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正确率80.0%将$${{2}^{3}{=}{8}}$$化为对数式，则正确的对数式是（）
B
A.$$\operatorname{l o g}_{2} 3=8$$
B.$$\operatorname{l o g}_{2} 8=3$$
C.$$\operatorname{l o g}_{8} 2=3$$
D.$$\operatorname{l o g}_{3} 2=8$$
2、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知$$2^{a}=3^{b}=5，$$则$$\operatorname{l o g}_{5} 1 2=$$（）
A
A.$$\frac{a+2 b} {a b}$$
B.$$\frac{2 a+b} {a b}$$
C.$${{a}{+}{2}{b}}$$
D.$${{2}{a}{+}{b}}$$
3、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知$$2^{x}=3^{y}=3 6$$，则$$\frac{1} {x}+\frac{1} {y}=$$
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {6}$$
D.$$\frac{1} {3 6}$$
4、['函数中的存在性问题'， '指数与对数的关系'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '对数恒等式']正确率19.999999999999996%设$${{a}{>}{1}}$$，若仅有一个常数$${{c}}$$使得对于任意的$$x \in[ a， a^{3} ]$$，都有$$y \in[ 1+\operatorname{l o g}_{a} 2-a^{3}， 2-a ]$$满足方程$$a^{x} a^{y}=c$$，则$${{a}}$$的取值集合为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{\{}{4}{\}}}$$
B.$$\{\frac{3} {2}， 2 \}$$
C.$${{\{}{2}{\}}}$$
D.$$\{\frac{3} {2} \}$$
5、['指数型复合函数的应用'， '指数与对数的关系']正确率60.0%用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的$$\frac{3} {4}，$$要使存留的污垢不超过$${{1}{%}}$$，则至少要洗的次数是（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
6、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%已知$$2^{x}=7^{y}=k， \， \， \， \frac{1} {x}-\frac{1} {y}=4$$，则$${{k}}$$的值是$${{(}{)}}$$
A
A.$$( \frac{2} {7} )^{\frac{1} {4}}$$
B.$$\left( \frac{2} {7} \right)^{4}$$
C.$$5^{\frac{1} {4}}$$
D.$$( \frac{7} {2} )^{\frac{1} {4}}$$
7、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚$${{.}}$$检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于$$2 0 \mathrm{m g} / 1 0 0 \mathrm{m l}$$，小于$$8 0 \mathrm{m g} / 1 0 0 \mathrm{m l}$$的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于$$8 0 \mathrm{m g} / 1 0 0 \mathrm{m l}$$的驾驶行为.”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低$${{2}{0}{%}}$$$${{.}}$$某人饮酒后测得血液中的酒精含量为$$1 0 0 \mathrm{m g} / 1 0 0 \mathrm{m l}$$，若经过$${{n}{{(}{{n}{∈}{{N}^{∗}}}{)}}}$$小时，该人血液中的酒精含量小于$$2 0 \mathrm{m g} / 1 0 0 \mathrm{m l}$$，则$${{n}}$$的最小值为（参考数据：$$\operatorname{l g} 2 \approx0. 3 0 1 0$$）（）
B
A.$${{7}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{0}}$$
8、['对数的性质'， '指数与对数的关系'， '对数恒等式'， '对数的运算性质'， '常用对数与自然对数']正确率40.0%已知实数$$a， ~ b， ~ c， ~ d$$满足$$\frac{l n a+1} {b+1}=\frac{c-2} {d-3}=1，$$则$$( \boldsymbol{a}-\boldsymbol{c} )^{\textit{2}}+\textit{( b-d )}^{\textit{2}}$$的最小值为（）
C
A.$${{8}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
9、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质']正确率60.0%设$$2^{a}=3^{b}=m$$，且$$\frac{1} {a}+\frac{1} {b}=1，$$则$${{m}{=}{（}}$$）
D
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {6}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{6}}$$
10、['指数与对数的关系'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '对数函数的定义']正确率60.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} a \cdot2^{x}， \ x < 2，} \\ {} & {{} \operatorname{l o g}_{2} x， \ x > 2} \\ \end{aligned} \right. \left( a \in\mathbf{R} \right)$$，若$$f [ f ( 4 ) ]=1$$，则$${{a}}$$的值为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
1. 将指数式 $$2^3 = 8$$ 化为对数式，根据对数定义 $$a^b = c \Leftrightarrow \log_a c = b$$，因此答案为 $$\log_2 8 = 3$$，对应选项 B。
2. 由 $$2^a = 3^b = 5$$，可得 $$a = \log_2 5$$，$$b = \log_3 5$$。要求 $$\log_5 12$$，利用换底公式： $$ \log_5 12 = \frac{\ln 12}{\ln 5} = \frac{\ln (2^2 \cdot 3)}{\ln 5} = \frac{2\ln 2 + \ln 3}{\ln 5} $$ 将 $$\ln 2 = \frac{\ln 5}{a}$$，$$\ln 3 = \frac{\ln 5}{b}$$ 代入： $$ \log_5 12 = \frac{2 \cdot \frac{\ln 5}{a} + \frac{\ln 5}{b}}{\ln 5} = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2b + a}{ab} $$ 对应选项 B。
3. 由 $$2^x = 3^y = 36$$，取对数得 $$x = \log_2 36$$，$$y = \log_3 36$$。因此： $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{\log_2 36} + \frac{1}{\log_3 36} = \log_{36} 2 + \log_{36} 3 = \log_{36} (2 \cdot 3) = \log_{36} 6 = \frac{1}{2} $$ 对应选项 A。
4. 方程 $$a^x a^y = c$$ 可化为 $$a^{x+y} = c$$，即 $$x + y = \log_a c$$。对于 $$x \in [a, a^3]$$，$$y$$ 需满足 $$y = \log_a c - x \in [1 + \log_a 2 - a^3, 2 - a]$$。由于仅有一个常数 $$c$$ 满足条件，需区间端点重合： $$ \log_a c - a = 2 - a \quad \text{且} \quad \log_a c - a^3 = 1 + \log_a 2 - a^3 $$ 解得 $$\log_a c = 2$$ 且 $$\log_a c = 1 + \log_a 2$$，即 $$c = a^2$$ 且 $$c = 2a$$。联立得 $$a^2 = 2a$$，解得 $$a = 2$$（$$a > 1$$），对应选项 C。
5. 每次洗去污垢的 $$\frac{3}{4}$$，剩余 $$\frac{1}{4}$$。设洗 $$n$$ 次后污垢为 $$( \frac{1}{4} )^n \leq 0.01$$。取对数： $$ n \ln \frac{1}{4} \leq \ln 0.01 \Rightarrow n \geq \frac{\ln 100}{\ln 4} \approx \frac{4.605}{1.386} \approx 3.32 $$ 因此至少需洗 4 次，对应选项 B。
6. 由 $$2^x = 7^y = k$$，取对数得 $$x = \log_2 k$$，$$y = \log_7 k$$。代入 $$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 4$$： $$ \frac{1}{\log_2 k} - \frac{1}{\log_7 k} = \log_k 2 - \log_k 7 = \log_k \frac{2}{7} = 4 $$ 因此 $$\frac{2}{7} = k^4$$，解得 $$k = ( \frac{2}{7} )^{1/4}$$，对应选项 A。
7. 酒精含量每小时降低 20%，即剩余 80%。初始为 100 mg/100 ml，$$n$$ 小时后为 $$100 \times 0.8^n < 20$$。取对数： $$ n \lg 0.8 < \lg 0.2 \Rightarrow n > \frac{\lg 0.2}{\lg 0.8} = \frac{-0.699}{-0.0969} \approx 7.21 $$ 因此最小 $$n$$ 为 8，对应选项 B。
8. 由条件 $$\ln a + 1 = b + 1$$ 得 $$\ln a = b$$；由 $$c - 2 = d - 3$$ 得 $$c - d = -1$$。所求 $$(a - c)^2 + (b - d)^2$$ 可表示为 $$(e^b - c)^2 + (b - (c + 1))^2$$。设 $$c$$ 为变量，求导得最小值为 2，对应选项 C。
9. 由 $$2^a = 3^b = m$$，取对数得 $$a = \log_2 m$$，$$b = \log_3 m$$。代入 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$$： $$ \frac{1}{\log_2 m} + \frac{1}{\log_3 m} = \log_m 2 + \log_m 3 = \log_m 6 = 1 $$ 因此 $$m = 6$$，对应选项 D。
10. 计算 $$f(4) = \log_2 4 = 2$$，因此 $$f[f(4)] = f(2)$$。由于 $$x = 2$$ 不满足分段条件，需考虑极限或定义。题目中 $$x < 2$$ 时 $$f(x) = a \cdot 2^x$$，因此 $$f(2^-) = a \cdot 4$$。若 $$f(2)$$ 定义为 $$a \cdot 4$$，则 $$a \cdot 4 = 1$$，解得 $$a = \frac{1}{4}$$，对应选项 D。