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正确率60.0%若$${{a}}$$满足$$a+\mathrm{l g} a=4， \， \， b$$满足$$b+1 0^{b}=4，$$函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} x^{2}+( a+b ) x+2， \; \; x \leqslant0，} \\ {} & {{} 2， \; \; x > 0.} \\ \end{aligned} \right.$$则关于$${{x}}$$的方程$$f ( x )=x$$的解的个数是（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
2、['指数与对数的关系']正确率80.0%已知$$2^{x}=3，$$则$${{x}{=}}$$（）
A
A.$$\operatorname{l o g}_{2} 3$$
B.$$\operatorname{l o g}_{3} 2$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${^{3}\sqrt {2}}$$
3、['指数与对数的关系'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%若$$\operatorname{l o g}_{3} b \cdot\operatorname{l o g}_{5} 3=3，$$则$${{b}{=}}$$（）
D
A.$${{6}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{3}^{5}}$$
D.$${{5}^{3}}$$
4、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%已知$$\operatorname{l o g}_{3} 2=a， 3^{b}=5，$$则$$\operatorname{l o g}_{1 5} \sqrt{3 0}$$用$${{a}{，}{b}}$$表示为（）
B
A.$$\frac{1+a+b} {1+b}$$
B.$$\frac{1+a+b} {2 ( 1+b )}$$
C.$$\frac{a+b} {1+b}$$
D.$$\frac{a+b} {2 ( 1+b )}$$
5、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知$$2^{x}=3^{y}=3 6$$，则$$\frac{1} {x}+\frac{1} {y}=$$
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {6}$$
D.$$\frac{1} {3 6}$$
6、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '等差数列的性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%已知$$2^{a}=3^{b}=m$$，且$$a， ~ a b， ~ b$$成等差数列，$${{a}{，}{b}}$$为正数，则$${{m}{=}{（}}$$）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${{6}}$$
7、['指数与对数的关系'， '等差数列的基本量'， '等差数列的性质']正确率40.0%已知数列$$\{a_{n} \}， ~ \{b_{n} \}$$满足$$b_{n}=l o g_{2} a_{n} \， \，， \， \， n \in N^{+}$$，其中$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$是等差数列且$$a_{1 0} a_{2 0 0 9}=4$$，则$$b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots+b_{2 0 1 8}=( \textit{} )$$
A
A.$${{2}{0}{1}{8}}$$
B.$$\operatorname{l o g}_{2} 2 0 1 8$$
C.$${{2}{0}{1}{9}}$$
D.$$\frac{2 0 1 9} {2}$$
8、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '函数图象的识别'， '指数与对数的关系']正确率60.0%在同一坐标系中，函数$$f ( x )=a^{x}$$与函数$$g ( x )=\operatorname{l o g}_{a} x$$的图象可以是$${{(}{)}}$$
B
A.
B.
C.
D.
正确率60.0%在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述$${{.}}$$两颗星的星等与亮度满足$$m_{2}-m_{1}={\frac{5} {2}} \mathrm{l g} \， {\frac{E_{1}} {E_{2}}}$$，其中星等为$${{m}_{k}}$$的星的亮度为$${{E}_{k}}$$（$$k=1， 2$$）.已知太阳的星等是$${{–}{{2}{6}{.}{7}}}$$，天狼星的星等是$${{–}{{1}{.}{4}{5}}}$$，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）
A
A.$${{1}{0}}$$ $${{1}{0}{.}{1}}$$
B.$${{1}{0}{.}{1}}$$
C.$${{l}{g}{{1}{0}{.}{1}}}$$
D. $$1 0^{-1 0. 1}$$
10、['函数的新定义问题'， '指数与对数的关系']正确率40.0%已知$$a， b \in( 0， 1 ) \cup( 1，+\infty)$$，定义运算：$$a \Theta b=\left\{\begin{matrix} {\operatorname{l o g}_{a} b， a \leq b，} \\ {\operatorname{l o g}_{b} a， a > b，} \\ \end{matrix} \right.$$则$$8 \Theta( 2 \Theta4 )=$$（）
D
A.$${{−}{3}}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\operatorname{l o g}_{3} 4$$
D.$${{3}}$$
1. 首先解方程 $$a + \lg a = 4$$ 和 $$b + 10^b = 4$$。
设 $$y_1 = a + \lg a - 4$$，$$y_2 = b + 10^b - 4$$。通过观察或数值逼近法，可以找到 $$a \approx 3.6$$ 和 $$b \approx 0.4$$，使得 $$a + b \approx 4$$。
函数 $$f(x)$$ 分为两部分：
1. 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = x^2 + (a+b)x + 2$$。代入 $$f(x) = x$$ 得 $$x^2 + (a+b-1)x + 2 = 0$$。
由于 $$a + b \approx 4$$，方程为 $$x^2 + 3x + 2 = 0$$，解得 $$x = -1$$ 和 $$x = -2$$。
2. 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = 2$$。方程 $$2 = x$$ 的解为 $$x = 2$$。
综上，方程 $$f(x) = x$$ 有 3 个解，答案为 $$C$$。
2. 解方程 $$2^x = 3$$，直接取对数得 $$x = \log_2 3$$，答案为 $$A$$。
3. 解方程 $$\log_3 b \cdot \log_5 3 = 3$$。
利用换底公式：$$\frac{\ln b}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 3}{\ln 5} = 3$$，化简得 $$\ln b = 3 \ln 5$$，即 $$b = 5^3$$，答案为 $$D$$。
4. 已知 $$\log_3 2 = a$$ 和 $$3^b = 5$$，求 $$\log_{15} \sqrt{30}$$。
首先，$$\log_{15} \sqrt{30} = \frac{1}{2} \log_{15} 30$$。
利用换底公式：$$\log_{15} 30 = \frac{\log_3 30}{\log_3 15} = \frac{1 + \log_3 2 + \log_3 5}{1 + \log_3 5}$$。
代入 $$\log_3 2 = a$$ 和 $$\log_3 5 = b$$，得到 $$\frac{1 + a + b}{1 + b}$$。
因此，$$\log_{15} \sqrt{30} = \frac{1 + a + b}{2(1 + b)}$$，答案为 $$B$$。
5. 已知 $$2^x = 3^y = 36$$，求 $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$$。
取对数得 $$x = \log_2 36$$，$$y = \log_3 36$$。
因此，$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \log_{36} 2 + \log_{36} 3 = \log_{36} 6 = \frac{1}{2}$$，答案为 $$A$$。
6. 已知 $$2^a = 3^b = m$$，且 $$a, ab, b$$ 成等差数列。
由等差数列性质得 $$2ab = a + b$$。
取对数得 $$a = \log_2 m$$，$$b = \log_3 m$$。
代入方程得 $$2 \log_2 m \cdot \log_3 m = \log_2 m + \log_3 m$$。
设 $$\log_2 m = t$$，则 $$\log_3 m = \frac{t}{\log_2 3}$$，化简后解得 $$t = 1$$，即 $$m = 2$$ 或 $$m = 3$$。
验证 $$m = \sqrt{6}$$ 满足条件，答案为 $$C$$。
7. 已知 $$b_n = \log_2 a_n$$ 且 $$\{b_n\}$$ 是等差数列，$$a_{10} a_{2009} = 4$$。
由 $$a_n = 2^{b_n}$$，得 $$a_{10} a_{2009} = 2^{b_{10} + b_{2009}} = 4$$，即 $$b_{10} + b_{2009} = 2$$。
由于 $$\{b_n\}$$ 是等差数列，$$b_1 + b_{2018} = b_{10} + b_{2009} = 2$$。
因此，$$S_{2018} = \frac{2018}{2} (b_1 + b_{2018}) = 2018$$，答案为 $$A$$。
8. 函数 $$f(x) = a^x$$ 与 $$g(x) = \log_a x$$ 的图像。
当 $$a > 1$$ 时，$$f(x)$$ 递增，$$g(x)$$ 递增，且两者互为反函数，对称于直线 $$y = x$$。
当 $$0 < a < 1$$ 时，$$f(x)$$ 递减，$$g(x)$$ 递减。
观察选项，只有 $$C$$ 符合 $$a > 1$$ 的情况，答案为 $$C$$。
9. 星等与亮度关系为 $$m_2 - m_1 = \frac{5}{2} \lg \frac{E_1}{E_2}$$。
已知太阳星等 $$m_1 = -26.7$$，天狼星等 $$m_2 = -1.45$$。
代入得 $$-1.45 - (-26.7) = \frac{5}{2} \lg \frac{E_1}{E_2}$$，即 $$25.25 = \frac{5}{2} \lg \frac{E_1}{E_2}$$。
解得 $$\lg \frac{E_1}{E_2} = 10.1$$，即 $$\frac{E_1}{E_2} = 10^{10.1}$$，答案为 $$A$$。
10. 定义运算 $$a \Theta b$$，求 $$8 \Theta (2 \Theta 4)$$。
先计算 $$2 \Theta 4$$：由于 $$2 \leq 4$$，$$2 \Theta 4 = \log_2 4 = 2$$。
再计算 $$8 \Theta 2$$：由于 $$8 > 2$$，$$8 \Theta 2 = \log_2 8 = 3$$，答案为 $$D$$。