.jpg)
正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} | x+1 |， \; \; x \leqslant1，} \\ {} & {{} | \operatorname{l o g}_{2} ( x-1 ) |， \; \; x > 1.} \\ \end{aligned} \right.$$若方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}{(}{a}{∈}{R}{)}}$$有四个不同的解$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}{，}{{x}_{3}}{，}{{x}_{4}}{，}}$$且$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}{<}{{x}_{3}}{<}{{x}_{4}}{，}}$$则$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{+}{{x}_{3}}{+}{{x}_{4}}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[ 2， ~ ~ \frac{1 7} {4} \Biggr]$$
B.$$\left( 2， ~ \frac{1 7} {4} \right]$$
C.$$\left( 2， ~ \frac{1 7} {4} \right)$$
D.$$[ 2， ~ \frac{1 7} {4} \ )$$
2、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%已知$${{l}{o}{{g}_{3}}{2}{=}{a}{，}{{3}^{b}}{=}{5}{，}}$$则$$\operatorname{l o g}_{1 5} \sqrt{3 0}$$用$${{a}{，}{b}}$$表示为（）
B
A.$$\frac{1+a+b} {1+b}$$
B.$$\frac{1+a+b} {2 ( 1+b )}$$
C.$$\frac{a+b} {1+b}$$
D.$$\frac{a+b} {2 ( 1+b )}$$
3、['对数的运算性质'， '利用基本不等式求最值'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知$${{a}{>}{0}{，}{b}{>}{0}{，}{a}{+}{2}{b}{=}{1}{，}}$$下列结论正确的是（）
D
A.$$\frac1 a+\frac2 b$$的最小值为$${{8}}$$
B.$${{a}^{2}{+}{{b}^{2}}}$$的最小值为$$\frac{\sqrt{5}} {5}$$
C.$${{l}{o}{g}_{2}{a}{+}{{l}{o}{g}_{2}}{b}}$$的最小值为$${{−}{3}}$$
D.$${{2}^{a}{+}{{4}^{b}}}$$的最小值为$${{2}{\sqrt {2}}}$$
4、['对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%计算$${{l}{o}{{g}_{2}}{9}{×}{l}{o}{{g}_{3}}{4}{+}{2}{l}{o}{{g}_{5}}{{1}{0}}{+}{l}{o}{{g}_{5}}{{0}{.}{2}{5}}{=}{（}}$$）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
5、['基本不等式的综合应用'， '基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '对数恒等式'， '对数的运算性质'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%若$${{x}{>}{0}}$$且$${{x}{≠}{1}}$$，则函数$${{y}{=}{{l}{g}}{x}{+}{{l}{o}{g}_{x}}{{1}{0}}}$$的值域为（）
D
A.$${{R}}$$
B.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{2}{]}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{2}{]}{∪}{[}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
6、['N次方根的定义与性质'， '对数的运算性质']正确率60.0%$${^{3}\sqrt {{(}{l}{g}{5}{−}{1}{{)}^{3}}}{−}{\sqrt {{(}{l}{g}{2}{−}{1}{{)}^{2}}}}{=}{（}}$$）
C
A.$$l g \frac{2} {5}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$$l g {\frac{5} {2}}$$
7、['对数方程与对数不等式的解法'， '对数的运算性质']正确率60.0%方程$$\operatorname{l o g}_{\sqrt5} \sqrt{2 x+1}=\operatorname{l o g}_{5} ( x^{2}-2 )$$的解集是（）
A
A.$${{\{}{3}{\}}}$$
B.$${{\{}{−}{1}{\}}}$$
C.$${{\{}{−}{1}{，}{3}{\}}}$$
D.$${{\{}{1}{，}{3}{\}}}$$
8、['对数式的大小的比较'， '对数的运算性质']正确率60.0%设$$a=\operatorname{l o g}_{2} 3， \， \， \， b=\operatorname{l o g}_{4} 6， \， \， \， c=1 0^{\operatorname{l g} 2}$$，则（）
B
A.$${{a}{=}{b}{>}{c}}$$
B.$${{c}{>}{a}{>}{b}}$$
C.$${{c}{>}{b}{>}{a}}$$
D.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$
9、['对数（型）函数的单调性'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\frac{\operatorname{l n} x} {x}$$，若$${{a}{=}{f}{（}{2}{）}{，}{b}{=}{f}{（}{3}{）}{，}}$$$${{c}{=}{f}{（}{5}{）}}$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系是（）
D
A.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$
B.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$
C.$${{a}{<}{c}{<}{b}}$$
D.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$
10、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '对数的运算性质'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%方程$$x-\operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}} x=3$$和$$x-\operatorname{l o g}_{\frac{1} {3}} x=3$$的根分别为$${{α}{，}{β}{，}}$$则有（）
A
A.$${{α}{<}{β}}$$
B.$${{α}{>}{β}}$$
C.$${{α}{=}{β}}$$
D.无法确定$${{α}}$$与$${{β}}$$大小
1. 解析：
分段函数 $$f(x)$$ 的图像分析：
当 $$x \leq 1$$ 时，$$f(x) = |x + 1|$$，是一条 V 形线，顶点在 $$x = -1$$，$$f(-1) = 0$$，$$f(1) = 2$$。
当 $$x > 1$$ 时，$$f(x) = |\log_2 (x - 1)|$$，是一条对数函数曲线，经过 $$(2, 0)$$，且随着 $$x$$ 增大，先减小后增大。
方程 $$f(x) = a$$ 有四个不同的解，说明 $$0 < a < 2$$。
对于 $$x \leq 1$$，方程 $$|x + 1| = a$$ 有两个解：$$x_1 = -1 - a$$ 和 $$x_2 = -1 + a$$。
对于 $$x > 1$$，方程 $$|\log_2 (x - 1)| = a$$ 有两个解：$$x_3 = 1 + 2^{-a}$$ 和 $$x_4 = 1 + 2^a$$。
因此，$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = (-1 - a) + (-1 + a) + (1 + 2^{-a}) + (1 + 2^a) = 2^{-a} + 2^a$$。
令 $$g(a) = 2^{-a} + 2^a$$，$$0 < a < 2$$。求导得 $$g'(a) = -\ln 2 \cdot 2^{-a} + \ln 2 \cdot 2^a$$，令 $$g'(a) = 0$$ 得 $$a = 0$$，为极小值点，$$g(0) = 2$$。
当 $$a \to 2^-$$ 时，$$g(a) \to \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}$$。
所以 $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \in (2, \frac{17}{4})$$，选 C。
2. 解析：
已知 $$\log_3 2 = a$$，$$3^b = 5$$，即 $$\log_3 5 = b$$。
要求 $$\log_{15} \sqrt{30}$$：
$$\log_{15} \sqrt{30} = \frac{1}{2} \log_{15} 30 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\log_3 30}{\log_3 15}$$。
$$\log_3 30 = \log_3 (2 \times 3 \times 5) = \log_3 2 + 1 + \log_3 5 = a + 1 + b$$。
$$\log_3 15 = \log_3 (3 \times 5) = 1 + \log_3 5 = 1 + b$$。
因此，$$\log_{15} \sqrt{30} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a + 1 + b}{1 + b} = \frac{1 + a + b}{2(1 + b)}$$，选 B。
3. 解析：
已知 $$a > 0$$，$$b > 0$$，$$a + 2b = 1$$。
选项分析：
A. $$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b}\right)(a + 2b) = 1 + \frac{2b}{a} + \frac{2a}{b} + 4 \geq 5 + 4 = 9$$，最小值是 9，不是 8，错误。
B. $$a^2 + b^2$$ 的最小值：设 $$a = 1 - 2b$$，代入得 $$(1 - 2b)^2 + b^2 = 1 - 4b + 5b^2$$，求导得 $$-4 + 10b = 0$$，$$b = \frac{2}{5}$$，$$a = \frac{1}{5}$$，最小值为 $$\frac{1}{25} + \frac{4}{25} = \frac{1}{5}$$，不是 $$\frac{\sqrt{5}}{5}$$，错误。
C. $$\log_2 a + \log_2 b = \log_2 (ab)$$，$$ab = (1 - 2b)b = b - 2b^2$$，求导得 $$1 - 4b = 0$$，$$b = \frac{1}{4}$$，$$a = \frac{1}{2}$$，$$\log_2 \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}\right) = \log_2 \frac{1}{8} = -3$$，正确。
D. $$2^a + 4^b = 2^a + 2^{2b}$$，由 $$a + 2b = 1$$，设 $$a = 1 - 2b$$，代入得 $$2^{1 - 2b} + 2^{2b}$$，令 $$t = 2^{2b}$$，则表达式为 $$\frac{2}{t} + t$$，最小值为 $$2\sqrt{2}$$，当 $$t = \sqrt{2}$$ 时取得，正确。
综上，正确的选项是 C 和 D。
4. 解析：
计算 $$\log_2 9 \times \log_3 4 + 2\log_5 10 + \log_5 0.25$$：
$$\log_2 9 \times \log_3 4 = 2\log_2 3 \times 2\log_3 2 = 4$$。
$$2\log_5 10 + \log_5 0.25 = \log_5 10^2 + \log_5 0.25 = \log_5 (100 \times 0.25) = \log_5 25 = 2$$。
总和为 $$4 + 2 = 6$$，选 D。
5. 解析：
函数 $$y = \lg x + \log_x 10$$，设 $$\lg x = t$$，则 $$y = t + \frac{1}{t}$$。
当 $$x > 1$$ 时，$$t > 0$$，$$y \geq 2$$；当 $$0 < x < 1$$ 时，$$t < 0$$，$$y \leq -2$$。
因此值域为 $$(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$$，选 D。
6. 解析：
计算 $$\sqrt[3]{(\lg 5 - 1)^3} - \sqrt{(\lg 2 - 1)^2}$$：
$$\sqrt[3]{(\lg 5 - 1)^3} = \lg 5 - 1$$。
$$\sqrt{(\lg 2 - 1)^2} = |\lg 2 - 1| = 1 - \lg 2$$。
因此，原式 $$= \lg 5 - 1 - (1 - \lg 2) = \lg 5 + \lg 2 - 2 = \lg 10 - 2 = -1$$，选 C。
7. 解析：
方程 $$\log_{\sqrt{5}} \sqrt{2x + 1} = \log_5 (x^2 - 2)$$：
左边化为 $$\log_5 (2x + 1)$$，右边为 $$\log_5 (x^2 - 2)$$。
因此，$$2x + 1 = x^2 - 2$$，即 $$x^2 - 2x - 3 = 0$$，解得 $$x = 3$$ 或 $$x = -1$$。
检验定义域：$$2x + 1 > 0$$ 且 $$x^2 - 2 > 0$$，$$x = -1$$ 不满足 $$x^2 - 2 > 0$$，舍去。
解集为 $$\{3\}$$，选 A。
8. 解析：
比较 $$a = \log_2 3$$，$$b = \log_4 6$$，$$c = 10^{\lg 2} = 2$$：
$$a = \log_2 3 \approx 1.585$$，$$b = \log_4 6 = \frac{\log_2 6}{2} \approx \frac{2.585}{2} \approx 1.292$$，$$c = 2$$。
因此 $$c > a > b$$，选 B。
9. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{\ln x}{x}$$，求导得 $$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$，当 $$x > e$$ 时，$$f'(x) < 0$$，函数递减。
$$f(2) = \frac{\ln 2}{2}$$，$$f(3) = \frac{\ln 3}{3}$$，$$f(5) = \frac{\ln 5}{5}$$。
比较大小：$$\frac{\ln 2}{2} \approx 0.346$$，$$\frac{\ln 3}{3} \approx 0.366$$，$$\frac{\ln 5}{5} \approx 0.322$$。
因此 $$c < a < b$$，选 D。
10. 解析：
方程 $$x - \log_{\frac{1}{2}} x = 3$$ 和 $$x - \log_{\frac{1}{3}} x = 3$$ 的根分别为 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$。
设 $$f(x) = x - \log_{\frac{1}{k}} x - 3$$，$$k = 2$$ 或 $$3$$。
由于 $$\log_{\frac{1}{k}} x = -\log_k x$$，函数为 $$f(x) = x + \log_k x - 3$$。
对于 $$k = 2$$，$$f(2) = 2 + 1 - 3 = 0$$，$$\alpha = 2$$。
对于 $$k = 3$$，$$f(2) = 2 + \log_3 2 - 3 \approx -0.369$$，$$f(3) = 3 + 1 - 3 = 1$$，根 $$\beta \in (2, 3)$$。
因此 $$\alpha < \beta$$，选 A。