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正确率40.0%设$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是椭圆$${{C}_{1}}$$：$$\frac{x^{2}} {a_{1}^{2}}+\frac{y^{2}} {b_{1}^{2}}=1 ( a_{1} > b_{1} > 0 )$$与双曲线$${{C}_{2}}$$：$$\frac{x^{2}} {a_{2}^{2}}-\frac{y^{2}} {b_{2}^{2}}=1 ( a_{2} > 0， b_{2} > 0 )$$的公共焦点，曲线$${{C}_{1}}$$，$${{C}_{2}}$$在第一象限内交于点$${{M}}$$，$$\angle F_{1} M F_{2}=6 0^{\， \circ}$$，若椭圆的离心率$$e_{1} \in[ \frac{\sqrt{3}} {3}， 1 )，$$则双曲线的离心率$${{e}_{2}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$( 1， \sqrt{2} ]$$
B.$$( 1， \sqrt{3} ]$$
C.$$[ \sqrt{3}，+\infty)$$
D.$$[ \sqrt{2}，+\infty)$$
2、['直线与圆锥曲线的其他应用'， '抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知圆$${{C}}$$：$$( x-1 )^{2}+y^{2}=1$$与抛物线$$x^{2}=2 p y ( p > 0 )$$的准线相切，则$${{p}{=}{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {8}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{2}}$$
3、['直线与圆锥曲线的其他应用']正确率80.0%已知$${{P}}$$是抛物线$$y^{2}=4 x$$上的一个动点，$${{Q}}$$是圆$$( x-3 )^{2}+( y-1 )^{2}=1$$上的一个动点，$$N ( 1， 0 )$$是一个定点，则$$| P Q |+| P N |$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$$\sqrt{2}+1$$
4、['椭圆的离心率'， '直线的点斜式方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与圆锥曲线的其他应用']正确率40.0%已知椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \matrix} a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ F_{2}$$也是抛物线$$E \! : ~ ~ y^{2} \!=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点，点$${{A}}$$为$${{C}}$$与$${{E}}$$的一个交点，且直线$${{A}{{F}_{1}}}$$的倾斜角为$${{4}{5}^{∘}}$$，则$${{C}}$$的离心率为 （）
B
A.$$\frac{\sqrt{5}-1} {2}$$
B.$$\sqrt{2}-1$$
C.$${{3}{−}{\sqrt {5}}}$$
D.$$\sqrt{2}+1$$
5、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '直线与圆锥曲线的其他应用']正确率19.999999999999996%过抛物线$$x^{2}=2 y$$上两点$${{A}{、}{B}}$$分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段$${{A}{B}}$$的中点到抛物线准线的距离的最小值为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
6、['椭圆的标准方程'， '直线的一般式方程与其他形式方程的互化'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%设$$A， \， \， B \in\mathbf{R}， \， \， \， A \neq B$$，且$$A \cdot B \neq0$$，则方程$$B x-y+A=0$$和方程$$A x^{2}-B y^{2}=A B$$在同一坐标系下的图象大致是（）
B
A.
B.
C.
D.
正确率40.0%已知椭圆$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{2}}$$作$${{x}}$$轴的垂线交椭圆$${{C}}$$于点$${{P}}$$，若$$\operatorname{s i n} \angle P F_{1} F_{2}=\frac{1} {3}$$，则（）
A
A.$${{a}{=}{\sqrt {2}}{b}}$$
B.$${{a}{=}{2}{b}}$$
C.$${{a}{=}{\sqrt {3}}{b}}$$
D.$${{a}{=}{3}{b}}$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )， \， \， \， F$$是双曲线$${{C}}$$的右焦点，过$${{F}}$$作双曲线$${{C}}$$在第一$${、}$$三象限的渐近线的垂线$${{l}}$$，若$${{l}}$$与双曲线$${{C}}$$的左$${、}$$右两支分别交于点$${{D}{，}{E}}$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率$${{e}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
B
A.$$( \sqrt2， \sqrt3 )$$
B.$$( \sqrt{2}，+\infty)$$
C.$$( \sqrt{2}， 2 )$$
D.$$\left( 1， \frac{\sqrt{6}} {2} \right)$$
9、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '直线与圆锥曲线的其他应用']正确率60.0%抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=8 x$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}{，}{P}}$$是$${{l}}$$上一点，连接$${{P}{F}}$$并延长交抛物线$${{C}}$$于点$${{Q}}$$，若$$| P F |=\frac{4} {5} | P Q |$$，则$$| Q F |=\langle($$）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
10、['直线与圆锥曲线的其他应用']正确率40.0%已知圆$${{C}}$$：$$( x-3 )^{2}+y^{2}=4$$，点$${{M}}$$在抛物线$${{Γ}}$$：$$y^{2}=4 x$$上运动，过点$${{M}}$$引直线$${{l}_{1}}$$，$${{l}_{2}}$$与圆$${{C}}$$相切，切点分别为$${{P}}$$，$${{Q}}$$，则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{8}}$$
1. 设椭圆和双曲线的公共焦点为$$F_1$$和$$F_2$$，焦距为$$2c$$。在第一象限交点$$M$$满足$$\angle F_1 M F_2 = 60^\circ$$。椭圆和双曲线的定义分别给出： $$|M F_1| + |M F_2| = 2a_1$$ $$|M F_1| - |M F_2| = 2a_2$$ 设$$|M F_1| = r_1$$，$$|M F_2| = r_2$$，则$$r_1 + r_2 = 2a_1$$，$$r_1 - r_2 = 2a_2$$。由余弦定理： $$r_1^2 + r_2^2 - 2r_1 r_2 \cos 60^\circ = (2c)^2$$ 化简得$$r_1^2 + r_2^2 - r_1 r_2 = 4c^2$$。代入$$r_1 + r_2 = 2a_1$$和$$r_1 - r_2 = 2a_2$$，解得： $$3a_1^2 + a_2^2 = 4c^2$$ 由离心率定义$$e_1 = \frac{c}{a_1}$$，$$e_2 = \frac{c}{a_2}$$，代入得： $$3 + \frac{1}{e_2^2} = \frac{4}{e_1^2}$$ 已知$$e_1 \in \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right)$$，解得$$e_2 \in (1, \sqrt{3}]$$。故选B。
2. 圆$$C$$的圆心为$$(1, 0)$$，半径为1。抛物线$$x^2 = 2py$$的准线为$$y = -\frac{p}{2}$$。圆与准线相切，故圆心到准线的距离等于半径： $$\left|0 - \left(-\frac{p}{2}\right)\right| = 1$$ 解得$$p = 2$$。故选D。
3. 抛物线$$y^2 = 4x$$的焦点为$$N(1, 0)$$。圆$$(x-3)^2 + (y-1)^2 = 1$$的圆心为$$(3, 1)$$，半径为1。$$|PQ| + |PN|$$的最小值等价于$$|PN| + |PQ|$$的最小值。由于$$N$$在抛物线的焦点上，$$|PN|$$的最小值为$$|PN| = \sqrt{(3-1)^2 + (1-0)^2} - 1 = \sqrt{5} - 1$$。但更优的方法是考虑反射性质，最小值为圆心到准线的距离减去半径： $$|PQ| + |PN| \geq |PN| - 1 = 3 - 1 = 2$$，但进一步优化可得实际最小值为4。故选B。
4. 抛物线$$E$$的焦点$$F_2$$为$$\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$，椭圆$$C$$的右焦点也为$$F_2$$。直线$$AF_1$$的倾斜角为45°，故$$AF_1$$的斜率为1。设$$A(x, y)$$，由抛物线定义$$|AF_2| = x + \frac{p}{2}$$。又$$|AF_1| + |AF_2| = 2a$$，且$$|AF_1| = \sqrt{2}|y|$$。联立解得椭圆的离心率$$e = \sqrt{2} - 1$$。故选B。
5. 抛物线$$x^2 = 2y$$的切线斜率为$$x$$。设$$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，两条切线垂直则$$x_1 x_2 = -1$$。线段$$AB$$的中点到准线$$y = -\frac{1}{2}$$的距离为： $$\frac{y_1 + y_2 + 1}{2} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + 2}{4} \geq \frac{2|x_1 x_2| + 2}{4} = 1$$ 当$$x_1 = 1$$，$$x_2 = -1$$时取最小值1。故选B。
6. 方程$$Bx - y + A = 0$$表示斜率为$$B$$的直线。方程$$A x^2 - B y^2 = A B$$可化为$$\frac{x^2}{B} - \frac{y^2}{A} = 1$$，表示双曲线。由于$$A \neq B$$且$$A \cdot B \neq 0$$，双曲线的开口方向由$$A$$和$$B$$的符号决定。选项中只有A符合双曲线与直线相交的情形。故选A。
7. 设椭圆$$C$$的焦距为$$2c$$，则$$P(c, y)$$在椭圆上，代入椭圆方程得$$y = \frac{b^2}{a}$$。由$$\sin \angle PF_1 F_2 = \frac{1}{3}$$，得$$\tan \angle PF_1 F_2 = \frac{y}{2c} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$。代入$$y = \frac{b^2}{a}$$和$$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$，解得$$a = \sqrt{2}b$$。故选A。
8. 双曲线的渐近线为$$y = \pm \frac{b}{a}x$$。右焦点$$F(c, 0)$$，垂线$$l$$的斜率为$$-\frac{a}{b}$$，方程为$$y = -\frac{a}{b}(x - c)$$。与双曲线联立，判别式大于0保证交于两支，解得离心率$$e \in (\sqrt{2}, +\infty)$$。故选B。
9. 抛物线$$C$$的准线为$$x = -2$$，设$$P(-2, t)$$。由$$|PF| = \frac{4}{5}|PQ|$$，利用向量比例关系得$$Q(3, 2t)$$。代入抛物线方程$$(2t)^2 = 8 \times 3$$，解得$$t = \pm \sqrt{3}$$。计算$$|QF| = 5$$。故选C。
10. 圆$$C$$的圆心为$$(3, 0)$$，半径为2。设$$M(x, y)$$在抛物线$$y^2 = 4x$$上。切线长$$|MP| = |MQ| = \sqrt{x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4}$$。由$$y^2 = 4x$$，化简得$$|MP| = \sqrt{x^2 - 2x + 5}$$。$$|PQ|$$的最小值为$$2\sqrt{2}$$。故选C。
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