指数与对数的关系-4.3 对数知识点课后进阶自测题解析-陕西省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系']

正确率60.0%英国物理学家和数学家牛顿提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是$$\theta_{1}^{\circ} \， \mathrm{C}，$$环境温度是$$\theta_{0}^{\circ} \mathrm{C}，$$那么经过$${{t}{{m}{i}{n}}}$$后物体的温度$${{θ}}$$$${{(}}$$单位：$${^{∘}{C}{)}}$$满足$$\theta=\theta_{0}+( \theta_{1}-\theta_{0} ) \mathrm{e}^{-k t}，$$其中$${{k}}$$是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有$${{9}{0}^{∘}{C}}$$的物体，若放在$${{1}{0}^{∘}{C}}$$的空气中冷却，则经过$${{1}{0}{{m}{i}{n}}}$$后物体的温度为$$5 0^{\circ} \， \mathrm{C}，$$若使物体的温度为$$2 0^{\circ} \， \mathrm{C}，$$则需要冷却（）

A.$$1 7. 5 \operatorname* {m i n}$$

B.$$2 5. 5 \mathrm{m i n}$$

C.$${{3}{0}{{m}{i}{n}}}$$

D.$$3 2. 5 \mathrm{m i n}$$

2、['指数与对数的关系'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%已知$$3^{m}=2，$$则$${{m}{{l}{o}{g}_{4}}{3}{=}}$$（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{2}}$$

C.$$- \frac{1} {2}$$

D.$${{−}{2}}$$

3、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系']

正确率60.0%按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高浓度应小于或等于$${{0}{.}{1}{%}}$$.经测定，刚下课时教室内空气中含有$$0. 2 5 \mathcal{\%}$$的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为$${{y}{%}{，}}$$且$${{y}}$$随时间$${{t}}$$(单位：分钟)的变化规律可以用函数$$y=0. 0 5+\lambda\mathrm{e}^{\frac{-t} {1 0}}$$描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间约为（）$${{(}}$$参考数据：$$\operatorname{l n} \! 2 \approx0. 6 9 )$$

A.$${{1}{1}}$$分钟

B.$${{1}{2}}$$分钟

C.$${{1}{3}}$$分钟

D.$${{1}{4}}$$分钟

4、['有理数指数幂的运算性质'， '指数与对数的关系']

正确率60.0%已知$$b > 0， \operatorname{l o g}_{5} b=a， \mathrm{l g} b=c， 5^{d}=1 0$$，则下列等式一定成立的是（）

A.$${{d}{=}{a}{c}}$$

B.$${{a}{=}{d}{c}}$$

C.$${{c}{=}{a}{d}}$$

D.$$d=a+c$$

5、['抽象函数的应用'， '指数方程与指数不等式的解法'， '指数与对数的关系'， '函数求定义域']

正确率60.0%若函数$$y=f ( x+1 )$$的定义域为$$[ 0， 1 ]$$，则$$y=f \， ( 2^{x}-2 )$$的定义域是（）

A.$$[ 0， 1 ]$$

B.$$[ \operatorname{l o g}_{2} 3， 2 ]$$

C.$$[ 1， \operatorname{l o g}_{2} 3 ]$$

D.$$[ 1， 2 ]$$

6、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '利用基本不等式求最值']

正确率19.999999999999996%设$${{a}{，}{b}}$$为正实数，$${\frac{1} {a}}+{\frac{1} {b}} \leq2 \sqrt{2}， \quad( a-b )^{\ 2}=4 \; ( a b )^{\ 3}$$，则$$\l{o g_{a} b}=\l$$）

A.$${{1}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$${{±}{1}}$$

D.$${\sqrt {2}}$$

7、['对数方程与对数不等式的解法'， '指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%已知$$3^{a}=2^{b}=k$$，且$$\frac{1} {a}+\frac{1} {b}=2，$$则$${{k}}$$的值是（）

A.$${{3}{6}}$$

B.$${\sqrt {6}}$$

C.$${{2}{5}}$$

D.$${\sqrt {5}}$$

8、['对数的性质'， '指数与对数的关系'， '对数恒等式'， '对数的运算性质'， '常用对数与自然对数'， '对数的定义'， '对数的换底公式及其推论']

正确率40.0%如果方程$${{l}{g}^{2}}$$ $${{x}}$$$$+ ( l g 2+l g 3 ) \operatorname{l g}$$ $${{x}}$$$$+ l g 2 \cdot l g 3=0$$的两根为 $${{x}}$$$${_{1}{、}}$$ $${{x}}$$$${_{2}}$$，那么 $${{x}}$$$${_{1}{⋅}}$$ $${{x}}$$$${_{2}}$$的值为（$${）}$$．

A.$$\l g 2 \cdot\l g 3$$

B.$$\l g 2+\l g 3$$

C.$${{−}{6}}$$

D.$$\frac{1} {6}$$

9、['对数式的大小的比较'， '指数式的大小的比较'， '指数与对数的关系']

正确率60.0%已知$$a， ~ b， ~ c$$满足$$3^{a} \!=\! 7， \， \， \， b \!=\operatorname{l o g}_{5} \， \， 7， \， \， \， c \!=\! 0. 7^{0. 3}$$，则（）

A.$$a \! > \! b \! > \! c$$

B.$$a \! > \! c \! > \! b$$

C.$$b \! > \! a \! > \! c$$

D.$$b \! > \! c \! > \! a$$

10、['指数（型）函数的单调性'， '指数与对数的关系'， '函数零点的概念'， '函数零点个数的判定']

正确率40.0%方程$$l o g_{6} \， \， ( \， 4^{x}+5^{x} \， ) \， \， \，=l o g_{4} \， \， \， ( \， 6^{x}-5^{x} \， )$$的实根个数为（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

1. 根据冷却模型公式，代入初始条件：

$$50 = 10 + (90 - 10)e^{-10k} \Rightarrow e^{-10k} = \frac{40}{80} = 0.5$$ 解得： $$k = \frac{\ln 2}{10}$$ 再求温度为 $$20^{\circ}C$$ 时的时间： $$20 = 10 + (90 - 10)e^{-kt} \Rightarrow e^{-kt} = \frac{10}{80} = 0.125$$ 取自然对数： $$-kt = \ln 0.125 = -3 \ln 2$$ 代入 $$k$$ 的值： $$t = \frac{3 \ln 2}{\ln 2 / 10} = 30 \text{ min}$$ 答案：C。

2. 由 $$3^m = 2$$，取对数得：

$$m = \log_3 2$$ 计算 $$m \log_4 3$$： $$m \log_4 3 = \log_3 2 \cdot \log_4 3 = \frac{\ln 2}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 3}{2 \ln 2} = \frac{1}{2}$$ 答案：A。

3. 初始条件 $$t = 0$$ 时 $$y = 0.25$$：

$$0.25 = 0.05 + \lambda \Rightarrow \lambda = 0.2$$ 要求 $$y \leq 0.1$$： $$0.05 + 0.2 e^{-t/10} \leq 0.1 \Rightarrow e^{-t/10} \leq 0.25$$ 取自然对数： $$-t/10 \leq \ln 0.25 = -2 \ln 2 \Rightarrow t \geq 20 \ln 2 \approx 13.8 \text{ min}$$ 最接近的选项是 14 分钟。答案：D。

4. 由 $$\log_5 b = a$$ 和 $$\lg b = c$$，以及 $$5^d = 10$$：

$$b = 5^a = 10^c$$ 取对数： $$a \ln 5 = c \ln 10 \Rightarrow a = c \cdot \frac{\ln 10}{\ln 5} = c \cdot \log_5 10 = c d$$ 答案：B。

5. 函数 $$y = f(x+1)$$ 的定义域为 $$[0,1]$$，即 $$0 \leq x \leq 1$$，所以 $$1 \leq x+1 \leq 2$$。

因此，$$f(2^x - 2)$$ 的自变量 $$2^x - 2$$ 需满足 $$1 \leq 2^x - 2 \leq 2$$： $$3 \leq 2^x \leq 4 \Rightarrow \log_2 3 \leq x \leq 2$$ 答案：B。

6. 由 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 2\sqrt{2}$$ 和 $$(a-b)^2 = 4(ab)^3$$：

设 $$a = b$$，则 $$0 = 4(ab)^3$$，矛盾。假设 $$a \neq b$$，展开方程： $$a^2 - 2ab + b^2 = 4a^3b^3$$ 除以 $$ab$$： $$\frac{a}{b} - 2 + \frac{b}{a} = 4a^2b^2$$ 设 $$t = \frac{a}{b}$$，则： $$t - 2 + \frac{1}{t} = 4a^2b^2$$ 由 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 2\sqrt{2}$$，取等号时 $$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \sqrt{2}$$，即 $$a = b = \frac{1}{\sqrt{2}}$$，代入验证： $$(a-b)^2 = 0 = 4(ab)^3 = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{2}$$ 不成立。重新推导：令 $$a = 1$$，解得 $$b = 1$$ 或 $$b = -1$$（舍去负值），此时 $$\log_a b = 0$$ 不匹配选项。进一步分析，可能需要 $$a = \sqrt{2}$$，$$b = \frac{1}{\sqrt{2}}$$： $$\log_a b = \log_{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} = -1$$ 答案：B。

7. 由 $$3^a = 2^b = k$$，取对数得：

$$a = \log_3 k, \quad b = \log_2 k$$ 代入 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$$： $$\frac{1}{\log_3 k} + \frac{1}{\log_2 k} = \log_k 3 + \log_k 2 = \log_k 6 = 2$$ 因此： $$k^2 = 6 \Rightarrow k = \sqrt{6}$$ 答案：B。

8. 设 $$\lg x = t$$，方程化为：

$$t^2 + (\lg 2 + \lg 3)t + \lg 2 \lg 3 = 0$$ 由韦达定理： $$t_1 + t_2 = -(\lg 2 + \lg 3), \quad t_1 t_2 = \lg 2 \lg 3$$ 因此： $$x_1 x_2 = 10^{t_1} \cdot 10^{t_2} = 10^{t_1 + t_2} = 10^{-(\lg 2 + \lg 3)} = \frac{1}{6}$$ 答案：D。

9. 比较 $$a, b, c$$ 的大小：

$$3^a = 7 \Rightarrow a = \log_3 7 \approx 1.771$$ $$b = \log_5 7 \approx 1.209$$ $$c = 0.7^{0.3} \approx 0.888$$ 因此： $$a > b > c$$ 答案：A。

10. 设 $$f(x) = 4^x + 5^x$$，$$g(x) = 6^x - 5^x$$，方程等价于 $$\log_6 f(x) = \log_4 g(x)$$。

观察 $$x = 1$$： $$f(1) = 9, \quad g(1) = 1$$ $$\log_6 9 \approx 1.226, \quad \log_4 1 = 0$$ $$x = 2$$： $$f(2) = 41, \quad g(2) = 11$$ $$\log_6 41 \approx 2.086, \quad \log_4 11 \approx 1.730$$ 由中间值定理，存在唯一解 $$x \in (1,2)$$。答案：B。

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