对数的运算性质-4.3 对数知识点教师选题进阶单选题自测题解析-甘肃省等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['对数（型）函数的单调性'， '对数的运算性质']

正确率60.0%已知$$a > b > 1，$$则下列不等式一定成立的是（）

A.$$\operatorname{l o g}_{a} ( \operatorname{l o g}_{a} b ) \cdot\operatorname{l o g}_{b} ( \operatorname{l o g}_{b} a ) > 0$$

B.$$\operatorname{l o g}_{a} ( \operatorname{l o g}_{a} b )+\operatorname{l o g}_{b} ( \operatorname{l o g}_{b} a ) > 0$$

C.$$\operatorname{l o g}_{a} ( \operatorname{l o g}_{b} a ) \cdot\operatorname{l o g}_{b} ( \operatorname{l o g}_{a} b ) > 0$$

D.$$\operatorname{l o g}_{a} ( \operatorname{l o g}_{b} a )+\operatorname{l o g}_{b} ( \operatorname{l o g}_{a} b ) > 0$$

2、['指数型函数模型的应用'， '指数方程与指数不等式的解法'， '对数的运算性质']

正确率60.0%生物有机体死亡后，体内碳$${{−}{{1}{4}}}$$元素便以$${{5}{{7}{3}{0}}}$$年的半衰期(放射性强度达到原值一半所需要的时间)开始衰变并逐渐减少.上世纪$${{5}{0}}$$年代，美国化学家利比发明了碳$${{−}{{1}{4}}}$$年代测定法，因此荣获$${{1}{{9}{6}{0}}}$$年的诺贝尔化学奖.考古学家利用此方法建立了测算年代的数学模型$$P=\overset{5} {\sqrt{0. 5^{t}}} ( P$$为碳$${{−}{{1}{4}}}$$元素剩余量与初始值之比$${，{t}}$$为生物死亡后的时间).在某处遗址，考古人员从样本组织中检测出碳$${{−}{{1}{4}}}$$元素剩余量与初始值之比为$${{7}{0}{%}{，}}$$因此推测此遗址大概距今$$( \operatorname{l g} 7 \approx0. 8 4 5 \; 1， \; \operatorname{l g} 2 \approx0. 3 0 1 \; 0 )$$（）

A.$${{2}{0}{0}{0}}$$年

B.$${{3}{0}{0}{0}}$$年

C.$${{4}{0}{0}{0}}$$年

D.$${{5}{0}{0}{0}}$$年

3、['实数指数幂的运算性质'， '对数的运算性质'， '幂指对综合比较大小']

正确率60.0%若$$m=0. 5^{2}， \， \， \， n=2^{0. 5}， \， \， \， p=l o g_{2} 0. 5$$，则（）

A.$$n > m > p$$

B.$$n > p > m$$

C.$$m > n > p$$

D.$$p > n > m$$

4、['等差数列的通项公式'， '实数指数幂的运算性质'， '等差数列的定义与证明'， '对数的运算性质']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$5^{a_{n+1}}=2 5 \cdot5^{a_{n}}$$，且$$a_{2}+a_{4}+a_{6}=9$$，则$$\operatorname{l o g}_{\frac{1} {3}} ( a_{5}+a_{7}+a_{9} )=$$（）

A.$${{−}{3}}$$

B.$${{3}}$$

C.$$- \frac{1} {3}$$

D.$$\frac{1} {3}$$

5、['对数（型）函数的定义域'， '对数的运算性质'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%实数$${{x}{，}{y}}$$满足等式$$\operatorname{l g} ( \operatorname{l g} y )=\operatorname{l g} ( x )+\operatorname{l g} ( 2-x )，$$则$${{y}}$$的取值范围是（）

A.$$( 1， ~ 1 0 ]$$

B.$$[ \frac{1} {1 0}， \; 1 0 ]$$

C.$$( 0， ~ 1 0 ]$$

D.$$( 1， ~+\infty)$$

6、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数的最大(小)值'， '对数的运算性质'， '分段函数模型的应用'， '分段函数的图象']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f \sp{(} \textbf{x} ) \sp{}=\left\{\begin{aligned} {a \cdot2 \sp{x}， \ x \leqslant0} \\ {l o g_{\frac{1} {2}} \textbf{x}， \ x > 0} \\ \end{aligned} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f \left( \textit{f} \left( \begin{matrix} {\boldsymbol{x}} \\ \end{matrix} \right) \right) \ =0$$有且仅有一个实数解，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( \mathrm{\mathbf{~-\infty， \ 0 ~}} )$$

B.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$

C.$$( \mathbf{\psi}-\infty， \ \mathbf{0} ) \ \cup\ ( \mathbf{0}， \ \mathbf{1} )$$

D. $\text{[math]}$

7、['有理数指数幂的运算性质'， '对数的运算性质'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率40.0%设$$x， ~ y， ~ z$$均大于$${{1}}$$，且$$l o g_{\sqrt{2}} x=l o g_{\sqrt{3}} y=l o g_{\sqrt{5}} z$$，令$$a=x^{\frac{1} {2}}， \， \， b=y^{\frac{1} {3}}， \， \， c=z^{\frac{1} {4}}$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系是（）

A.$$a > b > c$$

B.$$b > c > a$$

C.$$c > a > b$$

D.$$c > b > a$$

8、['实数指数幂的运算性质'， '对数的运算性质'， '分段函数求值']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {1-l o g_{3} ( 3-2 x )， x < 1} \\ {3^{x-1}， x \geq1} \\ \end{matrix} \right.$$，则$$f ~ ( ~-3 ) ~+f ~ ( ~ l o g_{3} {1 5} ) ~=~ ($$）

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{8}}$$

9、['实数指数幂的运算性质'， '对数的运算性质']

正确率60.0%若$$\operatorname{l o g}_{2} a < 0， ~ \left( \frac{1} {2} \right)^{b} > 1$$，< 0，{{left( dfrac{1}{2} right)}^{b}} >$${{1}}$$，则（）

A.$$a > 1， \; b > 0$$

B.$$a > 1， \; b < 0$$

C.$$0 < a < 1， \; b > 0$$< a < 1， b >$${{0}}$$

D.$$0 < a < 1， \; \; b < 0$$

10、['有理数指数幂的运算性质'， '对数的性质'， '对数的运算性质']

正确率60.0%实数$$\left( \frac{1} {2} \right)^{0}+\operatorname{l g} 4+2 \operatorname{l g} 5$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

1. 解析：

已知$$a > b > 1$$，分析各选项：

选项A：设$$a=10, b=2$$，则$$\log_{10}(\log_{10}2) \approx \log_{10}(0.3010) \approx -0.521$$，$$\log_{2}(\log_{2}10) \approx \log_{2}(3.3219) \approx 1.732$$，乘积为负，不成立。

选项B：同上，和为$$-0.521 + 1.732 > 0$$，但若取$$a=100, b=10$$，$$\log_{100}(\log_{100}10) = \log_{100}(0.5) \approx -0.1505$$，$$\log_{10}(\log_{10}100) = \log_{10}(2) \approx 0.3010$$，和为正，但无法保证所有情况成立。

选项C：设$$a=10, b=2$$，$$\log_{10}(\log_{2}10) \approx \log_{10}(3.3219) \approx 0.521$$，$$\log_{2}(\log_{10}2) \approx \log_{2}(0.3010) \approx -1.732$$，乘积为负，不成立。

选项D：设$$k = \log_{a} b$$，则$$\log_{b} a = \frac{1}{k}$$。原式化为$$\log_{a} \left( \frac{1}{k} \right) + \log_{b} k = -\log_{a} k + \frac{\log_{a} k}{\log_{a} b} = \log_{a} k \left( \frac{1}{\log_{a} b} - 1 \right)$$。由于$$a > b > 1$$，$$\log_{a} b < 1$$，故$$\frac{1}{\log_{a} b} - 1 > 0$$，且$$\log_{a} k < 0$$（因为$$k = \log_{a} b < 1$$），因此整个表达式为正。故选项D正确。

2. 解析：

根据模型$$P = \sqrt[5]{0.5^{t}} = 0.5^{t/5}$$，已知$$P = 0.7$$，则$$0.5^{t/5} = 0.7$$。取对数得$$\frac{t}{5} \log 0.5 = \log 0.7$$，即$$t = 5 \cdot \frac{\log 0.7}{\log 0.5} = 5 \cdot \frac{\lg 7 - 1}{\lg 2 - 1} \approx 5 \cdot \frac{0.8451 - 1}{0.3010 - 1} \approx 5 \cdot \frac{-0.1549}{-0.6990} \approx 5 \cdot 0.2216 \approx 1.108$$千年，即约$$3000$$年。故选B。

3. 解析：

计算各值：$$m = 0.5^{2} = 0.25$$，$$n = 2^{0.5} \approx 1.414$$，$$p = \log_{2} 0.5 = -1$$。因此$$n > m > p$$，选项A正确。

4. 解析：

由递推式$$5^{a_{n+1}} = 25 \cdot 5^{a_{n}}$$得$$a_{n+1} = a_{n} + 2$$，故数列为等差数列，公差为2。已知$$a_{2} + a_{4} + a_{6} = 9$$，即$$3a_{4} = 9$$，$$a_{4} = 3$$。因此$$a_{5} + a_{7} + a_{9} = 3a_{7} = 3(a_{4} + 6) = 27$$。$$\log_{\frac{1}{3}} 27 = -3$$，选项A正确。

5. 解析：

由$$\lg(\lg y) = \lg x + \lg(2-x)$$得$$\lg y = x(2-x)$$，且$$x(2-x) > 0$$，解得$$0 < x < 2$$。$$y = 10^{x(2-x)}$$，而$$x(2-x) \in (0,1]$$，故$$y \in (1,10]$$，选项A正确。

6. 解析：

方程$$f(f(x)) = 0$$有唯一解，需$$f(x)$$仅有唯一解使得$$f(t) = 0$$。当$$x > 0$$时，$$f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$$，其零点为$$x=1$$。因此$$f(x) = 1$$需有唯一解。当$$x \leq 0$$时，$$f(x) = a \cdot 2^{x}$$，需$$a \cdot 2^{x} = 1$$无解或解不唯一。若$$a \leq 0$$，$$a \cdot 2^{x} \leq 0$$，无解；若$$0 < a < 1$$，$$x = -\log_{2} a$$为唯一解。综上，$$a \in (-\infty,0) \cup (0,1)$$，选项C正确。

7. 解析：

设$$\log_{\sqrt{2}} x = \log_{\sqrt{3}} y = \log_{\sqrt{5}} z = k$$，则$$x = 2^{k}$$，$$y = 3^{k}$$，$$z = 5^{k}$$。因此$$a = 2^{k/2}$$，$$b = 3^{k/3}$$，$$c = 5^{k/4}$$。比较指数：$$\frac{k}{2}$$，$$\frac{k}{3}$$，$$\frac{k}{4}$$，由于$$k > 0$$，显然$$a > b > c$$，选项A正确。

8. 解析：

计算$$f(-3) = 1 - \log_{3}(3 - 2 \cdot (-3)) = 1 - \log_{3} 9 = -1$$。$$f(\log_{3} 15) = 3^{\log_{3} 15 - 1} = \frac{15}{3} = 5$$。故$$f(-3) + f(\log_{3} 15) = 4$$，选项B正确。

9. 解析：

由$$\log_{2} a < 0$$得$$0 < a < 1$$；由$$\left( \frac{1}{2} \right)^{b} > 1$$得$$b < 0$$（因为$$\frac{1}{2} < 1$$）。故选项D正确。

10. 解析：

计算$$\left( \frac{1}{2} \right)^{0} + \lg 4 + 2 \lg 5 = 1 + \lg 4 + \lg 25 = 1 + \lg 100 = 1 + 2 = 3$$，选项C正确。

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