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正确率40.0%设直线$$y=k \left( x-\sqrt{2} \right) ( k > 0 )$$与双曲线$$C_{\colon} ~ x^{2}-y^{2}=1$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{F}}$$是双曲线的右焦点，且$$\overrightarrow{A F}=2 \overrightarrow{F B}，$$则$${{k}}$$的值是
D
A.$${{3}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${\sqrt {{1}{5}}}$$
D.$${\sqrt {{1}{7}}}$$
2、['直线与双曲线的交点个数']正确率60.0%直线$${{l}}$$：$$y=k ( x-\sqrt{2} )$$与双曲线$$x^{2}-y^{2}=1$$有且仅有一个公共点，则实数$${{k}}$$的值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$或$${{−}{1}}$$
D.$${{1}}$$或$${{−}{1}}$$或$${{0}}$$
3、['双曲线的渐近线'， '两条直线平行'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与双曲线的交点个数']正确率60.0%如果双曲线的方程是：$$\frac{x^{2}} {9}-y^{2}=1$$，则直线$$y=\frac{1} {3} ( x+1 )$$与此双曲线的交点个数为（）
A
A.$${{1}}$$个
B.$${{0}}$$个
C.$${{2}}$$个
D.无数个
4、['点到直线的距离'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的标准方程'， '直线与双曲线的交点个数']正确率19.999999999999996%设点$$A ~ ( 0， ~ 1 ) ~， ~ B ~ ( 2， ~-1 )$$，点$${{C}}$$在双曲线$$M \colon\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$上，则使$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{3}}$$的点$${{C}}$$的个数为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
5、['直线的点斜式方程'， '一元二次不等式的解法'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%过原点的直线$${{l}}$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {3}=-1$$有两个交点，则直线$${{l}}$$的斜率的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$(-\frac{\sqrt{3}} {2}， \frac{\sqrt{3}} {2} )$$
B.$$(-\infty，-\frac{\sqrt{3}} {2} ) \cup( \frac{\sqrt{3}} {2}，+\infty)$$
C.$$[-\frac{\sqrt{3}} {2}， ~ \frac{\sqrt{3}} {2} ]$$
D.$$(-\infty，-\frac{\sqrt{3}} {2} ] \cup[ \frac{\sqrt{3}} {2}，+\infty)$$
6、['双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程'， '直线与双曲线的交点个数'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知两点$$A (-\sqrt{3} \;， \; 0 )， \; B ( \sqrt{3} \;， \; 0 )$$，直线$${{l}}$$过点$${{A}}$$且与直线$$y=\sqrt{2} x+1$$平行，则$${{l}}$$上满足$$| | P A |-| P B | |=2$$的点$${{P}}$$的个数为（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
7、['直线与双曲线的交点个数']正确率60.0%过点$$C \left( 4， 0 \right)$$的直线与双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {1 2}=1$$的右支交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则直线$${{A}{B}}$$的斜率$${{k}}$$的取值范围是
B
A.$$| k | \geqslant1$$
B.$$| k | > \sqrt3$$
C.$$| k | \leq\sqrt{3}$$
D.$$| k | < 1$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%已知双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的离心率等于$${\sqrt {2}{，}}$$直线$$y=k x+2$$与双曲线的左右两支各有一个交点，则$${{k}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-\infty，-1 ) \cup( 1，+\infty)$$
B.$$(-1， 1 )$$
C.$$(-\infty，-\sqrt{2} ) \cup( \sqrt{2}，+\infty)$$
D.$$(-\sqrt{2}， \sqrt{2} )$$
9、['直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%过点$$( 5， \frac{9} {4} )$$作直线，使它与双曲线$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$有且只有一个公共点，这样的直线有$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$条
B.$${{2}}$$条
C.$${{3}}$$条
D.$${{4}}$$条
10、['一元二次方程根与系数的关系'， '双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%设双曲线$$E_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的右焦点为$${{F}}$$，过$${{F}}$$且斜率为$${{1}}$$的直线$${{l}}$$与$${{E}}$$的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率$${{e}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( 1， ~ \sqrt{2} )$$
B.$$( \sqrt{2}， \ 2 )$$
C.$$( 1， \ 2 )$$
D.$$( 2， ~ 2 \sqrt{2} )$$
第1题解析：
直线方程为 $$y = k(x - \sqrt{2})$$，双曲线方程为 $$x^2 - y^2 = 1$$。右焦点 $$F$$ 的坐标为 $$(\sqrt{2}, 0)$$。将直线方程代入双曲线方程，得到：
$$x^2 - [k(x - \sqrt{2})]^2 = 1$$
展开整理为关于 $$x$$ 的二次方程：
$$(1 - k^2)x^2 + 2\sqrt{2}k^2x - (2k^2 + 1) = 0$$
设 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$ 为交点，根据向量条件 $$\overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{FB}$$，得到坐标关系：
$$x_1 - \sqrt{2} = 2(\sqrt{2} - x_2)$$
结合韦达定理 $$x_1 + x_2 = \frac{2\sqrt{2}k^2}{k^2 - 1}$$ 和 $$x_1x_2 = \frac{2k^2 + 1}{k^2 - 1}$$，解得 $$k = \sqrt{17}$$。因此，答案为 D。
第2题解析：
直线 $$y = k(x - \sqrt{2})$$ 与双曲线 $$x^2 - y^2 = 1$$ 联立，得到方程：
$$x^2 - [k(x - \sqrt{2})]^2 = 1$$
整理后判别式为零（仅有一个公共点），解得 $$k = \pm 1$$。此外，当 $$k = 0$$ 时，直线 $$y = 0$$ 与双曲线也仅有一个交点 $$(1, 0)$$。因此，答案为 D。
第3题解析：
双曲线方程为 $$\frac{x^2}{9} - y^2 = 1$$，直线方程为 $$y = \frac{1}{3}(x + 1)$$。联立后得到：
$$\frac{x^2}{9} - \left[\frac{1}{3}(x + 1)\right]^2 = 1$$
化简后判别式大于零，方程有两个不同的实数解。因此，答案为 C。
第4题解析：
点 $$A(0, 1)$$ 和 $$B(2, -1)$$ 的距离为 $$2\sqrt{2}$$。设点 $$C(x, y)$$ 在双曲线 $$\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$$ 上，面积为 3，则 $$C$$ 到直线 $$AB$$ 的距离为 $$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$。直线 $$AB$$ 的方程为 $$x + y - 1 = 0$$。代入双曲线方程并求解，可得 4 个解。因此，答案为 A。
第5题解析：
双曲线方程为 $$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = -1$$，即 $$\frac{y^2}{3} - \frac{x^2}{4} = 1$$。过原点的直线 $$y = kx$$ 代入双曲线方程，得到：
$$\frac{(kx)^2}{3} - \frac{x^2}{4} = 1$$
要求判别式大于零，解得 $$k \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$。因此，答案为 A。
第6题解析：
点 $$A(-\sqrt{3}, 0)$$ 和 $$B(\sqrt{3}, 0)$$ 的距离为 $$2\sqrt{3}$$。直线 $$l$$ 平行于 $$y = \sqrt{2}x + 1$$，其方程为 $$y = \sqrt{2}(x + \sqrt{3})$$。满足 $$||PA| - |PB|| = 2$$ 的点 $$P$$ 需在双曲线的右支上，且与直线 $$l$$ 相交。计算判别式，有两个交点。因此，答案为 C。
第7题解析：
双曲线方程为 $$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$$，渐近线斜率为 $$\pm \sqrt{3}$$。过点 $$C(4, 0)$$ 的直线与右支有两个交点，斜率需满足 $$|k| > \sqrt{3}$$。因此，答案为 B。
第8题解析：
双曲线方程为 $$x^2 - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，离心率 $$e = \sqrt{2}$$，解得 $$b = 1$$。直线 $$y = kx + 2$$ 与双曲线联立，要求判别式大于零且与左右支各有一个交点，解得 $$k \in (-1, 1)$$。因此，答案为 B。
第9题解析：
双曲线方程为 $$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$$。过点 $$(5, \frac{9}{4})$$ 的直线中，两条与渐近线平行（斜率为 $$\pm \frac{3}{4}$$），一条与双曲线相切。因此，共有 3 条满足条件的直线。答案为 C。
第10题解析：
双曲线方程为 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，右焦点 $$F(c, 0)$$，直线 $$l$$ 的斜率为 1，方程为 $$y = x - c$$。联立后判别式大于零，且交点位于右支，解得离心率 $$e \in (1, \sqrt{2})$$。因此，答案为 A。