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正确率60.0%$${{P}{e}{u}{k}{e}{r}{t}}$$于$${{1}{8}{9}{8}}$$年提出蓄电池的容量$${{C}}$$(单位：$${{A}{h}{)}{，}}$$放电时间$${{t}}$$(单位：$${{h}{)}}$$与放电电流$${{I}}$$(单位：$${{A}{)}}$$之间关系的经验公式：$${{C}{=}{{I}^{n}}{⋅}{t}{，}}$$其中$${{n}}$$为$${{P}{e}{u}{k}{e}{r}{t}}$$常数.为了测算某蓄电池的$${{P}{e}{u}{k}{e}{r}{t}}$$常数$${{n}{，}}$$在电池容量不变的条件下，得到当放电电流$${{I}{=}{{2}{0}}{A}}$$时，放电时间$${{t}{=}{{2}{0}}{h}}$$；当放电电流$${{I}{=}{{3}{0}}{A}}$$时，放电时间$${{t}{=}{{1}{0}}{h}}$$.则该蓄电池的$${{P}{e}{u}{k}{e}{r}{t}}$$常数$${{n}}$$大约为（）(参考数据：$${{l}{g}{2}{≈}{{0}{.}{3}{0}}{，}{{l}{g}}{3}{≈}{{0}{.}{4}{8}}{)}}$$
B
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\frac{5} {3}$$
C.$$\frac{8} {2}$$
D.$${{2}}$$
2、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度.已知某种鱼失去的新鲜度$${{h}}$$与其出水后时间$${{t}}$$(分钟)满足的函数关系式为$${{h}{=}{m}{⋅}{{a}^{t}}}$$.若出水后$${{1}{0}}$$分钟，这种鱼失去的新鲜度为$${{1}{0}{%}{，}}$$出水后$${{2}{0}}$$分钟，这种鱼失去的新鲜度为$${{2}{0}{%}}$$.那么若不及时处理，打上来的这种鱼失去全部新鲜度所需的时间约为（）$${{(}{{l}{g}}{2}{≈}{{0}{.}{3}}{)}}$$
B
A.$${{3}{3}}$$分钟
B.$${{4}{3}}$$分钟
C.$${{5}{0}}$$分钟
D.$${{5}{6}}$$分钟
3、['指数与对数的关系'， '特殊角的三角函数值'， '分段函数求值']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {\operatorname{s i n} \frac{\pi x} {6}， x} & {{} \leqslant0} \\ {\operatorname{l o g}_{1} x， x} & {{} > 0} \\ {\frac{1} {3}} \\ \end{aligned} \right.$$，则$${{f}{(}{f}{(}{9}{)}{)}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
4、['指数与对数的关系'， '对数恒等式'， '对数的运算性质']正确率60.0%$${{l}{g}{1}{+}{{l}{g}}{{1}{0}}}$$$${{=}{(}{)}}$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{1}{1}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{0}}$$
5、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知$${{3}^{a}{=}{2}}$$，则$${{2}{l}{o}{{g}_{3}}{6}{−}{{l}{o}{g}_{3}}{8}}$$等于$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}{−}{a}}$$
B.$${{a}^{2}{−}{a}{+}{1}}$$
C.$${{2}{−}{5}{a}}$$
D.$${{a}^{2}{−}{3}{a}}$$
6、['实数指数幂的运算性质'， '指数与对数的关系'， '对数的定义']正确率60.0%设$${{m}{=}{l}{o}{{g}_{a}}{3}{，}{l}{o}{{g}_{a}}{π}{=}{n}}$$，则$$a^{2 m-n}=($$）
C
A.$$\frac{3} {\pi}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{9} {\pi}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {9}} \\ \end{array}$$
7、['对数方程与对数不等式的解法'， '对数的性质'， '指数与对数的关系']正确率60.0%若$$l o g_{2} [ l o g_{0. 5} \， \; ( \; l o g_{2} x ) \; \; ]=0$$，则$${{x}}$$的值是（）
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{1}}$$
8、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%已知非零实数$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$满足$${{3}^{a}{=}{{6}^{b}}{=}{{2}{4}^{c}}}$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$之间的关系是（）
D
A.$$\frac1 b=\frac1 a+\frac1 c$$
B.$${\frac{3} {b}}={\frac{1} {a}}+{\frac{2} {c}}$$
C.$$\frac{1} {b}=\frac{2} {a}+\frac{3} {c}$$
D.$$\frac{3} {b}=\frac{2} {a}+\frac{1} {c}$$
9、['指数与对数的关系'， '对数恒等式'， '对数的运算性质']正确率40.0%已知$${{a}{，}{b}}$$为正数，则下列正确的是（）
D
A.$$3^{l n a+l n b}=3^{l n a}+3^{l n b}$$
B.$$3^{\operatorname{l n} ( a+b )}=3^{l n a} \cdot3^{l n b}$$
C.$$3^{l n a \cdot l n b}=3^{l n a}+3^{l n b}$$
D.$$3^{\operatorname{l n} ( a b )}=3^{l n a} \cdot3^{l n b}$$
10、['指数与对数的关系'， '分段函数求值'， '对数函数的定义']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \operatorname{l o g}_{2} ( x+1 )， \ x \geqslant6，} \\ {} & {{} f ( x+2 )， \ x < 6，} \\ \end{aligned} \right.$$则$${{f}{(}{5}{)}{=}}$$（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
### 第一题解析 **题目分析**： 题目给出蓄电池的Peukert经验公式 $$C = I^n \cdot t$$，并提供两组数据： 1. $$I = 20\,A$$ 时，$$t = 20\,h$$ 2. $$I = 30\,A$$ 时，$$t = 10\,h$$ 要求求出Peukert常数 $$n$$。 **解题步骤**： 1. **建立方程**： 由于电池容量 $$C$$ 不变，根据两组数据可列出方程： $$20^n \cdot 20 = 30^n \cdot 10$$ 2. **化简方程**： 两边除以10： $$20^n \cdot 2 = 30^n$$ 将20和30表示为质因数乘积： $$(2^2 \cdot 5)^n \cdot 2 = (2 \cdot 3 \cdot 5)^n$$ 展开后： $$2^{2n} \cdot 5^n \cdot 2 = 2^n \cdot 3^n \cdot 5^n$$ 合并同类项： $$2^{2n+1} \cdot 5^n = 2^n \cdot 3^n \cdot 5^n$$ 两边约去 $$5^n$$ 和 $$2^n$$： $$2^{n+1} = 3^n$$ 3. **取对数求解**： 取自然对数： $$(n+1)\ln 2 = n \ln 3$$ 展开并整理： $$n \ln 2 + \ln 2 = n \ln 3$$ 提取公因子： $$n (\ln 3 - \ln 2) = \ln 2$$ 解得： $$n = \frac{\ln 2}{\ln 3 - \ln 2}$$ 4. **代入参考值**： 题目给出 $$\lg 2 \approx 0.30$$，$$\lg 3 \approx 0.48$$。 利用换底公式 $$\ln x = \frac{\lg x}{\lg e}$$（但题目未给出 $$\lg e$$，故直接使用 $$\lg$$ 计算）： $$n = \frac{\lg 2}{\lg 3 - \lg 2} = \frac{0.30}{0.48 - 0.30} = \frac{0.30}{0.18} \approx \frac{5}{3}$$ **最终答案**：B.$$\frac{5} {3}$$
--- ### 第二题解析 **题目分析**： 题目给出鱼的新鲜度 $$h$$ 与时间 $$t$$ 的关系为 $$h = m \cdot a^t$$，并提供两组数据： 1. $$t = 10$$ 分钟时，$$h = 10\%$$ 2. $$t = 20$$ 分钟时，$$h = 20\%$$ 要求求出鱼失去全部新鲜度（即 $$h = 100\%$$）所需的时间。 **解题步骤**： 1. **建立方程**： 根据数据： $$10 = m \cdot a^{10}$$ $$20 = m \cdot a^{20}$$ 2. **求解 $$a$$**： 将第一式代入第二式： $$20 = (10 / a^{10}) \cdot a^{20} = 10 \cdot a^{10}$$ 解得： $$a^{10} = 2$$ 取对数： $$10 \lg a = \lg 2$$ 由于 $$\lg 2 \approx 0.3$$： $$\lg a = 0.03$$ 3. **求 $$m$$**： 代入第一式： $$10 = m \cdot (10^{0.03})^{10} = m \cdot 10^{0.3}$$ 由于 $$10^{0.3} \approx 2$$： $$m \approx 5$$ 4. **求 $$h = 100\%$$ 的时间**： 设 $$h = 100$$，代入公式： $$100 = 5 \cdot a^t$$ 化简： $$a^t = 20$$ 取对数： $$t \lg a = \lg 20 = \lg (2 \cdot 10) = \lg 2 + 1 \approx 1.3$$ 由于 $$\lg a = 0.03$$： $$t \approx \frac{1.3}{0.03} \approx 43.33$$ 分钟 **最终答案**：B.$${{4}{3}}$$分钟
--- ### 第三题解析 **题目分析**： 题目给出分段函数： $$f(x) = \begin{cases} \sin \frac{\pi x}{6}, & x \leq 0 \\ \log_{\frac{1}{3}} x, & x > 0 \end{cases}$$ 要求计算 $$f(f(9))$$。 **解题步骤**： 1. **计算 $$f(9)$$**： 由于 $$9 > 0$$，使用第二段： $$f(9) = \log_{\frac{1}{3}} 9$$ 换底公式： $$\log_{\frac{1}{3}} 9 = \frac{\ln 9}{\ln \frac{1}{3}} = \frac{2 \ln 3}{-\ln 3} = -2$$ 2. **计算 $$f(f(9)) = f(-2)$$**： 由于 $$-2 \leq 0$$，使用第一段： $$f(-2) = \sin \left(\frac{\pi \cdot (-2)}{6}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ **最终答案**：D.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
--- ### 第四题解析 **题目分析**： 题目要求计算 $$\lg 1 + \lg 10$$。 **解题步骤**： 1. **计算 $$\lg 1$$**： $$\lg 1 = 0$$（因为 $$10^0 = 1$$） 2. **计算 $$\lg 10$$**： $$\lg 10 = 1$$（因为 $$10^1 = 10$$） 3. **求和**： $$\lg 1 + \lg 10 = 0 + 1 = 1$$ **最终答案**：A.$${{1}}$$
--- ### 第五题解析 **题目分析**： 题目给出 $$3^a = 2$$，要求计算 $$2 \log_3 6 - \log_3 8$$。 **解题步骤**： 1. **化简表达式**： 利用对数性质： $$2 \log_3 6 - \log_3 8 = \log_3 6^2 - \log_3 8 = \log_3 \left(\frac{36}{8}\right) = \log_3 \left(\frac{9}{2}\right)$$ 2. **代入已知条件**： 由于 $$3^a = 2$$，取对数： $$a = \log_3 2$$ 因此： $$\log_3 \left(\frac{9}{2}\right) = \log_3 9 - \log_3 2 = 2 - a$$ **最终答案**：A.$${{2}{−}{a}}$$
--- ### 第六题解析 **题目分析**： 题目给出 $$m = \log_a 3$$ 和 $$\log_a \pi = n$$，要求计算 $$a^{2m - n}$$。 **解题步骤**： 1. **指数与对数的关系**： 由定义： $$a^m = 3$$ $$a^n = \pi$$ 2. **计算 $$a^{2m - n}$$**： $$a^{2m - n} = \frac{a^{2m}}{a^n} = \frac{(a^m)^2}{a^n} = \frac{3^2}{\pi} = \frac{9}{\pi}$$ **最终答案**：C.$$\frac{9} {\pi}$$
--- ### 第七题解析 **题目分析**： 题目给出方程： $$\log_2 \left[\log_{0.5} \left(\log_2 x\right)\right] = 0$$ 要求求解 $$x$$。 **解题步骤**： 1. **逐层解方程**： - 第一层： $$\log_{0.5} \left(\log_2 x\right) = 2^0 = 1$$ - 第二层： $$\log_2 x = 0.5^1 = 0.5$$ - 第三层： $$x = 2^{0.5} = \sqrt{2}$$ **最终答案**：A.$${\sqrt {2}}$$
--- ### 第八题解析 **题目分析**： 题目给出 $$3^a = 6^b = 24^c$$，要求找出 $$a, b, c$$ 之间的关系。 **解题步骤**： 1. **设等式为 $$k$$**： 设 $$3^a = 6^b = 24^c = k$$。 2. **取对数表示变量**： - $$a = \log_3 k$$ - $$b = \log_6 k$$ - $$c = \log_{24} k$$ 3. **利用换底公式**： 将 $$a, b, c$$ 表示为自然对数： - $$\frac{1}{a} = \frac{\ln 3}{\ln k}$$ - $$\frac{1}{b} = \frac{\ln 6}{\ln k}$$ - $$\frac{1}{c} = \frac{\ln 24}{\ln k}$$ 4. **建立关系**： 观察到： $$\ln 6 = \ln (2 \cdot 3) = \ln 2 + \ln 3$$ $$\ln 24 = \ln (8 \cdot 3) = 3 \ln 2 + \ln 3$$ 设 $$\frac{\ln 2}{\ln k} = x$$，$$\frac{\ln 3}{\ln k} = y$$，则： - $$\frac{1}{a} = y$$ - $$\frac{1}{b} = x + y$$ - $$\frac{1}{c} = 3x + y$$ 解方程组： - 从 $$\frac{1}{a} = y$$ 得 $$y = \frac{1}{a}$$。 - 代入 $$\frac{1}{b} = x + \frac{1}{a}$$ 得 $$x = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$$。 - 代入 $$\frac{1}{c} = 3\left(\frac{1}{b} - \frac{1}{a}\right) + \frac{1}{a} = \frac{3}{b} - \frac{2}{a}$$。 整理得： $$\frac{1}{b} = \frac{2}{a} + \frac{1}{c}$$ 即： $$\frac{3}{b} = \frac{2}{a} + \frac{1}{c}$$ **最终答案**：D.$$\frac{3} {b}=\frac{2} {a}+\frac{1} {c}$$
--- ### 第九题解析 **题目分析**： 题目给出 $$a, b$$ 为正数，要求判断哪个等式成立。 **解题步骤**： 1. **分析选项**： - 选项D：$$3^{\ln (ab)} = 3^{\ln a} \cdot 3^{\ln b}$$ 根据指数性质，右边 $$= 3^{\ln a + \ln b} = 3^{\ln (ab)}$$，与左边相等。 其他选项均不符合指数或对数的基本性质。 **最终答案**：D.$$3^{\operatorname{l n} ( a b )}=3^{l n a} \cdot3^{l n b}$$
--- ### 第十题解析 **题目分析**： 题目给出分段函数： $$f(x) = \begin{cases} \log_2 (x + 1), & x \geq 6 \\ f(x + 2), & x < 6 \end{cases}$$ 要求计算 $$f(5)$$。 **解题步骤**： 1. **递归计算**： - $$f(5) = f(5 + 2) = f(7)$$ - $$f(7) = \log_2 (7 + 1) = \log_2 8 = 3$$ **最终答案**：B.$${{3}}$$
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