对数的换底公式及其推论-4.3 对数知识点教师选题进阶选择题自测题解析-云南省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%若$$\frac1 m=\operatorname{l o g}_{2} 5，$$则$$2 5^{m}+5^{-m}$$的值为（）

A.$$\frac{1 0} {3}$$

B.$$\frac{9} {2}$$

C.$$\frac{2 4} {5}$$

D.$$\frac{2 6} {5}$$

2、['对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%设$$\operatorname{l o g}_{3} 4 \cdot\operatorname{l o g}_{4} 8 \cdot\operatorname{l o g}_{8} m=\operatorname{l o g}_{4} 1 6，$$则$${{m}}$$的值为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{9}}$$

C.$${{1}{8}}$$

D.$${{2}{7}}$$

3、['基本不等式的综合应用'， '对数式的大小的比较'， '对数的换底公式及其推论']

正确率40.0%已知$$5^{5} < 8^{4}， ~ 1 3^{4} < 8^{5}，$$设$$a=\operatorname{l o g}_{5} 3， \， \， \， b=\operatorname{l o g}_{8} 5， \， \， \， c=\operatorname{l o g}_{1 3} 8，$$则（）

A.$$a < b < c$$

B.$$b < a < c$$

C.$$b < c < a$$

D.$$c < a < b$$

4、['公式法求和'， '对数的运算性质'， '数列中的新定义问题'， '分组求和法'， '对数的换底公式及其推论']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{1}}$$，$$a_{n}=\operatorname{l o g}_{n} ( n+1 )$$（$${{n}{⩾}{2}}$$，$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$），定义：使乘积$$a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot\ldots a_{k}$$为正整数的$${{k}}$$（$${{k}{∈}{{N}^{∗}}}$$）叫做$${{“}}$$幸运数$${{”}}$$，则在$$[ 1， 2 ~ 0 2 2 ]$$内的所有$${{“}}$$幸运数$${{”}}$$的和为（）

A.$${{2}{{0}{4}{6}}}$$

B.$${{4}{{0}{8}{3}}}$$

C.$${{4}{{0}{9}{4}}}$$

D.$${{2}{{0}{3}{6}}}$$

5、['对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%设$$a， ~ b， ~ c$$均为正数，且$$3^{a}=4^{b}=6^{c}，$$则（）

A.$$\frac1 c=\frac1 a+\frac1 b$$

B.$$\frac{2} {c}=\frac{2} {a}+\frac{1} {b}$$

C.$$\frac1 c=\frac2 a+\frac2 b$$

D.$$\frac{2} {c}=\frac{1} {a}+\frac{2} {b}$$

6、['对数恒等式'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%设$$a \operatorname{l o g}_{3} 4=2，$$则$$4^{-a}=$$（）

A.$$\frac{1} {1 6}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{1} {8}$$

D.$$\frac{1} {6}$$

7、['展开式中的特定项或特定项的系数'， '对数的换底公式及其推论']

正确率40.0%已知$$a=l o g_{2} 3 \cdot l o g_{3} 4$$，则$$( \ a x+\frac{1} {x^{2}} )^{6}$$的展开式中的常数项为（）

A.$${{1}{5}}$$

B.$${{6}{0}}$$

C.$${{1}{2}{0}}$$

D.$${{2}{4}{0}}$$

8、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%已知$$1 8^{a}=9， 1 8^{b}=5， ~ \operatorname{l o g}_{3 6} 4 5$$的值用$${{a}{，}{b}}$$表示为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{a+b} {2+a}$$

B.$$\frac{a-b} {2+a}$$

C.$$\frac{a+b} {2-a}$$

D.$$\frac{a-b} {2-a}$$

9、['函数的综合问题'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l o g_{\frac{1} {2}} \ \left( \begin{matrix} {2-x} \\ \end{matrix} \right) \ -1 o g_{2} \ \left( \begin{matrix} {x+4} \\ \end{matrix} \right)$$，则下列结论中正确的是（）

A.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的定义域是$$[-4， ~ 2 ]$$

B.函数$$y=f ~ ( x-1 )$$是偶函数

C.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在区间$$[-1， \ 2 )$$上是减函数

D.函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象关于直线$${{x}{=}{1}}$$轴对称

10、['对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%设$$P=\frac1 {\operatorname{l o g}_{2} 1 1}+\frac1 {\operatorname{l o g}_{3} 1 1}+\frac1 {\operatorname{l o g}_{4} 1 1}+\frac1 {\operatorname{l o g}_{5} 1 1}$$，则（）

A.$$0 < P < 1$$

B.$$1 < P < 2$$

C.$$2 < P < 3$$

D.$$3 < P < 4$$

1. 解析：由$$\frac1 m=\log_2 5$$，得$$m=\log_5 2$$。将$$m$$代入表达式：

$$25^m + 5^{-m} = (5^2)^{\log_5 2} + 5^{-\log_5 2} = 5^{2\log_5 2} + 2^{-1} = (5^{\log_5 2})^2 + \frac1 2 = 2^2 + \frac1 2 = 4 + \frac1 2 = \frac9 2$$

答案为$$\boxed{B}$$。

2. 解析：利用换底公式化简：

$$\log_3 4 \cdot \log_4 8 \cdot \log_8 m = \log_4 16$$

$$\frac{\ln 4}{\ln 3} \cdot \frac{\ln 8}{\ln 4} \cdot \frac{\ln m}{\ln 8} = \frac{\ln 16}{\ln 4}$$

$$\frac{\ln m}{\ln 3} = 2 \Rightarrow \ln m = 2\ln 3 \Rightarrow m = 9$$

答案为$$\boxed{B}$$。

3. 解析：由$$5^5 < 8^4$$取对数得$$5\log_5 5 < 4\log_5 8 \Rightarrow 5 < 4b \Rightarrow b > \frac5 4$$。

由$$13^4 < 8^5$$取对数得$$4\log_{13} 13 < 5\log_{13} 8 \Rightarrow 4 < 5c \Rightarrow c > \frac4 5$$。

又$$a=\log_5 3$$，比较$$a, b, c$$：

$$\log_5 3 < \log_5 5 = 1$$，而$$b > \frac5 4 > 1$$，且$$c > \frac4 5$$，但$$c=\log_{13} 8 < \log_{13} 13 = 1$$。

进一步比较$$a$$和$$c$$：

$$a=\log_5 3 \approx 0.6826$$，$$c=\log_{13} 8 \approx 0.8461$$，故$$a < c < b$$。

答案为$$\boxed{C}$$。

4. 解析：乘积$$a_1 \cdot a_2 \cdots a_k = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdots \log_k (k+1) = \log_2 (k+1)$$。

要求$$\log_2 (k+1)$$为正整数，即$$k+1=2^n$$，$$n \in \mathbb{N}^*$$。

$$k=2^n-1 \leq 2022 \Rightarrow n \leq 10$$（因$$2^{11}-1=2047 > 2022$$）。

幸运数为$$k=2^1-1, 2^2-1, \ldots, 2^{10}-1$$，和为$$\sum_{n=1}^{10} (2^n-1) = 2^{11}-2-10 = 2046 - 10 = 2036$$。

答案为$$\boxed{D}$$。

5. 解析：设$$3^a = 4^b = 6^c = t$$，取对数得：

$$a = \frac{\ln t}{\ln 3}, \quad b = \frac{\ln t}{\ln 4}, \quad c = \frac{\ln t}{\ln 6}$$

代入选项验证：

$$\frac1 a + \frac1 b = \frac{\ln 3 + \ln 4}{\ln t} = \frac{\ln 12}{\ln t}$$，而$$\frac1 c = \frac{\ln 6}{\ln t}$$，不匹配。

$$\frac2 a + \frac1 b = \frac{2\ln 3 + \ln 4}{\ln t} = \frac{\ln 36}{\ln t}$$，而$$\frac2 c = \frac{2\ln 6}{\ln t} = \frac{\ln 36}{\ln t}$$，匹配。

答案为$$\boxed{B}$$。

6. 解析：由$$a \log_3 4 = 2$$得$$a = \frac{2}{\log_3 4}$$。

$$4^{-a} = (4^{\log_3 4})^{-2} = 4^{-\log_3 4^2} = 4^{-\log_3 16}$$

利用换底公式：$$4^{-\log_3 16} = 3^{-\log_4 16 \cdot \log_3 4} = 3^{-2 \cdot \log_3 4} = 3^{\log_3 4^{-2}} = 4^{-2} = \frac1 {16}$$。

答案为$$\boxed{A}$$。

7. 解析：化简$$a = \log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4 = 2$$。

展开式$$(2x + \frac1 {x^2})^6$$的通项为$$C_6^k (2x)^k \left(\frac1 {x^2}\right)^{6-k} = C_6^k 2^k x^{3k-12}$$。

令$$3k-12=0$$得$$k=4$$，常数项为$$C_6^4 2^4 = 15 \times 16 = 240$$。

答案为$$\boxed{D}$$。

8. 解析：由$$18^a = 9$$得$$a = \log_{18} 9$$，由$$18^b = 5$$得$$b = \log_{18} 5$$。

$$\log_{36} 45 = \frac{\log_{18} 45}{\log_{18} 36} = \frac{\log_{18} 9 + \log_{18} 5}{\log_{18} 18 + \log_{18} 2} = \frac{a + b}{1 + \log_{18} 2}$$

又$$\log_{18} 2 = \log_{18} \frac{18} 9 = 1 - a$$，故$$\log_{36} 45 = \frac{a + b}{2 - a}$$。

答案为$$\boxed{C}$$。

9. 解析：函数定义域需满足$$2 - x > 0$$且$$x + 4 > 0$$，即$$x \in (-4, 2)$$，选项A错误。

对于选项B，$$y = f(x-1)$$的定义域为$$x \in (-3, 3)$$，非对称，不是偶函数。

对于选项C，$$f(x)$$在$$[-1, 2)$$上$$2-x$$递减，$$\log_{\frac1 2}$$递减，$$x+4$$递增，$$-\log_2$$递减，整体递减，正确。

对于选项D，$$f(x)$$的对称性需验证$$f(2 - x) = f(x)$$，不成立。

答案为$$\boxed{C}$$。

10. 解析：利用换底公式：

$$P = \log_{11} 2 + \log_{11} 3 + \log_{11} 4 + \log_{11} 5 = \log_{11} (2 \times 3 \times 4 \times 5) = \log_{11} 120$$

$$11^2 = 121 > 120$$，故$$1 < P < 2$$。

答案为$$\boxed{B}$$。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}