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正确率60.0%已知$$\operatorname{l o g}_{2} 3=m， ~ \operatorname{l o g}_{3} 7=n，$$则$$\operatorname{l o g}_{4 2} 5 6$$用$${{m}{，}{n}}$$表示为（）
C
A.$$\frac{m n+3} {m n+1}$$
B.$$\frac{m+n+3} {2 m+n+1}$$
C.$$\frac{m n+3} {m n+m+1}$$
D.$$\frac{m n+3} {m n-m+1}$$
2、['指数与对数的关系'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%已知$$3^{m}=2，$$则$${{m}{{l}{o}{g}_{4}}{3}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$${{−}{2}}$$
3、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%设$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$都是正数，且$$\left( \frac{1} {4} \right)^{a}=\left( \frac{1} {6} \right)^{b}=\left( \frac{1} {9} \right)^{c}$$，则（）
D
A.$$\frac{1} {a}+\frac{1} {b}=\frac{1} {c}$$
B.$$\frac{1} {b}+\frac{1} {c}=\frac{1} {a}$$
C.$$\frac{1} {a}+\frac{1} {b}=\frac{2} {c}$$
D.$$\frac1 a+\frac1 c=\frac2 b$$
4、['对数方程与对数不等式的解法'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%当$${{a}{>}{1}}$$时，不等式$$l o g_{a} ( 4-x ) >-l o g_{\frac{1} {a}} \， x$$的解集是（）
A
A.$$( {\bf0}， ~ {\bf2} )$$
B.$$( \ 0， \ 4 )$$
C.$$( \ 2， \ 4 )$$
D.$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$
5、['指数与对数的关系'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%设$${{2}^{a}{=}{{2}{7}}}$$，则$${{l}{o}{{g}_{3}}{2}}$$等于（）
D
A.$${{3}{a}}$$
B.$${{a}^{3}}$$
C.$$\frac{1} {3 a}$$
D.$$\frac{3} {a}$$
6、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '对数的运算性质'， '幂指对综合比较大小'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%$$a=\operatorname{l o g}_{3} 2， \， \， \， b=\operatorname{l n} 2， \， \， \， c=5^{-\frac{1} {2}}$$，则（）
D
A.$$a < b < c$$
B.$$b < c < a$$
C.$$c < b < a$$
D.$$c < a < b$$
7、['对数方程与对数不等式的解法'， '指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%已知$$3^{a}=2^{b}=k$$，且$$\frac{1} {a}+\frac{1} {b}=2，$$则$${{k}}$$的值是（）
B
A.$${{3}{6}}$$
B.$${\sqrt {6}}$$
C.$${{2}{5}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
8、['对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%$$\operatorname{l o g}_{2} 3 \cdot\operatorname{l o g}_{3} 5+\operatorname{l o g}_{2} \frac4 5$$的值为
C
A.$$\frac{5} {2}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
9、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%已知$$4^{a}=7， \ 6^{b}=8$$，则$$l o g_{1 2} \， 2 1$$可以用$${{a}{，}{b}}$$表示为（）
A
A.$$\frac{3-b+2 a b} {3+b}$$
B.$$\frac{2 a+b-a b} {3+b}$$
C.$$\frac{3-b+2 a b} {4-2 b}$$
D.$$\frac{2 a+b-a b} {4-2 b}$$
10、['对数的换底公式及其推论']正确率80.0%已知$$\operatorname{l n} 2=a$$，$$\operatorname{l n} \， 3=b$$，则$$\operatorname{l o g}_{3} 2$$用含$${{a}}$$，$${{b}}$$的代数式表示为（）
B
A.$${{a}{−}{b}}$$
B.$$\frac{a} {b}$$
C.$${{a}{b}}$$
D.$${{a}{+}{b}}$$
1. 首先利用换底公式将 $$\log_{42} 56$$ 转换为以 2 为底的对数：
$$\log_{42} 56 = \frac{\log_2 56}{\log_2 42}$$
分解分子和分母：
$$\log_2 56 = \log_2 (8 \times 7) = 3 + \log_2 7$$
$$\log_2 42 = \log_2 (2 \times 3 \times 7) = 1 + \log_2 3 + \log_2 7$$
已知 $$\log_2 3 = m$$，而 $$\log_2 7$$ 可以通过 $$\log_3 7 = n$$ 和换底公式得到：
$$\log_2 7 = \log_2 3 \times \log_3 7 = m n$$
代入得：
$$\log_{42} 56 = \frac{3 + m n}{1 + m + m n} = \frac{m n + 3}{m n + m + 1}$$
正确答案是 C。
2. 已知 $$3^m = 2$$，取对数得：
$$m = \log_3 2$$
题目要求计算 $$m \log_4 3$$：
$$m \log_4 3 = \log_3 2 \times \log_4 3$$
利用换底公式：
$$\log_4 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3}{2}$$
因此：
$$m \log_4 3 = \log_3 2 \times \frac{\log_2 3}{2} = \frac{1}{2}$$
正确答案是 A。
3. 设 $$\left( \frac{1}{4} \right)^a = \left( \frac{1}{6} \right)^b = \left( \frac{1}{9} \right)^c = k$$，取自然对数得：
$$a \ln \frac{1}{4} = b \ln \frac{1}{6} = c \ln \frac{1}{9} = \ln k$$
即：
$$-a \ln 4 = -b \ln 6 = -c \ln 9 = \ln k$$
设 $$-a \ln 4 = -b \ln 6 = -c \ln 9 = t$$，则：
$$\frac{1}{a} = -\frac{\ln 4}{t}, \quad \frac{1}{b} = -\frac{\ln 6}{t}, \quad \frac{1}{c} = -\frac{\ln 9}{t}$$
计算 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$：
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -\frac{\ln 4 + \ln 6}{t} = -\frac{\ln 24}{t}$$
而 $$\frac{1}{c} = -\frac{\ln 9}{t}$$，显然不成立。但注意到 $$\ln 24 \neq 2 \ln 9$$，进一步验证：
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -\frac{\ln 4 + \ln 6}{t} = -\frac{\ln (4 \times 6)}{t} = -\frac{\ln 24}{t}$$
$$\frac{2}{c} = -\frac{2 \ln 9}{t} = -\frac{\ln 81}{t}$$
也不成立。重新考虑对数关系：
由 $$4^a = 6^b = 9^c$$，取对数得：
$$a \ln 4 = b \ln 6 = c \ln 9$$
设 $$a \ln 4 = b \ln 6 = c \ln 9 = t$$，则：
$$\frac{1}{a} = \frac{\ln 4}{t}, \quad \frac{1}{b} = \frac{\ln 6}{t}, \quad \frac{1}{c} = \frac{\ln 9}{t}$$
计算 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$$：
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{\ln 4 + \ln 6}{t} = \frac{\ln 24}{t}$$
而 $$\frac{1}{c} = \frac{\ln 9}{t}$$，显然 $$\ln 24 \neq \ln 9$$。但注意到：
$$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{\ln 6 + \ln 9}{t} = \frac{\ln 54}{t}$$
$$\frac{1}{a} = \frac{\ln 4}{t}$$，也不成立。进一步观察：
由 $$4^a = 9^c$$ 得 $$2^{2a} = 3^{2c}$$，即 $$2^a = 3^c$$，取对数得 $$a \ln 2 = c \ln 3$$，即 $$\frac{1}{c} = \frac{\ln 3}{a \ln 2}$$。
由 $$6^b = 9^c$$ 得 $$2^b \times 3^b = 3^{2c}$$，即 $$2^b = 3^{2c - b}$$，取对数得 $$b \ln 2 = (2c - b) \ln 3$$。
结合 $$a \ln 2 = c \ln 3$$，解得 $$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a}$$。
正确答案是 B。
4. 不等式 $$\log_a (4 - x) > -\log_{\frac{1}{a}} x$$ 可以化简为：
$$\log_a (4 - x) > \log_a x$$
因为 $$a > 1$$，对数函数单调递增，因此：
$$4 - x > x \quad \Rightarrow \quad x < 2$$
同时，定义域要求 $$4 - x > 0$$ 且 $$x > 0$$，即 $$0 < x < 4$$。
综合得 $$0 < x < 2$$。
正确答案是 A。
5. 题目应为 $$2^a = 27$$，求 $$\log_3 2$$。
由 $$2^a = 27$$ 得 $$a = \log_2 27 = 3 \log_2 3$$。
因此 $$\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{3}{a}$$。
正确答案是 D。
6. 比较 $$a = \log_3 2$$，$$b = \ln 2$$，$$c = 5^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$：
估算值：
$$a \approx 0.6309$$，$$b \approx 0.6931$$，$$c \approx 0.4472$$。
因此 $$c < a < b$$。
正确答案是 D。
7. 设 $$3^a = 2^b = k$$，则 $$a = \log_3 k$$，$$b = \log_2 k$$。
代入 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$$ 得：
$$\frac{1}{\log_3 k} + \frac{1}{\log_2 k} = 2$$
利用换底公式：
$$\log_k 3 + \log_k 2 = 2 \quad \Rightarrow \quad \log_k 6 = 2$$
因此 $$k^2 = 6$$，即 $$k = \sqrt{6}$$。
正确答案是 B。
8. 计算 $$\log_2 3 \cdot \log_3 5 + \log_2 \frac{4}{5}}$$：
利用换底公式：
$$\log_2 3 \cdot \log_3 5 = \log_2 5$$
因此原式为：
$$\log_2 5 + \log_2 \frac{4}{5}} = \log_2 \left(5 \times \frac{4}{5}\right) = \log_2 4 = 2$$
正确答案是 C。
9. 已知 $$4^a = 7$$ 和 $$6^b = 8$$，求 $$\log_{12} 21$$：
由 $$4^a = 7$$ 得 $$a = \log_4 7$$，即 $$\log_2 7 = 2a$$。
由 $$6^b = 8$$ 得 $$b = \log_6 8$$，即 $$\log_2 8 = b \log_2 6$$，因此 $$3 = b (1 + \log_2 3)$$，即 $$\log_2 3 = \frac{3}{b} - 1$$。
计算 $$\log_{12} 21$$：
$$\log_{12} 21 = \frac{\log_2 21}{\log_2 12} = \frac{\log_2 3 + \log_2 7}{2 + \log_2 3}} = \frac{\left(\frac{3}{b} - 1\right) + 2a}{2 + \left(\frac{3}{b} - 1\right)}} = \frac{\frac{3}{b} - 1 + 2a}{1 + \frac{3}{b}}} = \frac{3 - b + 2a b}{b + 3}}$$
正确答案是 A。
10. 已知 $$\ln 2 = a$$，$$\ln 3 = b$$，求 $$\log_3 2$$：
利用换底公式：
$$\log_3 2 = \frac{\ln 2}{\ln 3} = \frac{a}{b}$$
正确答案是 B。