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正确率60.0%设$$a=\mathrm{l g} 2， \， \， \， b=\mathrm{l g} 3，$$则$$\operatorname{l o g}_{3} 1 8=$$（）
C
A.$$\frac{2 a} {b}+1$$
B.$$\frac{2 b} {a}+1$$
C.$$\frac{a} {b}+2$$
D.$$\frac{b} {a}+2$$
2、['公式法求和'， '对数的运算性质'， '数列中的新定义问题'， '分组求和法'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{1}}$$，$$a_{n}=\operatorname{l o g}_{n} ( n+1 )$$（$${{n}{⩾}{2}}$$，$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$），定义：使乘积$$a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot\ldots a_{k}$$为正整数的$${{k}}$$（$${{k}{∈}{{N}^{∗}}}$$）叫做$${{“}}$$幸运数$${{”}}$$，则在$$[ 1， 2 ~ 0 2 2 ]$$内的所有$${{“}}$$幸运数$${{”}}$$的和为（）
D
A.$${{2}{{0}{4}{6}}}$$
B.$${{4}{{0}{8}{3}}}$$
C.$${{4}{{0}{9}{4}}}$$
D.$${{2}{{0}{3}{6}}}$$
3、['对数恒等式'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%设$$a \operatorname{l o g}_{3} 4=2，$$则$$4^{-a}=$$（）
B
A.$$\frac{1} {1 6}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {8}$$
D.$$\frac{1} {6}$$
4、['函数求值'， '对数恒等式'， '对数的运算性质'， '不等式比较大小'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=2^{\left| x \right|}$$，记$$a=f \ ( l o g_{0. 5} 2. 2 ) \， \， \，， \， \， \， b=f \ ( l o g_{2} 0. 5 ) \， \， \，， \， \， \， c=f \ ( \， 0. 5 )$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系为（）
D
A.$$a < b < c$$
B.$$c < a < b$$
C.$$a < c < b$$
D.$$c < b < a$$
5、['二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%设$$\l n^{2} x-\l n x-2=0$$的两根是$${{α}{、}{β}{，}}$$则$$l o g_{\alpha} \beta+l o g_{\beta} \alpha=~ ($$）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac{3} {2}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$$- \frac{5} {2}$$
6、['对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%计算$$( \operatorname{l o g}_{5} 4 ) \! \cdot( \operatorname{l o g}_{1 6} 2 5 )=$$（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
7、['对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%计算：$$( \operatorname{l o g}_{3} 2+\operatorname{l o g}_{3} 5 ) \cdot\operatorname{l g} 9 ~=~$$（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{l}{g}{3}}$$
D.$${{2}{{l}{g}}{7}}$$
8、['对数（型）函数的单调性'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%若$$\operatorname{l o g}_{m} 0. 5 > \， \operatorname{l o g}_{n} 0. 5 > 0，$$则$${{(}{)}}$$
D
A.$$m < n < 1$$
B.$$1 < m < n$$
C.$$1 < n < m$$
D.$$n < m < 1$$
9、['正分数指数幂'， 'N次方根的定义与性质'， '实数指数幂的运算性质'， '有理数指数幂的运算性质'， '负分数指数幂'， '指数与对数的关系'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%若实数$${{a}{，}{b}}$$满足$$2^{a}=3^{b}=3 6$$，则$$\frac{1} {a}+\frac{1} {b}=$$
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {5}$$
C.$$\frac{1} {6}$$
D.$${{1}}$$
10、['指数与对数的关系'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%若$$\operatorname{l o g}_{5} \frac1 3 \cdot\operatorname{l o g}_{3} 6 \cdot\operatorname{l o g}_{6} x=2$$，则$${{x}}$$等于（）
D
A.$${{9}}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
C.$${{2}{5}}$$
D.$$\frac{1} {2 5}$$
1. 已知 $$a = \lg 2$$，$$b = \lg 3$$，要求 $$\log_3 18$$。
解析：
$$\log_3 18 = \log_3 (2 \times 3^2) = \log_3 2 + \log_3 3^2 = \log_3 2 + 2$$
利用换底公式，$$\log_3 2 = \frac{\lg 2}{\lg 3} = \frac{a}{b}$$
因此，$$\log_3 18 = \frac{a}{b} + 2$$
选项 C 符合。
2. 已知数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_1 = 1$$，$$a_n = \log_n (n+1)$$（$$n \geq 2$$），定义“幸运数”为使乘积 $$a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_k$$ 为正整数的 $$k$$，求 $$[1, 2022]$$ 内所有“幸运数”的和。
解析：
乘积 $$P_k = a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_k = 1 \cdot \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \ldots \cdot \log_k (k+1)$$
利用换底公式的链式性质，$$P_k = \frac{\lg 3}{\lg 2} \cdot \frac{\lg 4}{\lg 3} \cdot \ldots \cdot \frac{\lg (k+1)}{\lg k} = \frac{\lg (k+1)}{\lg 2} = \log_2 (k+1)$$
要求 $$P_k$$ 为正整数，即 $$\log_2 (k+1)$$ 为整数，故 $$k+1 = 2^m$$（$$m \in \mathbb{N}^*$$）
$$k = 2^m - 1$$，且 $$k \leq 2022$$，即 $$2^m - 1 \leq 2022 \Rightarrow m \leq 10$$（因为 $$2^{11} = 2048 > 2023$$）
“幸运数”为 $$k = 2^1 - 1, 2^2 - 1, \ldots, 2^{10} - 1$$，即 $$1, 3, 7, 15, \ldots, 1023$$
和为 $$\sum_{m=1}^{10} (2^m - 1) = (2^{11} - 2) - 10 = 2048 - 2 - 10 = 2036$$
选项 D 符合。
3. 已知 $$a \log_3 4 = 2$$，求 $$4^{-a}$$。
解析：
由 $$a \log_3 4 = 2$$，得 $$a = \frac{2}{\log_3 4}$$
利用换底公式，$$\log_3 4 = \frac{\ln 4}{\ln 3}$$，故 $$a = \frac{2 \ln 3}{\ln 4}$$
$$4^{-a} = e^{-a \ln 4} = e^{-2 \ln 3} = e^{\ln 3^{-2}} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$$
选项 B 符合。
4. 已知 $$f(x) = 2^{|x|}$$，比较 $$a = f(\log_{0.5} 2.2)$$，$$b = f(\log_2 0.5)$$，$$c = f(0.5)$$ 的大小。
解析：
首先计算各参数：
$$\log_{0.5} 2.2 = \frac{\ln 2.2}{\ln 0.5} = -\log_2 2.2$$，故 $$|a| = 2^{-\log_2 2.2} = 2^{\log_2 2.2^{-1}} = 2.2^{-1} \approx 0.4545$$
$$\log_2 0.5 = -1$$，故 $$|b| = 2^{|-1|} = 2^1 = 2$$
$$c = 2^{|0.5|} = 2^{0.5} = \sqrt{2} \approx 1.414$$
因此 $$a \approx 0.4545$$，$$b = 2$$，$$c \approx 1.414$$，即 $$a < c < b$$
选项 C 符合。
5. 方程 $$\ln^2 x - \ln x - 2 = 0$$ 的两根为 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$，求 $$\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha$$。
解析：
设 $$t = \ln x$$，方程化为 $$t^2 - t - 2 = 0$$，解得 $$t = 2$$ 或 $$t = -1$$
故 $$\alpha = e^2$$，$$\beta = e^{-1}$$，或反之。
$$\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \frac{\ln \beta}{\ln \alpha} + \frac{\ln \alpha}{\ln \beta} = \frac{-1}{2} + \frac{2}{-1} = -\frac{1}{2} - 2 = -\frac{5}{2}$$
选项 D 符合。
6. 计算 $$(\log_5 4) \cdot (\log_{16} 25)$$。
解析：
利用换底公式和对数性质：
$$\log_5 4 = \frac{\lg 4}{\lg 5}$$，$$\log_{16} 25 = \frac{\lg 25}{\lg 16} = \frac{2 \lg 5}{4 \lg 2} = \frac{\lg 5}{2 \lg 2}$$
故乘积为 $$\frac{\lg 4}{\lg 5} \cdot \frac{\lg 5}{2 \lg 2} = \frac{2 \lg 2}{2 \lg 2} = 1$$
选项 B 符合。
7. 计算 $$(\log_3 2 + \log_3 5) \cdot \lg 9$$。
解析：
$$\log_3 2 + \log_3 5 = \log_3 (2 \times 5) = \log_3 10$$
$$\lg 9 = \lg 3^2 = 2 \lg 3$$
故原式为 $$\log_3 10 \cdot 2 \lg 3 = 2 \cdot \frac{\lg 10}{\lg 3} \cdot \lg 3 = 2 \lg 10 = 2$$
选项 B 符合。
8. 若 $$\log_m 0.5 > \log_n 0.5 > 0$$，比较 $$m$$ 和 $$n$$ 的大小。
解析：
由 $$\log_m 0.5 > \log_n 0.5 > 0$$，利用换底公式：
$$\frac{\lg 0.5}{\lg m} > \frac{\lg 0.5}{\lg n} > 0$$
因为 $$\lg 0.5 < 0$$，所以 $$\lg m < \lg n < 0$$，即 $$m < n < 1$$
选项 A 符合。
9. 若实数 $$a, b$$ 满足 $$2^a = 3^b = 36$$，求 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$。
解析：
由 $$2^a = 36$$，得 $$a = \log_2 36 = \frac{\lg 36}{\lg 2}$$
由 $$3^b = 36$$，得 $$b = \log_3 36 = \frac{\lg 36}{\lg 3}$$
故 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{\lg 2}{\lg 36} + \frac{\lg 3}{\lg 36} = \frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 36} = \frac{\lg 6}{\lg 36} = \frac{\lg 6}{2 \lg 6} = \frac{1}{2}$$
选项 A 符合。
10. 解方程 $$\log_5 \frac{1}{3} \cdot \log_3 6 \cdot \log_6 x = 2$$。
解析：
利用换底公式的链式性质：
$$\log_5 \frac{1}{3} \cdot \log_3 6 \cdot \log_6 x = \frac{\lg \frac{1}{3}}{\lg 5} \cdot \frac{\lg 6}{\lg 3} \cdot \frac{\lg x}{\lg 6} = \frac{-\lg 3}{\lg 5} \cdot \frac{\lg x}{\lg 3} = -\frac{\lg x}{\lg 5} = -\log_5 x$$
故方程化为 $$-\log_5 x = 2$$，即 $$\log_5 x = -2$$，解得 $$x = 5^{-2} = \frac{1}{25}$$
选项 D 符合。