指数与对数的关系-4.3 对数知识点回顾进阶自测题解析-青海省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['有理数指数幂的运算性质'， '指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '命题的真假性判断'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%已知$$2^{a}=5^{b}=m$$，现有下面四个命题：
$${{p}_{1}}$$:若$${{a}{=}{b}}$$，则$$m=1 ; ~ p_{2}$$：若$${{m}{=}{{1}{0}}}$$，则$$\frac{1} {a}+\frac{1} {b}=1 ;$$
$${{p}_{3}}$$:若$${{a}{=}{b}}$$，则$$m=1 0 ; \， \， p_{4}$$：若$${{m}{=}{{1}{0}}}$$，则$$\frac{1} {a}+\frac{1} {b}=\frac{1} {2}.$$
其中的真命题是（）

A.$${{p}_{1}{，}{{p}_{4}}}$$

B.$${{p}_{1}{，}{{p}_{2}}}$$

C.$${{p}_{2}{，}{{p}_{3}}}$$

D.$${{p}_{3}{，}{{p}_{4}}}$$

2、['对数式的大小的比较'， '指数与对数的关系']

正确率40.0%已知$$2^{a}=6^{b}=1 0，$$则$$3， ~ a b， ~ a+b$$的大小关系是（）

A.$$a b < a+b < 3$$

B.$$a b < ~ 3 < ~ a+b$$

C.$$3 < a+b < a b$$

D.$$3 < ~ a b < ~ a+b$$

3、['函数中的存在性问题'， '指数与对数的关系'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '对数恒等式']

正确率19.999999999999996%设$${{a}{>}{1}}$$，若仅有一个常数$${{c}}$$使得对于任意的$$x \in[ a， a^{3} ]$$，都有$$y \in[ 1+\operatorname{l o g}_{a} 2-a^{3}， 2-a ]$$满足方程$$a^{x} a^{y}=c$$，则$${{a}}$$的取值集合为$${{(}{)}}$$

A.$${{\{}{4}{\}}}$$

B.$$\{\frac{3} {2}， 2 \}$$

C.$${{\{}{2}{\}}}$$

D.$$\{\frac{3} {2} \}$$

4、['对数（型）函数的单调性'， '指数与对数的关系'， '不等式比较大小'， '对数的换底公式及其推论']

正确率40.0%设$$x， ~ y， ~ z$$均为正数，且$$2^{x}=3^{y}=6^{z}$$，则（）

A.$$2 x < 3 y < 6 z$$

B.$$6 z < 2 x < 3 y$$

C.$$3 y < 6 z < 2 x$$

D.$$3 y < 2 x < 6 z$$

5、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '利用函数单调性比较大小']

正确率60.0%设$$a=4^{\frac{1} {2}}， \ b=( \frac{1} {2} )^{4}， \ c=l o g_{\frac{1} {2}} 4$$则（）

A.$$a < b < c$$

B.$$c < b < a$$

C.$$b < c < a$$

D.$$c < a < b$$

6、['对数式的大小的比较'， '对数（型）函数的单调性'， '指数与对数的关系']

正确率60.0%已知$$f ( x )=l o g_{0. 8} \frac{1} {x}， \， \， \， a=f ( l o g_{\pi} 3 )， \， \， \， b=f ( l o g_{4} \sqrt{3} )， \， \， \， c=f ( 3^{0. 1} )$$，则（）

A.$$b < a < c$$

B.$$a < b < c$$

C.$$c < b < a$$

D.$$c < a < b$$

7、['指数与对数的关系']

正确率80.0%若$$f ( 1 0^{x} )=x$$，则$$f ( 3 )=$$

A.$$\operatorname{l o g}_{3} 1 0$$

B.$${{l}{g}_{3}}$$

C.$${{1}{0}^{3}}$$

D.$$3^{1 0}$$

8、['指数与对数的关系'， '反函数的性质']

正确率60.0%已知函数$$y=f ~ ( x )$$与$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{3}}{x}}$$互为反函数，则$$f \left( \begin{matrix} {2} \\ {2} \\ \end{matrix} \right) \ =\textsubscript{(}$$）

A.$${{6}}$$

B.$${{9}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{l}{o}{{g}_{3}}{2}}$$

9、['指数与对数的关系']

正确率40.0%已知$${{α}}$$是方程$$x \operatorname{l g} x=2 0 1 0$$的根，$${{β}}$$是方程$$x \cdot1 0^{x}=2 0 1 0$$的根，则$$\alpha\cdot\beta=~ ($$）

A.$$2 0 1 0^{2}$$

B.$${{2}{0}{1}{0}}$$

C.$$2 0 1 1^{2}$$

D.$${{2}{0}{1}{1}}$$

10、['指数与对数的关系'， '对数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']

正确率60.0%在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述$${{.}}$$两颗星的星等与亮度满足$$m_{2}-m_{1}={\frac{5} {2}} \mathrm{l g} \， {\frac{E_{1}} {E_{2}}}$$，其中星等为$${{m}_{k}}$$的星的亮度为$${{E}_{k}}$$（$$k=1， 2$$）.已知太阳的星等是$${{–}{{2}{6}{.}{7}}}$$，天狼星的星等是$${{–}{{1}{.}{4}{5}}}$$，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A.$${{1}{0}}$$^{$${{1}{0}{.}{1}}$$}

B.$${{1}{0}{.}{1}}$$

C.$${{l}{g}{{1}{0}{.}{1}}}$$

D.^{$$1 0^{-1 0. 1}$$}

1. 解析：

对于$$2^{a}=5^{b}=m$$，取对数得$$a=\log_{2}m$$，$$b=\log_{5}m$$。

$$p_{1}$$：若$$a=b$$，则$$\log_{2}m=\log_{5}m$$，解得$$m=1$$，因此$$p_{1}$$为真。
$$p_{2}$$：若$$m=10$$，则$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\log_{m}2+\log_{m}5=\log_{m}(2 \times 5)=1$$，因此$$p_{2}$$为真。
$$p_{3}$$：若$$a=b$$，则$$m=1$$，与$$m=10$$矛盾，因此$$p_{3}$$为假。
$$p_{4}$$：若$$m=10$$，由$$p_{2}$$知$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1 \neq \frac{1}{2}$$，因此$$p_{4}$$为假。

综上，真命题是$$p_{1}$$和$$p_{2}$$，答案为B。

2. 解析：

由$$2^{a}=6^{b}=10$$，取对数得$$a=\log_{2}10$$，$$b=\log_{6}10$$。

计算$$ab=\log_{2}10 \times \log_{6}10$$，由于$$\log_{2}10 > \log_{6}10$$，且两者均大于1，故$$ab > 1$$。
计算$$a+b=\log_{2}10 + \log_{6}10$$，由于$$\log_{2}10 \approx 3.32$$，$$\log_{6}10 \approx 1.29$$，故$$a+b \approx 4.61$$。
比较$$3$$、$$ab$$、$$a+b$$，显然$$3 < ab < a+b$$，答案为D。

3. 解析：

由题意，方程$$a^{x} a^{y}=c$$即$$a^{x+y}=c$$，取对数得$$x+y=\log_{a}c$$。对于$$x \in [a, a^{3}]$$，$$y \in [1+\log_{a}2 - a^{3}, 2 - a]$$，需满足$$x+y$$为常数。因此，$$a + (1+\log_{a}2 - a^{3}) = a^{3} + (2 - a)$$，解得$$a=2$$。验证$$a=2$$时，$$x \in [2, 8]$$，$$y \in [-7, 0]$$，且$$x+y=1$$唯一，答案为C。

4. 解析：

设$$2^{x}=3^{y}=6^{z}=k$$，取对数得： $$x=\log_{2}k$$，$$y=\log_{3}k$$，$$z=\log_{6}k$$。比较$$2x$$、$$3y$$、$$6z$$：

$$2x=2\log_{2}k$$，$$3y=3\log_{3}k$$，$$6z=6\log_{6}k$$。
利用换底公式，$$2x=\frac{2}{\log_{k}2}$$，$$3y=\frac{3}{\log_{k}3}$$，$$6z=\frac{6}{\log_{k}6}$$。
由于$$\log_{k}6 > \log_{k}3 > \log_{k}2$$，故$$6z < 3y < 2x$$，答案为B。

5. 解析：

计算各值：

$$a=4^{\frac{1}{2}}=2$$。
$$b=\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16}$$。
$$c=\log_{\frac{1}{2}}4=-2$$。

比较得$$c < b < a$$，答案为B。

6. 解析：

函数$$f(x)=\log_{0.8}\frac{1}{x}=-\log_{0.8}x$$，由于$$0.8 < 1$$，$$f(x)$$随$$x$$增大而增大。计算各值：

$$\log_{\pi}3 \approx 1.04$$。
$$\log_{4}\sqrt{3} \approx 0.25$$。
$$3^{0.1} \approx 1.12$$。

故$$b < a < c$$，答案为A。

7. 解析：

由$$f(10^{x})=x$$，令$$10^{x}=3$$，则$$x=\lg 3$$，故$$f(3)=\lg 3$$，答案为B。

8. 解析：

$$y=f(x)$$与$$y=\log_{3}x$$互为反函数，故$$f(x)=3^{x}$$。因此$$f(2)=3^{2}=9$$，答案为B。

9. 解析：

由题意：

$$\alpha \lg \alpha = 2010$$，即$$\lg \alpha^{\alpha} = 2010$$，故$$\alpha^{\alpha} = 10^{2010}$$。
$$\beta \cdot 10^{\beta} = 2010$$，即$$10^{\beta} = \frac{2010}{\beta}$$。

设$$\alpha = 10^{t}$$，则$$t \cdot 10^{t} = 2010$$，与$$\beta$$的方程相同，故$$\alpha = \beta$$。因此$$\alpha \cdot \beta = \alpha^{2} = (10^{t})^{2} = 10^{2t}$$，但由$$\alpha^{\alpha} = 10^{2010}$$得$$\alpha = 10^{\frac{2010}{\alpha}}$$，故$$\alpha \cdot \beta = 10^{2010}$$，但选项无此答案。重新推导：由$$\alpha \lg \alpha = 2010$$和$$\beta \cdot 10^{\beta} = 2010$$，设$$\beta = \lg \alpha$$，则$$\lg \alpha \cdot \alpha = 2010$$，故$$\alpha \cdot \beta = 2010$$，答案为B。

10. 解析：

由星等公式$$m_{2}-m_{1}=\frac{5}{2} \lg \frac{E_{1}}{E_{2}}$$，代入太阳（$$m_{1}=-26.7$$）和天狼星（$$m_{2}=-1.45$$）： $$ -1.45 - (-26.7) = \frac{5}{2} \lg \frac{E_{\text{太阳}}}{E_{\text{天狼星}}} $$ 解得$$ \lg \frac{E_{\text{太阳}}}{E_{\text{天狼星}}} = \frac{25.25 \times 2}{5} = 10.1 $$ 故$$\frac{E_{\text{太阳}}}{E_{\text{天狼星}}} = 10^{10.1}$$，答案为A。

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