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正确率40.0%渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度.已知某种鱼失去的新鲜度$${{h}}$$与其出水后时间$${{t}}$$(分钟)满足的函数关系式为$$h=m \cdot a^{t}$$.若出水后$${{1}{0}}$$分钟，这种鱼失去的新鲜度为$${{1}{0}{\%}{，}}$$出水后$${{2}{0}}$$分钟，这种鱼失去的新鲜度为$${{2}{0}{\%}}$$.那么若不及时处理，打上来的这种鱼失去全部新鲜度所需的时间约为（）$$( \mathrm{l g} 2 \approx0. 3 )$$
B
A.$${{3}{3}}$$分钟
B.$${{4}{3}}$$分钟
C.$${{5}{0}}$$分钟
D.$${{5}{6}}$$分钟
2、['指数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']正确率60.0%标准的围棋棋盘共$${{1}{9}}$$行$${{1}{9}}$$列$${，{{3}{6}{1}}}$$个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有$$3^{3 6 1}$$种不同的情况.我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即$$1 0 ~ 0 0 0^{5 2}，$$下列数据最接近$$\frac{3^{3 6 1}} {1 0 \， 0 0 0^{5 2}}$$的是$$( \mathrm{l g} 3 \approx0. 4 7 7 )$$（）
B
A.$$1 0^{-3 7}$$
B.$$1 0^{-3 6}$$
C.$$1 0^{-3 5}$$
D.$$1 0^{-3 4}$$
3、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质']正确率40.0%形如$$2^{2^{n}}+1$$$${{(}{n}}$$是非负整数$${{)}}$$的数称为费马数，记为$${{F}_{n}}$$.数学家费马根据$$F_{0}， F_{1}， F_{2}， F_{3}，$$$${{F}_{4}}$$都是质数提出了猜想：费马数都是质数$${{.}}$$多年之后，数学家欧拉计算出$${{F}_{5}}$$不是质数，那$${{F}_{5}}$$的位数是（）
(参考数据:$$\operatorname{l g} 2 \approx0. 3 0 1 0$$)
B
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{1}{2}}$$
4、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '对数的运算性质']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1} \!=\! 1， \ a_{n+1} \!=\! a_{n}+\operatorname{l o g}_{2} \left( \frac{n} {n \!+\! 1} \right)$$，则$$a_{6 4} \!=$$
B
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{−}{5}}$$
C.$${{−}{6}}$$
D.$${{−}{7}}$$
5、['对数式的大小的比较'， '对数的运算性质'， '不等式比较大小']正确率60.0%已知实数$$a， b， c$$满足$$a=\operatorname{l o g}_{2} \frac1 9， \， \， \， b=-\sqrt{1 4}， \， \， \， c=-\operatorname{l o g}_{3} 8$$，则实数$$a， b， c$$的大小关系为$${{(}{)}}$$
A
A.$$c > a > b$$
B.$$c > b > a$$
C.$$a > b > c$$
D.$$a > c > b$$
6、['函数奇偶性的应用'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=\operatorname{l n} \left( \sqrt{1+x^{2}}-x \right)+2$$，则$$f \left( \operatorname{l g} 5 \right)+f \left( \operatorname{l g} \frac{1} {5} \right)=\c{(}$$）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
7、['指数与对数的关系'， '反函数的定义'， '对数的运算性质']正确率40.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{3}^{x}}}$$，函数$${{g}{{(}{x}{)}}}$$是$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的反函数，若正数$$x_{1}， ~ ~ x_{2}， ~ \dots， ~ ~ x_{2 0 1 8}$$满足$$x_{1} \cdot x_{2} \cdot\ldots\cdot x_{2 0 1 8}=8 1$$，则$$g \left( x_{1}^{2} \right)+g \left( x_{2}^{2} \right)+\ldots+g \left( x_{\mathtt{{\tiny z \! 0 1 7}}}^{2} \right)+g ( x_{\mathtt{{\tiny z \! 0 1 8}}}^{2} )$$的值等于 （）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{6}{4}}$$
8、['指数与对数的关系'， '对数恒等式'， '对数的运算性质']正确率60.0%若$$1 0^{m}=\sqrt{2}， ~ 1 0^{n}=6$$，则$$n-2 m=$$（$${）}$$．
D
A.$${{−}{{l}{g}}{2}}$$
B.$${{l}{g}{2}}$$
C.$${{−}{{l}{g}}{3}}$$
D.$${{l}{g}{3}}$$
9、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%若$$2^{a}=3^{b}=\sqrt{6}$$，则$$\frac{1} {a}+\frac{1} {b}=($$）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{1}}$$
10、['函数求值'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知函数$$f \left( \frac{} {2 x} \right) ~=l o g_{3} ~ ( \ 8 x^{2}+7 )$$，那么$${{f}{（}{1}{）}}$$等于（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{l}{o}{{g}_{3}}{{3}{9}}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{l}{o}{{g}_{3}}{{1}{5}}}$$
1. 已知函数关系为 $$h = m \cdot a^t$$，代入条件：
当 $$t = 10$$ 时，$$h = 0.1$$，得 $$0.1 = m \cdot a^{10}$$
当 $$t = 20$$ 时，$$h = 0.2$$，得 $$0.2 = m \cdot a^{20}$$
两式相除：$$\frac{{0.2}}{{0.1}} = \frac{{m \cdot a^{20}}}{{m \cdot a^{10}}}$$，即 $$2 = a^{10}$$，所以 $$a = 2^{0.1}$$
代入第一个方程：$$0.1 = m \cdot (2^{0.1})^{10} = m \cdot 2$$，解得 $$m = 0.05$$
求失去全部新鲜度（即 $$h = 1$$）的时间：$$1 = 0.05 \cdot (2^{0.1})^t$$
两边取对数：$$\ln 1 = \ln 0.05 + t \cdot 0.1 \ln 2$$，即 $$0 = \ln 0.05 + 0.1 \ln 2 \cdot t$$
解得 $$t = \frac{{-\ln 0.05}}{{0.1 \ln 2}} = \frac{{\ln 20}}{{0.1 \ln 2}} = 10 \cdot \frac{{\ln 20}}{{\ln 2}} = 10 \cdot \log_2 20$$
$$\log_2 20 = \log_2 (2^2 \times 5) = 2 + \log_2 5$$，而 $$\log_2 5 = \frac{{\lg 5}}{{\lg 2}} = \frac{{1 - \lg 2}}{{\lg 2}} \approx \frac{{1 - 0.3}}{{0.3}} = \frac{{0.7}}{{0.3}} \approx 2.333$$
所以 $$t \approx 10 \times (2 + 2.333) = 43.33$$ 分钟，最接近 43 分钟，选 B
2. 计算 $$\frac{{3^{361}}}{{10000^{52}}}$$，取常用对数：
$$\lg \left( \frac{{3^{361}}}{{10000^{52}}} \right) = 361 \lg 3 - 52 \lg 10000 = 361 \times 0.477 - 52 \times 4$$
计算：$$361 \times 0.477 = 172.197$$，$$52 \times 4 = 208$$
所以 $$\lg (\cdots) = 172.197 - 208 = -35.803$$
因此原数约为 $$10^{-35.803} \approx 1.57 \times 10^{-36}$$，最接近 $$10^{-36}$$，选 B
3. 费马数 $$F_5 = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1$$
求位数即求 $$\lfloor \lg F_5 \rfloor + 1$$，由于 $$2^{32} \gg 1$$，可近似为 $$\lg (2^{32}) = 32 \lg 2 \approx 32 \times 0.3010 = 9.632$$
所以 $$F_5$$ 的位数为 $$\lfloor 9.632 \rfloor + 1 = 10$$，选 B
4. 递推关系：$$a_{n+1} = a_n + \log_2 \left( \frac{n}{{n+1}} \right)$$
累加得：$$a_{64} = a_1 + \sum_{k=1}^{63} \log_2 \left( \frac{k}{{k+1}} \right) = 1 + \log_2 \left( \prod_{k=1}^{63} \frac{k}{{k+1}} \right)$$
乘积 telescoping：$$\prod_{k=1}^{63} \frac{k}{{k+1}} = \frac{1}{{64}}$$
所以 $$a_{64} = 1 + \log_2 \left( \frac{1}{{64}} \right) = 1 + (-6) = -5$$，选 B
5. 比较 $$a = \log_2 \frac{1}{9} = -\log_2 9 \approx -3.17$$，$$b = -\sqrt{14} \approx -3.74$$，$$c = -\log_3 8 \approx -1.89$$
所以 $$c > a > b$$，选 A
6. 设 $$f(x) = \ln(\sqrt{1+x^2} - x) + 2$$，注意到 $$\ln(\sqrt{1+x^2} - x) = -\ln(\sqrt{1+x^2} + x)$$
所以 $$f(\lg 5) + f(\lg \frac{1}{5}) = f(\lg 5) + f(-\lg 5)$$
$$= \left[ \ln(\sqrt{1+(\lg 5)^2} - \lg 5) + 2 \right] + \left[ \ln(\sqrt{1+(\lg 5)^2} + \lg 5) + 2 \right]$$
$$= \ln \left[ (\sqrt{1+(\lg 5)^2} - \lg 5)(\sqrt{1+(\lg 5)^2} + \lg 5) \right] + 4$$
$$= \ln(1) + 4 = 4$$，选 A
7. $$f(x) = 3^x$$，则反函数 $$g(x) = \log_3 x$$
所求 $$S = \sum_{i=1}^{2018} g(x_i^2) = \sum_{i=1}^{2018} \log_3 x_i^2 = 2 \log_3 (x_1 x_2 \cdots x_{2018})$$
已知乘积为 81，所以 $$S = 2 \log_3 81 = 2 \times 4 = 8$$，选 B
8. 已知 $$10^m = \sqrt{2}$$，$$10^n = 6$$，则 $$n - 2m = \lg 6 - 2 \lg \sqrt{2} = \lg 6 - \lg 2 = \lg 3$$，选 D
9. 设 $$2^a = 3^b = \sqrt{6}$$，取对数得 $$a = \frac{1}{2} \log_2 6$$，$$b = \frac{1}{2} \log_3 6$$
所以 $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 \left( \frac{1}{\log_2 6} + \frac{1}{\log_3 6} \right) = 2 (\log_6 2 + \log_6 3) = 2 \log_6 6 = 2$$，选 A
10. 令 $$u = \frac{1}{2x}$$，则 $$x = \frac{1}{2u}$$，代入得 $$f(u) = \log_3 \left( 8 \cdot \left( \frac{1}{2u} \right)^2 + 7 \right) = \log_3 \left( \frac{2}{u^2} + 7 \right)$$
所以 $$f(1) = \log_3 (2 + 7) = \log_3 9 = 2$$，选 A