指数与对数的关系-4.3 对数知识点教师选题基础单选题自测题答案-贵州省等高一数学必修,平均正确率60.0%

1、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系']

正确率60.0%英国物理学家和数学家牛顿提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是$${{θ}^{∘}_{1}{C}{，}}$$环境温度是$${{θ}^{∘}_{0}{C}{，}}$$那么经过$${{t}{{m}{i}{n}}}$$后物体的温度$${{θ}}$$$${{(}}$$单位：$${^{∘}{C}{)}}$$满足$$\theta=\theta_{0}+( \theta_{1}-\theta_{0} ) \mathrm{e}^{-k t}，$$其中$${{k}}$$是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有$${{9}{0}^{∘}{C}}$$的物体，若放在$${{1}{0}^{∘}{C}}$$的空气中冷却，则经过$${{1}{0}{{m}{i}{n}}}$$后物体的温度为$${{5}{0}^{∘}{C}{，}}$$若使物体的温度为$${{2}{0}^{∘}{C}{，}}$$则需要冷却（）

A.$${{1}{7}{.}{5}{{m}{i}{n}}}$$

B.$${{2}{5}{.}{5}{{m}{i}{n}}}$$

C.$${{3}{0}{{m}{i}{n}}}$$

D.$${{3}{2}{.}{5}{{m}{i}{n}}}$$

2、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%已知$${{4}^{m}{=}{{3}^{n}}{=}{k}}$$，且$${{2}{m}{+}{n}{=}{m}{n}{≠}{0}}$$，则$${{k}{=}{（}}$$）

A.$${{1}{8}}$$

B.$${{2}{6}}$$

C.$${{3}{6}}$$

D.$${{4}{2}}$$

3、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '指数与对数的关系'， '不等式比较大小']

正确率40.0%已知$$x=3^{\operatorname{l n} 2}， ~ y=2^{\operatorname{l n} 3}$$，$${{z}{=}{2}}$$，则$${{x}{，}{y}{，}{z}}$$的大小关系是（）

A.$${{x}{>}{y}{>}{z}}$$

B.$${{y}{>}{x}{>}{z}}$$

C.$${{x}{=}{y}{>}{z}}$$

D.$${{y}{>}{z}{>}{x}}$$

5、['函数图象的平移变换'， '指数与对数的关系']

正确率60.0%把函数$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$的图象向右平移$${{t}}$$个单位长度，所得图象对应的函数解析式为$$y=\frac{2^{x}} {3}$$，则$${{t}}$$的值为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{l}{o}{{g}_{2}}{3}}$$

C.$${{l}{o}{{g}_{3}}{2}}$$

D.$${\sqrt {3}}$$

6、['指数与对数的关系']

正确率60.0%若$${{x}{，}{y}{∈}{R}}$$，且$$2^{x}=1 8^{y}=6^{x y}$$，则$${{x}{+}{y}}$$为（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{1}}$$或$${{2}}$$

D.$${{0}}$$或$${{2}}$$

7、['对数（型）函数的单调性'， '指数与对数的关系'， '函数零点存在定理']

正确率60.0%若实数$${{(}{x}{>}{0}{)}}$$满足$${{2}^{a}{=}{3}{，}{{3}^{b}}{=}{2}}$$，则函数$${{x}{>}{0}}$$的零点所在的区间是$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{−}{2}{，}{−}{1}{)}}$$

B.$${{(}{−}{1}{，}{0}{)}}$$

C.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$

D.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$

8、['指数函数的定义'， '函数求值'， '指数与对数的关系'， '反函数的性质'， '反函数的定义']

正确率40.0%若函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{{a}^{x}}{(}{a}{>}{0}}$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的图象与函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称，且$${{f}{(}{4}{)}{=}{1}}$$，则$$f ( 2 )+g ( \frac{1} {2} )=$$（）

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{5} {2}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

9、['指数与对数的关系'， '函数求解析式']

正确率60.0%已知$${{f}{(}{{2}^{x}}{)}{=}{2}{x}{+}{1}}$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的表达式是$${{(}{)}}$$

A.$${{f}{(}{x}{)}{=}{2}{{l}{o}{g}_{2}}{x}{+}{1}}$$

B.$${{f}{(}{x}{)}{=}{{2}^{x}}{+}{1}{(}{x}{>}{0}{)}}$$

C.$$f ( x )=2^{x+1}+1 ( x > 0 )$$

D.$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}{+}{1}}$$

10、['指数与对数的关系'， '分段函数求值'， '对数函数的定义']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \operatorname{l o g}_{2} ( x+1 )， \ x \geqslant6，} \\ {} & {{} f ( x+2 )， \ x < 6，} \\ \end{aligned} \right.$$则$${{f}{(}{5}{)}{=}}$$（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

1. 根据冷却模型公式 $$\theta=\theta_{0}+( \theta_{1}-\theta_{0} ) \mathrm{e}^{-k t}$$，代入初始条件：

初始温度 $$\theta_1 = 90^\circ C$$，环境温度 $$\theta_0 = 10^\circ C$$，经过 $$t = 10 \text{min}$$ 后温度为 $$50^\circ C$$，代入得： $$50 = 10 + (90 - 10)e^{-10k}$$ 解得 $$e^{-10k} = \frac{40}{80} = 0.5$$，即 $$k = \frac{\ln 2}{10}$$。

要求温度降至 $$20^\circ C$$，代入公式： $$20 = 10 + (90 - 10)e^{-kt}$$ 解得 $$e^{-kt} = \frac{10}{80} = 0.125$$，即 $$t = \frac{\ln 8}{k} = \frac{3 \ln 2}{\frac{\ln 2}{10}} = 30 \text{min}$$。

正确答案：C

2. 由 $$4^m = 3^n = k$$，取对数得 $$m = \frac{\ln k}{\ln 4}$$，$$n = \frac{\ln k}{\ln 3}$$。

代入 $$2m + n = mn$$： $$2 \cdot \frac{\ln k}{\ln 4} + \frac{\ln k}{\ln 3} = \frac{\ln k}{\ln 4} \cdot \frac{\ln k}{\ln 3}$$ 化简得 $$\ln k = \ln 4 + 2 \ln 3 = \ln (4 \times 9) = \ln 36$$，故 $$k = 36$$。

正确答案：C

3. 比较 $$x = 3^{\ln 2}$$ 和 $$y = 2^{\ln 3}$$，取自然对数：

$$\ln x = \ln 2 \cdot \ln 3$$，$$\ln y = \ln 3 \cdot \ln 2$$，故 $$\ln x = \ln y$$，即 $$x = y$$。而 $$z = 2$$，比较 $$x = 3^{\ln 2} \approx 2.19 > 2 = z$$，因此 $$x = y > z$$。

正确答案：C

5. 平移后的函数为 $$y = 2^{x - t}$$，与给定解析式 $$y = \frac{2^x}{3}$$ 对比：

$$2^{x - t} = \frac{2^x}{3}$$，即 $$2^{-t} = \frac{1}{3}$$，解得 $$t = \log_2 3$$。

正确答案：B

6. 设 $$2^x = 18^y = 6^{xy} = k$$，取对数得：

$$x = \log_2 k$$，$$y = \log_{18} k$$，$$xy = \log_6 k$$。由换底公式，$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{\ln 2 + \ln 18}{\ln k} = \frac{\ln 36}{\ln k}$$，而 $$\frac{1}{xy} = \frac{\ln 6}{\ln k}$$。解得 $$\frac{\ln 36}{\ln k} = \frac{\ln 6}{\ln k}$$，矛盾，需重新推导。

直接设 $$2^x = 6^{xy}$$，得 $$x = xy \log_2 6$$，即 $$y = \frac{1}{\log_2 6}$$。同理 $$18^y = 6^{xy}$$ 得 $$x = \frac{1}{\log_{18} 6}$$。验证 $$x + y = \frac{1}{\log_{18} 6} + \frac{1}{\log_2 6} = \log_6 18 + \log_6 2 = \log_6 36 = 2$$。

正确答案：D

7. 题目描述不完整，无法解析。

8. 函数 $$g(x) = a^x$$ 与 $$y = f(x)$$ 关于 $$y = x$$ 对称，故 $$f(x) = \log_a x$$。

由 $$f(4) = 1$$，得 $$\log_a 4 = 1$$，即 $$a = 4$$。因此 $$f(2) + g\left(\frac{1}{2}\right) = \log_4 2 + 4^{1/2} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$。

正确答案：B

9. 设 $$u = 2^x$$，则 $$x = \log_2 u$$，代入 $$f(2^x) = 2x + 1$$ 得：

$$f(u) = 2 \log_2 u + 1$$，即 $$f(x) = 2 \log_2 x + 1$$。

正确答案：A

10. 根据分段函数定义：

$$f(5) = f(5 + 2) = f(7)$$， $$f(7) = \log_2 (7 + 1) = \log_2 8 = 3$$。

正确答案：B

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}