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正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {\mathrm{e}^{x+\operatorname{l n} 2}， \enspace x \leqslant0，} \\ {f ( x-3 )， \enspace x > 0，} \\ \end{aligned} \right.$$则$$f ( 2 0 2 1 )=$$（）
A
A.$$\frac{2} {e}$$
B.$${{2}{e}}$$
C.$$\frac2 {\mathrm{e}^{2}}$$
D.$${{2}{{e}^{2}}}$$
2、['等比数列的性质'， '对数恒等式'， '对数的运算性质']正确率60.0%己知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的各项均为正数，若$$a_{1 0 0 8} a_{1 0 1 1}+a_{1 0 0 9} a_{1 0 1 0}=6$$，则$$\operatorname{l o g}_{3} a_{1}+\operatorname{l o g}_{3} a_{2}+\operatorname{l o g}_{3} a_{3}+\cdots+\operatorname{l o g}_{3} a_{2 0 1 8}=$$
A
A.$${{1}{0}{0}{9}}$$
B.$${{1}{0}{1}{0}}$$
C.$${{2}{0}{1}{8}}$$
D.$${{2}{0}{2}{0}}$$
4、['函数奇偶性的应用'， '对数恒等式'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数，且当$${{x}{>}{0}}$$时，$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{2}^{x}}}$$，则$$f ( \operatorname{l o g}_{4} \frac{1} {9} )$$的值为（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{9}}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
5、['函数图象的对称变换'， '反函数的性质'， '对数恒等式'， '函数求解析式']正确率40.0%设函数$$y=f ( x )$$的图像与$$y=2^{x+a}$$的图像关于直线$${{y}{=}{−}{x}}$$对称，且$$f (-2 )+f (-4 )=1$$，则$${{a}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
6、['函数奇偶性的应用'， '函数的周期性'， '对数恒等式']正确率60.0%已知奇函数$${{f}{（}{x}{）}}$$对任意实数$${{x}}$$满足$$f \left( \begin{matrix} {x+4} \\ \end{matrix} \right)=f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)$$，当$$x \in[ 0， ~ 2 ]， ~ f ( x ) ~=2^{x}-1$$，则$$f ( l o g_{2} 9 ) ~=~ ($$）
B
A.$$\begin{array} {l l} {7} \\ {\frac{7} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$- \frac{7} {9}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{9} {7}} \\ \end{array}$$
D.$$- \frac{9} {7}$$
7、['对数恒等式'， '对数的运算性质'， '常用对数与自然对数']正确率60.0%实数$$9^{{\frac{3} {2}}}-3^{l o g_{3} 2} \cdot l o g_{2} {\frac{1} {4}}+l g 4+2 l g 5$$的值为（）
D
A.$${{2}{5}}$$
B.$${{2}{8}}$$
C.$${{3}{2}}$$
D.$${{3}{3}}$$
8、['对数恒等式'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%计算：$$( l o g_{4} 3+l o g_{8} 3 ) \， ( l o g_{3} 2+l o g_{9} 2 )=\， \， ($$）
A
A.．$$\frac{5} {4}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{1}{5}}$$
9、['对数恒等式'， '对数的运算性质'， '分段函数求值']正确率80.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {\operatorname{l o g}_{2} x， x > 0} \\ {1 0^{-x}， x \leq0} \\ \end{matrix} \right.$$，则$$f \left( 8 \right)+f \left( \operatorname{l g} \frac1 3 \right)$$等于
C
A.$${{8}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{6}}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
10、['指数与对数的关系'， '对数恒等式'， '对数的运算性质']正确率60.0%若$$1 0^{m}=\sqrt{2}， ~ 1 0^{n}=6$$，则$$n-2 m=$$（$${）}$$．
D
A.$${{−}{{l}{g}}{2}}$$
B.$${{l}{g}{2}}$$
C.$${{−}{{l}{g}}{3}}$$
D.$${{l}{g}{3}}$$
1. 解析：
- 当 $$x \leqslant 0$$ 时，$$f(x) = e^{x + \ln 2} = 2e^x$$。
- 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = f(x-3)$$，说明函数每3个单位重复一次。
- 2021除以3的余数为2（因为 $$2021 = 3 \times 673 + 2$$）。
- 因此，$$f(2021) = f(2)$$。
- 继续递推，$$f(2) = f(-1) = 2e^{-1} = \frac{2}{e}$$。
2. 解析：
- 设公比为 $$r$$，则 $$a_{1009} = a_{1008}r$$，$$a_{1010} = a_{1008}r^2$$，$$a_{1011} = a_{1008}r^3$$。
- 代入条件：$$a_{1008}a_{1011} + a_{1009}a_{1010} = a_{1008}^2 r^3 + a_{1008}^2 r^3 = 2a_{1008}^2 r^3 = 6$$，即 $$a_{1008}^2 r^3 = 3$$。
- 所求为 $$\log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \cdots + \log_3 a_{2018} = \log_3 (a_1 a_2 \cdots a_{2018})$$。
- 等比数列乘积公式：$$a_1 a_2 \cdots a_{2018} = a_1^{2018} r^{0+1+\cdots+2017} = a_1^{2018} r^{\frac{2017 \times 2018}{2}}$$。
- 利用 $$a_{1008} = a_1 r^{1007}$$，得 $$a_1^{2018} r^{\frac{2017 \times 2018}{2}} = (a_1 r^{1007})^{2018} r^{-1007 \times 2018 + \frac{2017 \times 2018}{2}} = a_{1008}^{2018} r^{-1007 \times 2018 + \frac{2017 \times 2018}{2}}$$。
- 化简后得到 $$3^{1009}$$，因此 $$\log_3 3^{1009} = 1009$$。
4. 解析：
- 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = 2^x$$。
- 因为 $$f(x)$$ 是偶函数，所以 $$f(-x) = f(x)$$。
- 计算 $$\log_4 \frac{1}{9} = \log_4 9^{-1} = -\log_4 9$$。
- 因此，$$f(\log_4 \frac{1}{9}) = f(-\log_4 9) = f(\log_4 9) = 2^{\log_4 9} = (4^{\log_4 9})^{1/2} = 9^{1/2} = 3$$。
5. 解析：
- 函数 $$y = f(x)$$ 与 $$y = 2^{x+a}$$ 关于直线 $$y = -x$$ 对称，说明 $$f(x)$$ 是 $$y = 2^{x+a}$$ 的反函数关于 $$y = -x$$ 的对称。
- 反函数为 $$x = 2^{y+a}$$，即 $$y = \log_2 x - a$$。
- 关于 $$y = -x$$ 对称后，$$f(x) = -(-\log_2 (-x) - a) = \log_2 (-x) + a$$。
- 代入 $$f(-2) + f(-4) = (\log_2 2 + a) + (\log_2 4 + a) = (1 + a) + (2 + a) = 3 + 2a = 1$$。
- 解得 $$a = -1$$。
6. 解析：
- 函数 $$f(x)$$ 是周期为4的奇函数。
- 计算 $$\log_2 9$$ 的范围：$$3 < \log_2 9 < 4$$。
- 利用周期性，$$f(\log_2 9) = f(\log_2 9 - 4) = f(\log_2 \frac{9}{16})$$。
- 因为 $$\log_2 \frac{9}{16} < 0$$，利用奇函数性质：$$f(\log_2 \frac{9}{16}) = -f(-\log_2 \frac{9}{16}) = -f(\log_2 \frac{16}{9})$$。
- $$\log_2 \frac{16}{9} \in [0, 2]$$，所以 $$f(\log_2 \frac{16}{9}) = 2^{\log_2 \frac{16}{9}} - 1 = \frac{16}{9} - 1 = \frac{7}{9}$$。
- 因此，$$f(\log_2 9) = -\frac{7}{9}$$。
7. 解析：
- $$9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27$$。
- $$3^{\log_3 2} = 2$$。
- $$\log_2 \frac{1}{4} = -2$$。
- $$\lg 4 + 2 \lg 5 = \lg 4 + \lg 25 = \lg 100 = 2$$。
- 总和为 $$27 - 2 \times (-2) + 2 = 27 + 4 + 2 = 33$$。
8. 解析：
- 设 $$A = \log_4 3 + \log_8 3 = \frac{1}{2} \log_2 3 + \frac{1}{3} \log_2 3 = \frac{5}{6} \log_2 3$$。
- 设 $$B = \log_3 2 + \log_9 2 = \log_3 2 + \frac{1}{2} \log_3 2 = \frac{3}{2} \log_3 2$$。
- 乘积 $$A \times B = \frac{5}{6} \log_2 3 \times \frac{3}{2} \log_3 2 = \frac{5}{4}$$。
9. 解析：
- $$f(8) = \log_2 8 = 3$$。
- $$\lg \frac{1}{3} = -\lg 3 < 0$$，所以 $$f(\lg \frac{1}{3}) = 10^{-(-\lg 3)} = 10^{\lg 3} = 3$$。
- 总和为 $$3 + 3 = 6$$。
10. 解析：
- $$10^m = \sqrt{2}$$，所以 $$m = \lg \sqrt{2} = \frac{1}{2} \lg 2$$。
- $$10^n = 6$$，所以 $$n = \lg 6 = \lg 2 + \lg 3$$。
- $$n - 2m = \lg 2 + \lg 3 - 2 \times \frac{1}{2} \lg 2 = \lg 3$$。