指数与对数的关系-对数知识点考前进阶选择题自测题解析-河北省等高一数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['指数与对数的关系']

正确率60.0%若$${{l}{o}{g}_{x}{^{7}\sqrt {y}}{=}{z}{，}}$$其中$${{x}{>}{0}}$$且$${{x}{≠}{1}{，}{y}{>}{0}{，}}$$则（）

A.$${{y}^{7}{=}{{x}^{z}}}$$

B.$$y=x^{7 z}$$

C.$${{y}{=}{7}{{x}^{z}}}$$

D.$$y=z^{7 x}$$

2、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系']

正确率40.0%$${{“}}$$绿水青山就是金山银山$${{”}}$$，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为$${{v}}$$立方米，每天的进出水量为$${{k}}$$立方米．已知污染源以每天$${{r}}$$个单位污染河水，某一时段$${{t}}$$（单位：天）河水污染质量指数为$${{m}{(}{t}{)}}$$（每立方米河水所含的污染物）满足$$m ( t )=\frac r k+\left( m_{0}-\frac r k \right) \mathrm{e}^{-\frac{k} {v} t}$$（$${{m}_{0}}$$为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的$${{8}{0}}$$倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的$${{1}{0}{%}}$$，需要的时间大约是（参考数据：$${{l}{n}{{1}{0}}{≈}{{2}{.}{3}{0}}}$$）（）

A.$${{1}}$$个月

B.$${{3}}$$个月

C.半年

D.$${{1}}$$年

3、['有理数指数幂的运算性质'， '指数与对数的关系'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%已知$${{a}{>}{b}{>}{1}}$$，若$$\operatorname{l o g}_{a} b+\operatorname{l o g}_{b} a=\frac5 2$$，且$${{a}^{b}{=}{{b}^{a}}}$$，则$${{a}{+}{b}}$$的值为

A.$${{4}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{1}{0}}$$

4、['对数（型）函数的单调性'， '指数与对数的关系'， '不等式比较大小'， '对数的换底公式及其推论']

正确率40.0%设$${{x}{，}{y}{，}{z}}$$均为正数，且$${{2}^{x}{=}{{3}^{y}}{=}{{6}^{z}}}$$，则（）

A.$${{2}{x}{<}{3}{y}{<}{6}{z}}$$

B.$${{6}{z}{<}{2}{x}{<}{3}{y}}$$

C.$${{3}{y}{<}{6}{z}{<}{2}{x}}$$

D.$${{3}{y}{<}{2}{x}{<}{6}{z}}$$

5、['指数与对数的关系'， '一般幂函数的图象和性质'， '利用函数单调性比较大小']

正确率40.0%已知正数$${{x}{，}{y}{，}{z}}$$满足$${{l}{o}{g}_{2}{x}{=}{{l}{o}{g}_{3}}{y}{=}{{l}{o}{g}_{5}}{z}{>}{0}{，}}$$则下列结论不可能成立的是$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{x} {2}=\frac{y} {3}=\frac{z} {5}$$

B.$$\frac{y} {3} < \frac{z} {5} < \frac{x} {2}$$

C.$$\frac{x} {2} > \frac{y} {3} > \frac{z} {5}$$

D.$$\frac{x} {2} < \frac{y} {3} < \frac{z} {5}$$

6、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%已知$$2^{x}=7^{y}=k， \， \， \， \frac{1} {x}-\frac{1} {y}=4$$，则$${{k}}$$的值是$${{(}{)}}$$

A.$$( \frac{2} {7} )^{\frac{1} {4}}$$

B.$$\left( \frac{2} {7} \right)^{4}$$

C.$$5^{\frac{1} {4}}$$

D.$$( \frac{7} {2} )^{\frac{1} {4}}$$

7、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系'， '对数的运算性质']

正确率60.0%某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司$${{2}{0}{1}{8}}$$年全年投入研发资金$${{2}{0}{0}}$$万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长$${{1}{2}{%}{，}}$$则该公司全年投入的研发资金开始超过$${{3}{0}{0}}$$万元的年份是$${{(}{)}}$$
(参考数据：$${{l}{g}{{1}{.}{1}{2}}{≈}{{0}{.}{0}{5}}{，}{{l}{g}}{2}{≈}{{0}{.}{3}{0}}{，}{{l}{g}}{3}{≈}{{0}{.}{4}{8}}{)}}$$

A.$${{2}{0}{2}{1}}$$年

B.$${{2}{0}{2}{4}}$$年

C.$${{2}{0}{2}{3}}$$年

D.$${{2}{0}{2}{2}}$$年

8、['对数（型）函数的单调性'， '指数与对数的关系']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{a}^{x}}{−}{2}}$$$${{(}{a}{>}{0}{，}{a}{≠}{1}{)}}$$，$${{f}{(}{{x}_{0}}{)}{=}{0}}$$且$${{x}_{0}{∈}{(}{0}{，}{1}{)}}$$，则

A.$${{1}{<}{a}{<}{2}}$$

B.$${{a}{>}{2}}$$

C.$${{a}{⩾}{2}}$$

D.$${{a}{=}{2}}$$

9、['指数与对数的关系'， '对数恒等式'， '对数的运算性质']

正确率60.0%计算$$l o g_{( \sqrt2+\sqrt3 )} ( \sqrt3-\sqrt2 )-2^{l o g_{1 6} 9}=~ 0$$）

A.$${{−}{1}{+}{\sqrt {3}}}$$

B.$${{−}{1}{−}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{1}{−}{\sqrt {3}}}$$

D.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$

1. 题目给出对数方程 $${{l}{o}{g}_{x}{^{7}\sqrt {y}}{=}{z}$$，可以转化为指数形式：$$x^z = 7\sqrt{y}$$。两边同时平方得到 $$x^{2z} = 49y$$，即 $$y = \frac{x^{2z}}{49}$$。但选项中没有此形式，重新检查转换步骤。实际上，$$7\sqrt{y} = y^{1/7}$$，因此 $$x^z = y^{1/7}$$，两边取 7 次方得 $$y = x^{7z}$$，对应选项 B。

2. 题目给出污染指数公式 $$m(t) = \frac{r}{k} + \left(m_0 - \frac{r}{k}\right)e^{-\frac{k}{v}t}$$，关闭污染源后 $$r = 0$$，公式简化为 $$m(t) = m_0 e^{-\frac{k}{v}t}$$。要求污染水平下降到初始的 10%，即 $$m(t) = 0.1 m_0$$，代入得 $$0.1 = e^{-\frac{k}{v}t}$$，取自然对数得 $$-\ln 10 = -\frac{k}{v}t$$，即 $$t = \frac{v}{k} \ln 10$$。已知 $$v = 80k$$，代入得 $$t = 80 \ln 10 \approx 80 \times 2.30 = 184$$ 天，约 6 个月，对应选项 C。

3. 设 $$\log_a b = t$$，则 $$\log_b a = \frac{1}{t}$$，方程变为 $$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$$，解得 $$t = 2$$ 或 $$t = \frac{1}{2}$$。若 $$t = 2$$，则 $$b = a^2$$，代入 $$a^b = b^a$$ 得 $$a^{a^2} = (a^2)^a = a^{2a}$$，即 $$a^2 = 2a$$，解得 $$a = 2$$，$$b = 4$$，$$a + b = 6$$。若 $$t = \frac{1}{2}$$，则 $$b = \sqrt{a}$$，代入得 $$a^{\sqrt{a}} = (\sqrt{a})^a = a^{a/2}$$，即 $$\sqrt{a} = \frac{a}{2}$$，解得 $$a = 4$$，$$b = 2$$，但 $$a > b > 1$$，故舍去。因此唯一解为 $$a + b = 6$$，对应选项 B。

4. 设 $$2^x = 3^y = 6^z = k$$，取对数得 $$x = \frac{\ln k}{\ln 2}$$，$$y = \frac{\ln k}{\ln 3}$$，$$z = \frac{\ln k}{\ln 6}$$。比较 $$2x$$、$$3y$$、$$6z$$：$$2x = \frac{2 \ln k}{\ln 2}$$，$$3y = \frac{3 \ln k}{\ln 3}$$，$$6z = \frac{6 \ln k}{\ln 6}$$。由于 $$\ln 2 \approx 0.693$$，$$\ln 3 \approx 1.099$$，$$\ln 6 \approx 1.792$$，计算得 $$\frac{2}{\ln 2} \approx 2.885$$，$$\frac{3}{\ln 3} \approx 2.730$$，$$\frac{6}{\ln 6} \approx 3.350$$，因此 $$3y < 2x < 6z$$，对应选项 D。

5. 设 $${l}{o}{g}_{2}{x}{=}{{l}{o}{g}_{3}}{y}{=}{{l}{o}{g}_{5}}{z}{=}k$$，则 $$x = 2^k$$，$$y = 3^k$$，$$z = 5^k$$。比较 $$\frac{x}{2} = 2^{k-1}$$，$$\frac{y}{3} = 3^{k-1}$$，$$\frac{z}{5} = 5^{k-1}$$。当 $$k = 1$$ 时，选项 A 成立；当 $$k > 1$$ 时，$$5^{k-1} > 3^{k-1} > 2^{k-1}$$，对应选项 C；当 $$0 < k < 1$$ 时，$$2^{k-1} > 3^{k-1} > 5^{k-1}$$，对应选项 B。选项 D 不可能成立，因为不存在 $$k$$ 使得 $$2^{k-1} < 3^{k-1} < 5^{k-1}$$ 同时成立，故选 D。

6. 设 $$2^x = 7^y = k$$，取对数得 $$x = \frac{\ln k}{\ln 2}$$，$$y = \frac{\ln k}{\ln 7}$$。代入 $$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 4$$ 得 $$\frac{\ln 2}{\ln k} - \frac{\ln 7}{\ln k} = 4$$，即 $$\ln k = \frac{\ln 2 - \ln 7}{4} = \frac{1}{4} \ln \left(\frac{2}{7}\right)$$，因此 $$k = \left(\frac{2}{7}\right)^{1/4}$$，对应选项 A。

7. 研发资金增长模型为 $$200 \times (1.12)^n > 300$$，取对数得 $$n > \frac{\ln 1.5}{\ln 1.12}$$。利用近似值 $$\ln 1.5 \approx 0.405$$，$$\ln 1.12 \approx 0.113$$，得 $$n > \frac{0.405}{0.113} \approx 3.58$$，因此至少需要 4 年，即 2022 年开始，2023 年首次超过 300 万元，对应选项 C。

8. 函数 $$f(x) = a^x - 2$$ 在 $$x_0 \in (0,1)$$ 处有零点，即 $$a^{x_0} = 2$$。由于 $$x_0 < 1$$，若 $$a > 1$$，则 $$a^{x_0} < a$$，因此 $$a > 2$$；若 $$0 < a < 1$$，则 $$a^{x_0} > a$$，但 $$a^{x_0} = 2$$ 不可能成立。综上，$$a > 2$$，对应选项 B。

9. 计算 $$log_{(\sqrt{2}+\sqrt{3})} (\sqrt{3}-\sqrt{2})$$：注意到 $$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 1$$，因此 $$\sqrt{3}-\sqrt{2} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1}$$，对数值为 -1。第二部分 $$2^{\log_{16} 9} = 2^{\frac{\log_2 9}{\log_2 16}} = 2^{\frac{2 \log_2 3}{4}} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$$。因此整体结果为 $$-1 - \sqrt{3}$$，对应选项 B。

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