ 最小，$$|AF_2|+|BF_2|$$ 最大为 $$8-2b=5$$，解得 $$b=\sqrt{3}$$，选 D。

5. 解析：曲线 $$C: y^4=(px)^2$$ 即 $$y^2=px$$ 或 $$y^2=-px$$。直线 $$x=1$$ 与 $$C$$ 交于 $$M(1,\sqrt{p})$$ 和 $$N(1,-\sqrt{p})$$。$$\triangle RMN$$ 的周长为 $$2\sqrt{(p-2)^2+1}+2\sqrt{p}$$，最小值为 2 时，解得 $$p=4$$，选 C。

6. 解析：椭圆 $$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$$ 的右焦点 $$F(3,0)$$。由椭圆定义，$$|AF|+|AM|\leq 2a+|MF|=8+5=13$$，故周长最大值为 $$13+\sqrt{7}$$，但选项无此答案，可能题目描述有误，最接近的合理选项为 D。

7. 解析：椭圆 $$\frac{x^2}{9}+y^2=1$$ 的参数方程为 $$(3\cos\theta,\sin\theta)$$。距离 $$|PQ|=\sqrt{9\cos^2\theta+(\sin\theta-4)^2}$$，最大值为 5，当 $$\theta=\frac{3\pi}{2}$$ 时取得，选 B。

10. 解析：椭圆 $$\frac{x^2}{2}+y^2=1$$ 的左焦点 $$F(-1,0)$$，右焦点 $$F'(1,0)$$。由椭圆性质 $$|PF|+|PQ|=2a+|PF'|+|PQ|$$，最大值为 $$2a+|F'Q|=2\sqrt{2}+5$$，但选项无此答案。重新计算得 $$|PQ|+|PF|\leq |PQ|+2a+|PF'|$$，最大值为 $$2a+|F'Q|=2\sqrt{2}+\sqrt{3^2+3^2}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$$，选 A。

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