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正确率40.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {( \frac{1} {2} )^{x}， \ x \geq4} \\ {f ( x+1 )， \ x < 4} \\ \end{matrix} \right.$$，则$$f \left( \ 2+l o g_{2} 3 \right)$$的值为（）
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {6}$$
C.$$\frac1 {1 2}$$
D.$$\frac{1} {2 4}$$
2、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数的周期性'， '对数的性质'， '分段函数求值']正确率60.0%若定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {l o g_{2} ( 1-x ) ( x \leqslant0 )} \\ {f ( x-5 ) ( x > 0 )} \\ \end{array} \right.$$，则$$f ( 2 0 1 4 )=( \textit{} )$$
B
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{−}{1}}$$
3、['分段函数与方程、不等式问题'， '对数的性质'， '已知函数值（值域）求自变量或参数']正确率60.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {( 3-a ) x-a， x < 1} \\ {l o g_{a} x， x \geq1} \\ \end{array}， \right. f ( f ( 1 ) )=3$$，则$${{a}{=}{（}}$$）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{3}}$$
4、['对数的性质'， '对数恒等式'， '对数的运算性质']正确率60.0%若$$\operatorname{l o g}_{3} 4=a，$$则$$\operatorname{l o g}_{3} 1 8$$等于$${{(}{)}}$$
B
A.$${{a}^{2}}$$
B.$$2+\frac{a} {2}$$
C.$$\frac{3 a} {2}$$
D.$${{1}{+}{2}{a}}$$
5、['等比数列的性质'， '对数的性质'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中的各项均为正数，$$a_{5} a_{6}=\mathrm{e}^{3}$$，则$$\operatorname{l n} a_{1}+\operatorname{l n} a_{2}+\cdots+\operatorname{l n} a_{1 0}$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}{0}}$$
B.$${{1}{5}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{3}}$$
6、['函数奇偶性的应用'， '对数的性质'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '对数的运算性质']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数，定义域为$${{R}}$$，且当$${{x}{⩾}{0}}$$时，$$f ( x )=4^{x}-2^{x+3}+8$$，则满足$$f ( x ) < 1$$的实数$${{x}}$$的取值范围是（）
A
A.$$(-\operatorname{l o g}_{2} 7， 0 ) \cup( 0， \operatorname{l o g}_{2} 7 )$$
B.$$(-\operatorname{l o g}_{2} 7， \operatorname{l o g}_{2} 7 )$$
C.$$(-\operatorname{l o g}_{2} 5， 0 ) \cup( 0， \operatorname{l o g}_{2} 5 )$$
D.$$(-\operatorname{l o g}_{2} 5， \operatorname{l o g}_{2} 5 )$$
7、['实数指数幂的运算性质'， '对数的性质'， '分段函数求值']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {} & {2 e^{x-1}， x < 2} \\ {} & {\operatorname{l o g}_{3} ( 2^{x}-1 )， x \geqslant2} \\ \end{array} \right.$$，则$$f [ f ( 2 ) ]=( \textsubscript{\Pi} )$$
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
8、['对数的性质'， '分段函数求值']正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {x^{2}+1， x \leq1} \\ {\operatorname{l n} ( x-1 )， x > 1} \\ \end{matrix} \right.$$，则$$f ( f ( e+1 ) )=$$
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{4}}$$
D.$${{4}}$$
9、['N次方根的定义与性质'， '实数指数幂的运算性质'， '对数的性质'， '指数与对数的关系'， '对数的运算性质']正确率40.0%下列结论中正确的个数为$${{(}{)}}$$
$${①}$$当$${{a}{<}{0}}$$时，$$\left( a^{2} \right)^{\frac{3} {2}}=a^{3}$$；$$\mathbb{2} \stackrel{n} {\sqrt{a^{n}}}=| a | ( n > 0 )$$；
$${③}$$函数$$y=( x-2 )^{\frac{1} {2}}-( 3 x-7 )^{0}$$的定义域是$$( 2，+\infty)$$；
$${④}$$若$$1 0 0^{a}=5， ~ 1 0^{b}=2$$，则$$2 a+b=1$$．
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
10、['对数的性质'， '对数的运算性质'， '分段函数求值']正确率60.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {4^{x}-1， x \leqslant0} \\ {\operatorname{l o g}_{2} x， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，则$$f ( f ( \frac{1} {2} ) )=\textsubscript{(}$$）
A
A.$$- \frac{3} {4}$$
B.$${{1}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
1. 函数定义：$$f(x)=\begin{cases} (\frac{1}{2})^x, & x \geq 4 \\ f(x+1), & x < 4 \end{cases}$$
计算$$f(2+\log_2 3)$$：
由于$$2+\log_2 3 < 4$$，使用递归定义：
$$f(2+\log_2 3) = f(3+\log_2 3)$$
$$3+\log_2 3 < 4$$，继续递归：
$$f(3+\log_2 3) = f(4+\log_2 3)$$
$$4+\log_2 3 \geq 4$$，使用第一段定义：
$$f(4+\log_2 3) = (\frac{1}{2})^{4+\log_2 3} = 2^{-4-\log_2 3} = \frac{1}{16} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{48}$$
选项中最接近的是$$\frac{1}{24}$$，但计算得$$\frac{1}{48}$$，检查：
$$\log_2 3 \approx 1.585$$，$$2+1.585=3.585 < 4$$
$$3+1.585=4.585 \geq 4$$，所以：
$$f(2+\log_2 3) = f(3+\log_2 3) = (\frac{1}{2})^{3+\log_2 3} = 2^{-3-\log_2 3} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{24}$$
答案：D.$$\frac{1}{24}$$
2. 函数定义：$$f(x)=\begin{cases} \log_2(1-x), & x \leq 0 \\ f(x-5), & x > 0 \end{cases}$$
计算$$f(2014)$$：
由于$$2014 > 0$$，使用递归：$$f(2014) = f(2009) = f(2004) = \cdots$$
寻找周期：$$2014 \div 5 = 402$$余$$4$$，即$$2014 = 5 \times 402 + 4$$
递归402次后：$$f(2014) = f(4)$$
$$4 > 0$$，继续：$$f(4) = f(-1)$$
$$-1 \leq 0$$，使用第一段：$$f(-1) = \log_2(1-(-1)) = \log_2 2 = 1$$
答案：B.$$1$$
3. 函数定义：$$f(x)=\begin{cases} (3-a)x-a, & x < 1 \\ \log_a x, & x \geq 1 \end{cases}$$
已知$$f(f(1)) = 3$$
首先计算$$f(1)$$：$$x \geq 1$$，所以$$f(1) = \log_a 1 = 0$$
然后$$f(f(1)) = f(0)$$
$$0 < 1$$，使用第一段：$$f(0) = (3-a) \cdot 0 - a = -a$$
设$$-a = 3$$，得$$a = -3$$
验证定义域：$$\log_a x$$要求$$a > 0$$且$$a \neq 1$$，但$$a = -3$$不满足，检查：
可能$$f(1)$$需存在，$$\log_a 1$$要求$$a > 0$$且$$a \neq 1$$，所以$$a = -3$$无效
重新考虑：$$f(1) = 0$$，但$$0 < 1$$，所以$$f(0) = (3-a) \cdot 0 - a = -a$$
设$$-a = 3$$，但$$a$$应为正，矛盾
可能$$a$$使$$\log_a x$$定义，则$$a > 0$$且$$a \neq 1$$，但$$-a = 3$$得$$a = -3$$，不成立
错误：$$f(1) = \log_a 1 = 0$$，但$$a$$必须为正，所以$$a > 0$$
则$$f(0) = -a < 0$$，而$$-a = 3$$得$$a = -3$$，不可能
重新审题：$$f(f(1)) = 3$$
$$f(1) = \log_a 1 = 0$$（若$$a > 0$$）
$$f(0) = (3-a) \cdot 0 - a = -a$$
设$$-a = 3$$，则$$a = -3$$，但$$a$$应为正，无解
可能$$a$$使得$$f(1)$$不是0？若$$a = 1$$，$$\log_1 1$$无定义
可能$$a < 0$$，但$$\log_a x$$要求$$a > 0$$，所以无解
检查选项，有$$a = -2$$和$$a = -3$$，可能允许$$a < 0$$？
若$$a < 0$$，$$\log_a x$$定义域$$x > 0$$，但$$a$$为负时对数可能复杂，通常要求$$a > 0$$
可能错误：$$f(1)$$代入第二段，但$$a$$需使对数有定义
尝试$$a = 3$$：$$f(1) = \log_3 1 = 0$$
$$f(0) = (3-3) \cdot 0 - 3 = -3$$，不等于3
$$a = 2$$：$$f(1) = \log_2 1 = 0$$，$$f(0) = (3-2) \cdot 0 - 2 = -2 \neq 3$$
可能$$f(1) \geq 1$$？若$$a > 1$$，$$\log_a 1 = 0 < 1$$，所以$$f(0)$$用第一段
若$$0 < a < 1$$，$$\log_a 1 = 0$$同样
所以无解，但选项有$$a = -3$$，可能接受
假设$$a = -3$$：则$$f(1) = \log_{-3} 1$$，但负底对数无定义，无效
可能题目允许$$a < 0$$，但数学上不标准
重新读题：$$f(f(1)) = 3$$
计算$$f(1)$$：若$$a$$使$$\log_a 1$$有定义，需$$a > 0$$且$$a \neq 1$$，则$$f(1) = 0$$
然后$$f(0) = (3-a) \cdot 0 - a = -a$$
设$$-a = 3$$，得$$a = -3$$，但不符合$$a > 0$$
所以无解，但选项有$$a = -3$$，可能为答案
或许$$f(1)$$代入第一段？但$$x \geq 1$$用第二段，所以不行
可能打印错误，或$$f(f(1)) = 3$$中$$f(1)$$可能大于1
若$$a$$使得$$\log_a 1 \neq 0$$，但$$\log_a 1 = 0$$恒成立
所以矛盾，可能答案$$a = -3$$
鉴于选项，选择C.$$-3$$
答案：C.$$-3$$
4. 已知$$\log_3 4 = a$$，求$$\log_3 18$$
$$\log_3 18 = \log_3 (2 \times 9) = \log_3 2 + \log_3 9 = \log_3 2 + 2$$
又$$\log_3 4 = 2 \log_3 2 = a$$，所以$$\log_3 2 = \frac{a}{2}$$
因此$$\log_3 18 = \frac{a}{2} + 2 = 2 + \frac{a}{2}$$
答案：B.$$2+\frac{a}{2}$$
5. 等比数列$$\{a_n\}$$，各项为正，$$a_5 a_6 = e^3$$
求$$\ln a_1 + \ln a_2 + \cdots + \ln a_{10}$$
利用对数性质：$$\sum_{k=1}^{10} \ln a_k = \ln \left( \prod_{k=1}^{10} a_k \right)$$
等比数列性质：$$a_1 a_{10} = a_2 a_9 = \cdots = a_5 a_6 = e^3$$
所以$$\prod_{k=1}^{10} a_k = (a_5 a_6)^5 = (e^3)^5 = e^{15}$$
因此$$\ln(e^{15}) = 15$$
答案：B.$$15$$
6. 函数$$f(x)$$偶函数，$$x \geq 0$$时$$f(x)=4^x - 2^{x+3} + 8$$
求$$f(x) < 1$$的解集
由于偶函数，$$f(x) = f(|x|)$$，所以解$$f(|x|) < 1$$
设$$t = 2^x$$，则$$4^x = t^2$$，$$2^{x+3} = 8t$$
$$f(x) = t^2 - 8t + 8$$
解$$t^2 - 8t + 8 < 1$$，即$$t^2 - 8t + 7 < 0$$
$$(t-1)(t-7) < 0$$，所以$$1 < t < 7$$
即$$1 < 2^x < 7$$，解得$$0 < x < \log_2 7$$
由于偶函数，$$-\log_2 7 < x < 0$$也成立
且$$x \neq 0$$（因为$$f(0)=8-8+8=8 > 1$$）
所以$$x \in (-\log_2 7, 0) \cup (0, \log_2 7)$$
答案：A.$$(-\log_2 7, 0) \cup (0, \log_2 7)$$
7. 函数$$f(x)=\begin{cases} 2e^{x-1}, & x < 2 \\ \log_3(2^x - 1), & x \geq 2 \end{cases}$$
计算$$f[f(2)]$$
首先$$f(2)$$：$$x \geq 2$$，所以$$f(2) = \log_3(2^2 - 1) = \log_3 3 = 1$$
然后$$f(f(2)) = f(1)$$
$$1 < 2$$，所以$$f(1) = 2e^{1-1} = 2e^0 = 2$$
答案：C.$$2$$
8. 函数$$f(x)=\begin{cases} x^2+1, & x \leq 1 \\ \ln(x-1), & x > 1 \end{cases}$$
计算$$f(f(e+1))$$
首先$$f(e+1)$$：$$e+1 > 1$$，所以$$f(e+1) = \ln((e+1)-1) = \ln e = 1$$
然后$$f(f(e+1)) = f(1)$$
$$1 \leq 1$$，所以$$f(1) = 1^2 + 1 = 2$$
答案：B.$$2$$
9. 判断正误：
① 当$$a < 0$$时，$$(a^2)^{\frac{3}{2}} = a^3$$：错误，$$(a^2)^{\frac{3}{2}} = |a|^3 = -a^3 \neq a^3$$（因为$$a < 0$$）
② $$\sqrt[n]{a^n} = |a|$$（$$n > 0$$）：正确，n次根式
③ 函数$$y=(x-2)^{\frac{1}{2}} - (3x-7)^0$$定义域：$$x-2 \geq 0$$且$$3x-7 \neq 0$$，所以$$x \geq 2$$且$$x \neq \frac{7}{3}$$，即$$[2, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, +\infty)$$，不是$$(2,+\infty)$$，错误
④ 若$$100^a=5$$，$$10^b=2$$，则$$2a+b=1$$：$$100^a=10^{2a}=5$$，所以$$10^{2a+b}=10^{2a} \cdot 10^b=5 \times 2=10$$，即$$10^{2a+b}=10^1$$，所以$$2a+b=1$$，正确
正确有②和④，共2个
答案：C.$$2$$
10. 函数$$f(x)=\begin{cases} 4^x - 1, & x \leq 0 \\ \log_2 x, & x > 0 \end{cases}$$
计算$$f(f(\frac{1}{2}))$$
首先$$f(\frac{1}{2})$$：$$\frac{1}{2} > 0$$，所以$$f(\frac{1}{2}) = \log_2 \frac{1}{2} = -1$$
然后$$f(f(\frac{1}{2})) = f(-1)$$
$$-1 \leq 0$$，所以$$f(-1) = 4^{-1} - 1 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$$
答案：A.$$-\frac{3}{4}$$