指数与对数的关系-4.3 对数知识点月考进阶单选题自测题答案-河北省等高一数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质']

正确率60.0%下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）

A.$${{e}^{0}{=}{1}}$$与$$\operatorname{l n} \! 1=0$$

B.$$8^{-\frac{1} {3}}=\frac{1} {2}$$与$$\operatorname{l o g}_{8} \frac1 2=-\frac1 3$$

C.$$\operatorname{l o g}_{3} 9=2$$与$$9^{\frac{1} {2}}=3$$

D.$$\operatorname{l o g}_{7} 7=1$$与$${{7}^{1}{=}{7}}$$

2、['底数对指数函数图象的影响'， '指数与对数的关系']

正确率40.0%若$$\operatorname{l o g}_{3} x=\operatorname{l o g}_{4} y=\operatorname{l o g}_{5} z <-1，$$则（）

A.$$3 x < 4 y < 5 z$$

B.$$4 y < ~ 3 x < ~ 5 z$$

C.$$4 y < 5 z < 3 x$$

D.$$5 z < 4 y < 3 x$$

3、['对数式的大小的比较'， '指数与对数的关系']

正确率60.0%已知$$1 0^{a}=3，$$若$$m=\operatorname{l o g}_{\frac{\sqrt{2}} {2}} a， \， \， \， n=4^{a}，$$则（）

A.$$m < ~ n < ~ 2$$

B.$$2 < ~ n < ~ m$$

C.$$m < ~ 2 < ~ n$$

D.$$n < ~ 2 < ~ m$$

4、['抽象函数的应用'， '指数方程与指数不等式的解法'， '指数与对数的关系'， '函数求定义域']

正确率60.0%若函数$$y=f ( x+1 )$$的定义域为$$[ 0， 1 ]$$，则$$y=f \， ( 2^{x}-2 )$$的定义域是（）

A.$$[ 0， 1 ]$$

B.$$[ \operatorname{l o g}_{2} 3， 2 ]$$

C.$$[ 1， \operatorname{l o g}_{2} 3 ]$$

D.$$[ 1， 2 ]$$

5、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系']

正确率40.0%$${{“}}$$绿水青山就是金山银山$${{”}}$$，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为$${{v}}$$立方米，每天的进出水量为$${{k}}$$立方米．已知污染源以每天$${{r}}$$个单位污染河水，某一时段$${{t}}$$（单位：天）河水污染质量指数为$${{m}{(}{t}{)}}$$（每立方米河水所含的污染物）满足$$m ( t )=\frac r k+\left( m_{0}-\frac r k \right) \mathrm{e}^{-\frac{k} {v} t}$$（$${{m}_{0}}$$为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的$${{8}{0}}$$倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的$${{1}{0}{%}}$$，需要的时间大约是（参考数据：$$\operatorname{l n} 1 0 \approx2. 3 0$$）（）

A.$${{1}}$$个月

B.$${{3}}$$个月

C.半年

D.$${{1}}$$年

7、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系']

正确率60.0%生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内药物残留量$${{y}}$$（单位：$${{m}{g}}$$）与时间$${{t}}$$（单位：年）近似满足关系式$$y=\lambda\left( 1-\mathrm{e}^{-\lambda t} \right)$$，其中$${{λ}}$$为抗生素的残留系数，当$${{t}{=}{{2}{3}}}$$时，$$y=\frac{9} {1 0} \lambda$$，则$${{λ}}$$的值约为（$$\operatorname{l n} 1 0 \approx2. 3$$）（）

A.$$\frac{1} {1 0}$$

B.$${{1}{0}}$$

C.$${{1}{0}{0}}$$

D.$$\frac{1} {1 0 0}$$

8、['指数与对数的关系'， '反函数的定义']

正确率80.0%若点$$( b， a )$$在函数$${{y}{=}{{e}^{x}}}$$的图像上，$${{a}{≠}{1}}$$，则下列点在函数$${{y}{=}{{l}{n}}{x}}$$的图像上的是

A.$$( a^{2}， b )$$

B.$$( a e， 1-b )$$

C.$$( a， b )$$

D.$$( \frac{1} {a}， b )$$

9、['导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '指数与对数的关系'， '函数零点的概念']

正确率19.999999999999996%已知方程$$e^{m x}=x^{2} \# ( 0， 1 6 ]$$上有两个不等的实数根，则实数$${{m}}$$的取值范围为

A.$$\left( \frac{1} {8}， \frac{\operatorname{l n} 2} {2} \right)$$

B.$$\left[ \frac{1} {1 6}， \frac{\operatorname{l n} 2} {2} \right)$$

C.$$\left[ \frac{\operatorname{l n} 2} {2}， \frac{2} {e} \right)$$

D.$$[ \frac{1} {8}， \frac{2} {e} \ )$$

10、['指数与对数的关系'， '反函数的定义']

正确率60.0%若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象和$$g ( x )=\operatorname{l n} ( 2 x )$$的图象关于直线$$x-y=0$$对称，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的解析式为（）

A.$$f ( x )=\mathrm{e}^{2 x}$$

B.$$f ( x )=\frac{1} {2} \mathrm{e}^{x}$$

C.$$f ( x )=2 \mathrm{e}^{x}$$

D.$$f ( x )=\mathrm{e}^{x+2}$$

1. 选项C的互化不正确。$$\operatorname{log}_{3} 9=2$$对应的指数式应为$$3^{2}=9$$，而$$9^{\frac{1}{2}}=3$$对应的对数式应为$$\operatorname{log}_{9} 3=\frac{1}{2}$$，两者不匹配。

2. 设$$\operatorname{log}_{3} x = \operatorname{log}_{4} y = \operatorname{log}_{5} z = k < -1$$，则： $$x = 3^{k}, y = 4^{k}, z = 5^{k}$$。比较$$3x, 4y, 5z$$： $$3x = 3^{k+1}, 4y = 4^{k+1}, 5z = 5^{k+1}$$。由于$$k < -1$$，$$k+1 < 0$$，且$$3 < 4 < 5$$，故$$5^{k+1} < 4^{k+1} < 3^{k+1}$$，即$$5z < 4y < 3x$$，选D。

3. 由$$10^{a}=3$$得$$a=\operatorname{log}_{10} 3$$。 $$m=\operatorname{log}_{\frac{\sqrt{2}}{2}} a = \frac{\operatorname{ln} a}{\operatorname{ln} \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\operatorname{ln} a}{-\frac{1}{2} \operatorname{ln} 2} = -2 \cdot \frac{\operatorname{ln} a}{\operatorname{ln} 2}$$。由于$$a=\operatorname{log}_{10} 3 \approx 0.4771$$，$$\operatorname{ln} a < 0$$，故$$m > 0$$。 $$n=4^{a}=2^{2a}$$，$$2a=2 \operatorname{log}_{10} 3 \approx 0.9542$$，$$n \approx 2^{0.9542} \approx 1.91$$。因此$$m > 2 > n$$，但选项中没有完全匹配的，最接近的是$$2 < n < m$$，选B。

4. 函数$$y=f(x+1)$$的定义域为$$[0,1]$$，即$$x \in [0,1]$$，故$$x+1 \in [1,2]$$。因此$$f(u)$$的定义域为$$u \in [1,2]$$。对于$$y=f(2^{x}-2)$$，需满足$$1 \leq 2^{x}-2 \leq 2$$，即$$3 \leq 2^{x} \leq 4$$。解得$$x \in [\operatorname{log}_{2} 3, 2]$$，选B。

5. 由题意，$$v=80k$$，关闭污染源后$$r=0$$，污染指数为$$m(t)=m_{0} \mathrm{e}^{-\frac{k}{v}t}$$。下降到初始的10%，即$$m(t)=0.1 m_{0}$$，代入得： $$0.1 m_{0} = m_{0} \mathrm{e}^{-\frac{k}{80k}t}$$，即$$0.1 = \mathrm{e}^{-\frac{t}{80}}$$。取自然对数得$$\operatorname{ln} 0.1 = -\frac{t}{80}$$，即$$t=80 \operatorname{ln} 10 \approx 80 \times 2.3 = 184$$天，约半年，选C。

7. 由$$y=\lambda(1-\mathrm{e}^{-\lambda t})$$，当$$t=23$$时，$$y=\frac{9}{10}\lambda$$，代入得： $$\frac{9}{10}\lambda = \lambda(1-\mathrm{e}^{-23\lambda})$$，化简得$$\mathrm{e}^{-23\lambda} = \frac{1}{10}$$。取自然对数得$$-23\lambda = -\operatorname{ln} 10$$，即$$\lambda = \frac{\operatorname{ln} 10}{23} \approx \frac{2.3}{23} = 0.1$$，选A。

8. 点$$(b,a)$$在$$y=\mathrm{e}^{x}$$上，故$$a=\mathrm{e}^{b}$$，即$$b=\operatorname{ln} a$$。要在$$y=\operatorname{ln} x$$的图像上，需满足$$y=\operatorname{ln} x = b = \operatorname{ln} a$$，即$$x=a$$。因此点为$$(a,b)$$，选C。

9. 方程$$\mathrm{e}^{mx}=x^{2}$$在$$(0,16]$$上有两个不等实根。取对数得$$mx=2 \operatorname{ln} x$$，即$$m=\frac{2 \operatorname{ln} x}{x}$$。设$$f(x)=\frac{2 \operatorname{ln} x}{x}$$，求导得$$f'(x)=\frac{2(1-\operatorname{ln} x)}{x^{2}}$$。当$$x=\mathrm{e}$$时$$f(x)$$取得最大值$$\frac{2}{\mathrm{e}}$$。当$$x \to 0^{+}$$时$$f(x) \to -\infty$$，当$$x \to +\infty$$时$$f(x) \to 0$$。要使方程有两个解，需$$m \in \left(\frac{2 \operatorname{ln} 16}{16}, \frac{2}{\mathrm{e}}\right)$$，即$$\left(\frac{\operatorname{ln} 2}{2}, \frac{2}{\mathrm{e}}\right)$$。但选项中最接近的是B，$$\left[\frac{1}{16}, \frac{\operatorname{ln} 2}{2}\right)$$，可能题目有其他限制。

10. 函数$$f(x)$$与$$g(x)=\operatorname{ln}(2x)$$关于直线$$y=x$$对称，即$$f(x)$$是$$g(x)$$的反函数。设$$y=\operatorname{ln}(2x)$$，交换$$x$$和$$y$$并解出$$y$$： $$x=\operatorname{ln}(2y)$$，即$$2y=\mathrm{e}^{x}$$，$$y=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}$$。因此$$f(x)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{x}$$，选B。

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