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正确率60.0%设实数$${{x}}$$满足$$0 < \， x < \， 1，$$且$$\operatorname{l o g}_{x} 4-\operatorname{l o g}_{2} x=1，$$则$${{x}{=}}$$（）
D
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
2、['对数方程与对数不等式的解法'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%当$${{a}{>}{1}}$$时，不等式$$l o g_{a} ( 4-x ) >-l o g_{\frac{1} {a}} \， x$$的解集是（）
A
A.$$( {\bf0}， ~ {\bf2} )$$
B.$$( \ 0， \ 4 )$$
C.$$( \ 2， \ 4 )$$
D.$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$
3、['实数指数幂的运算性质'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%$$( 0. 2 5 )^{-{\frac{1} {2}}}+( \operatorname{l o g}_{2} 3 ) \cdot( \operatorname{l o g}_{3} 4 )$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{5} {2}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '导数与极值'， '等比数列的性质'， '对数的性质'， '对数的运算性质'， '等差数列的性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%正项等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中的$$a_{1 1}， ~ a_{4 0 2 7}$$是函数$$f \left( x \right) \!=\! \frac{1} {3} x^{3} \!-\! 4 x^{2} \!+\! 4 x \!-\! 3$$的极值点，则$$\operatorname{l o g}_{\sqrt2} a_{2 0 1 9}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
5、['对数（型）函数的单调性'， '指数与对数的关系'， '不等式比较大小'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%设$$x， ~ y， ~ z$$均为正数，且$$2^{x}=3^{y}=6^{z}$$，则（）
D
A.$$2 x < 3 y < 6 z$$
B.$$6 z < 2 x < 3 y$$
C.$$3 y < 6 z < 2 x$$
D.$$3 y < 2 x < 6 z$$
6、['基本不等式：(√ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立'， '绝对值的三角不等式'， '命题的真假性判断'， '不等式的性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%下列四个不等式：$$\oplus\， \operatorname{l o g}_{x} 1 0+\operatorname{l g} \， x \geqslant2 ( x > 1 ) ;$$$$\odot| a-b | < | a |+| b | ;$$$$\odot| \frac{b} {a}+\frac{a} {b} | \geqslant2 ( a b \neq0 ) ;$$$$\oplus\left| x-1 \right|+\left| x-2 \right| \geq1$$，其中恒成立的个数是（）
A
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{4}}$$
7、['对数的运算性质'， '不等式比较大小'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%设$$a=\operatorname{l o g}_{0. 3} 0. 8， \; b=\operatorname{l o g}_{2} 0. 8$$，则下列正确的是（）
A
A.$$a+b < a b < 0$$
B.$$a b < a+b < 0$$
C.$$a+b < 0 < a b$$
D.$$a b < 0 < a+b$$
9、['对数恒等式'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%已知$$l g 3=a， ~ l g 5=b$$，则$$\operatorname{l o g}_{5} 1 5=( \textsubscript{\Lambda} )$$
B
A.$$\frac{a+b} {a}$$
B.$$\frac{a+b} {b}$$
C.$$\frac{a} {a+b}$$
D.$$\frac{b} {a+b}$$
10、['对数的性质'， '对数恒等式'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%设$$\operatorname{l g} 2=a， \operatorname{l g} 3=b，$$则$$\operatorname{l o g}_{5} 1 2$$等于（）
C
A.$$\frac{2 a+b} {1+a}$$
B.$$\frac{a+2 b} {1+a}$$
C.$$\frac{2 a+b} {1-a}$$
D.$$\frac{a+2 b} {1-a}$$
1. 已知 $$0 < x < 1$$，且 $$\log_{x} 4 - \log_{2} x = 1$$
换底公式：$$\log_{x} 4 = \frac{{\log_{2} 4}}{{\log_{2} x}} = \frac{{2}}{{\log_{2} x}}$$
代入得：$$\frac{{2}}{{\log_{2} x}} - \log_{2} x = 1$$
令 $$t = \log_{2} x$$，则 $$\frac{{2}}{{t}} - t = 1$$
两边乘 $$t$$：$$2 - t^{2} = t$$，即 $$t^{2} + t - 2 = 0$$
解得：$$t = 1$$ 或 $$t = -2$$
当 $$t = 1$$ 时，$$x = 2$$（不满足 $$0 < x < 1$$）
当 $$t = -2$$ 时，$$x = \frac{{1}}{{4}}$$（满足条件）
答案：D
2. 当 $$a > 1$$ 时，解不等式 $$\log_{a} (4 - x) > -\log_{\frac{{1}}{{a}}} x$$
由对数性质：$$-\log_{\frac{{1}}{{a}}} x = \log_{a} x$$
原不等式化为：$$\log_{a} (4 - x) > \log_{a} x$$
由于 $$a > 1$$，对数函数单调递增，得：$$4 - x > x > 0$$
解得：$$0 < x < 2$$
答案：A
3. 计算：$$(0.25)^{-\frac{{1}}{{2}}} + (\log_{2} 3) \cdot (\log_{3} 4)$$
第一部分：$$(0.25)^{-\frac{{1}}{{2}}} = (4^{-1})^{-\frac{{1}}{{2}}} = 4^{\frac{{1}}{{2}}} = 2$$
第二部分：$$\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4 = \log_{2} 4 = 2$$
总和：$$2 + 2 = 4$$
答案：D
4. 函数 $$f(x) = \frac{{1}}{{3}} x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 3$$
求导：$$f'(x) = x^{2} - 8 x + 4$$
令 $$f'(x) = 0$$，解得：$$x = 4 \pm 2\sqrt{{3}}$$
由于 $$a_{11}$$ 和 $$a_{4027}$$ 是极值点，且为等差数列，则 $$a_{2019} = \frac{{a_{11} + a_{4027}}}{{2}}$$
由韦达定理：$$a_{11} + a_{4027} = 8$$，故 $$a_{2019} = 4$$
计算：$$\log_{\sqrt{{2}}} 4 = \log_{2^{\frac{{1}}{{2}}}} 4 = \frac{{\log_{2} 4}}{{\frac{{1}}{{2}}}} = 4$$
答案：C
5. 设 $$2^{x} = 3^{y} = 6^{z} = k$$，则 $$x = \log_{2} k$$，$$y = \log_{3} k$$，$$z = \log_{6} k$$
比较 $$2x$$ 与 $$3y$$：
$$2x = 2\log_{2} k = \log_{2} k^{2}$$，$$3y = 3\log_{3} k = \log_{3} k^{3}$$
换为同底：$$\log_{2} k^{2} = \frac{{\ln k^{2}}}{{\ln 2}}$$，$$\log_{3} k^{3} = \frac{{\ln k^{3}}}{{\ln 3}}$$
比较分母：$$\ln 2 \approx 0.693$$，$$\ln 3 \approx 1.099$$，分子比例约为 $$2:3$$
实际计算：令 $$t = \ln k$$，则 $$2x = \frac{{2t}}{{\ln 2}}$$，$$3y = \frac{{3t}}{{\ln 3}}$$
比值：$$\frac{{3y}}{{2x}} = \frac{{3 \ln 2}}{{2 \ln 3}} \approx \frac{{3 \times 0.693}}{{2 \times 1.099}} \approx 0.945 < 1$$，故 $$3y < 2x$$
类似比较 $$2x$$ 与 $$6z$$：$$6z = 6\log_{6} k = \log_{6} k^{6}$$
$$2x = \log_{2} k^{2} = \frac{{\ln k^{2}}}{{\ln 2}}$$，$$6z = \frac{{\ln k^{6}}}{{\ln 6}}$$
比值：$$\frac{{6z}}{{2x}} = \frac{{6 \ln 2}}{{2 \ln 6}} = \frac{{3 \ln 2}}{{\ln 2 + \ln 3}} \approx \frac{{3 \times 0.693}}{{0.693 + 1.099}} \approx 1.16 > 1$$，故 $$2x < 6z$$
综上：$$3y < 2x < 6z$$
答案：D
6. 分析四个不等式：
① $$\log_{x} 10 + \lg x \geq 2$$（$$x > 1$$）
$$\log_{x} 10 = \frac{{1}}{{\lg x}}$$，令 $$t = \lg x > 0$$，则原式 = $$\frac{{1}}{{t}} + t \geq 2$$，由均值不等式成立，恒成立
② $$|a - b| < |a| + |b|$$
当 $$ab < 0$$ 时取等号，故不恒成立
③ $$|\frac{{b}}{{a}} + \frac{{a}}{{b}}| \geq 2$$（$$ab \neq 0$$）
由均值不等式，$$\frac{{b}}{{a}} + \frac{{a}}{{b}} \geq 2$$ 或 $$\leq -2$$，绝对值后 $$\geq 2$$，恒成立
④ $$|x - 1| + |x - 2| \geq 1$$
几何意义为数轴上点到 1 和 2 的距离和，最小值为 1（当 $$1 \leq x \leq 2$$ 时取等），恒成立
恒成立的个数为 3 个
答案：A
7. 设 $$a = \log_{0.3} 0.8$$，$$b = \log_{2} 0.8$$
由于 $$0.3 < 1$$，$$0.8 < 1$$，故 $$a > 0$$
由于 $$2 > 1$$，$$0.8 < 1$$，故 $$b < 0$$
$$a + b = \log_{0.3} 0.8 + \log_{2} 0.8 = \frac{{\ln 0.8}}{{\ln 0.3}} + \frac{{\ln 0.8}}{{\ln 2}}$$
由于 $$\ln 0.8 < 0$$，$$\ln 0.3 < 0$$，$$\ln 2 > 0$$，故第一项为正，第二项为负
计算数值：$$\ln 0.8 \approx -0.223$$，$$\ln 0.3 \approx -1.204$$，$$\ln 2 \approx 0.693$$
$$a \approx 0.185$$，$$b \approx -0.322$$，$$a + b \approx -0.137 < 0$$，$$ab \approx -0.0596 < 0$$
比较 $$a + b$$ 和 $$ab$$：$$a + b - ab = a + b(1 - a)$$，由于 $$a < 1$$，$$b < 0$$，故 $$b(1 - a) < 0$$，整体 $$< 0$$，即 $$a + b < ab$$
故 $$a + b < ab < 0$$
答案：A
9. 已知 $$\lg 3 = a$$，$$\lg 5 = b$$，求 $$\log_{5} 15$$
$$\log_{5} 15 = \frac{{\lg 15}}{{\lg 5}} = \frac{{\lg 3 + \lg 5}}{{\lg 5}} = \frac{{a + b}}{{b}}$$
答案：B
10. 已知 $$\lg 2 = a$$，$$\lg 3 = b$$，求 $$\log_{5} 12$$
$$\log_{5} 12 = \frac{{\lg 12}}{{\lg 5}} = \frac{{\lg (3 \times 4)}}{{1 - \lg 2}} = \frac{{\lg 3 + 2\lg 2}}{{1 - a}} = \frac{{b + 2a}}{{1 - a}}$$
答案：C