对数恒等式-4.3 对数知识点课后进阶选择题自测题答案-河南省等高一数学必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['对数恒等式'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%设$$a \operatorname{l o g}_{3} 4=2，$$则$$4^{-a}=$$（）

A.$$\frac{1} {1 6}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{1} {8}$$

D.$$\frac{1} {6}$$

2、['抽象函数的应用'， '等比数列的通项公式'， '裂项相消法求和'， '等比数列的定义与证明'， '对数恒等式']

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$对任意实数$${{a}{，}{b}}$$满足$$f \left( \begin{matrix} {a+b} \\ \end{matrix} \right) ~=f \left( \begin{matrix} {a} \\ \end{matrix} \right) ~ \cdot f \left( \begin{matrix} {b} \\ \end{matrix} \right)$$，且$$f \ ( \textbf{1} ) \ =2$$，若$$a_{n}=l o g_{2} f \left( \begin{matrix} {n} \\ \end{matrix} \right) \ \ ( \begin{matrix} {n \in N^{*}} \\ \end{matrix} )$$，则数列$$\{\frac{1} {a_{n} a_{n+1}} \}$$的前$${{9}}$$项和为（）

A.$${{9}}$$

B.$$\frac{8} {9}$$

C.$$\frac{9} {1 0}$$

D.$${{1}}$$

3、['指数（型）函数的单调性'， '对数恒等式'， '不等式比较大小']

正确率40.0%已知$$a=\left( \sqrt{2} \right)^{\frac{1 2} {5}}， \ b=9^{\frac{2} {5}}， \ c=4^{\operatorname{l o g}_{4} e^{2}}$$，则下列结论成立的是（）

A.$$a < b < c$$

B.$$c < b < a$$

C.$$b < a < c$$

D.$$a < c < b$$

4、['对数恒等式'， '分段函数的图象']

正确率60.0%函数$$y=e^{| l n x |}$$的图象大致为$${{(}{)}}$$

A.svg异常

B.svg异常

C.svg异常

D.svg异常

5、['同一函数'， '对数恒等式']

正确率60.0%与函数$$y=2^{l o g_{4} x^{-2}}$$为同一函数的是（）

A.$${{y}{=}{x}}$$

B.$$y=\frac{1} {| x |}$$

C.$$y=\frac{1} {x}$$

D.$$y=-\frac{1} {x}$$

6、['实数指数幂的运算性质'， '对数恒等式']

正确率60.0%$$2^{-1+\operatorname{l o g}_{2} \sqrt2}=$$（）

A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$$\frac1 2+\sqrt2$$

D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

7、['对数恒等式'， '分段函数求值']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {l o g_{3} ( 4-x ) ( x < 3 )} \\ {3^{x-2} ( x \geqslant3 )} \\ \end{array} \right.$$，则$$f ( \operatorname{l o g}_{3} 3 6 )+f ( 1 )=( \mathbf{\Lambda} )$$

A.$${{6}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{1}}$$

8、['对数恒等式'， '对数的运算性质'， '分段函数求值']

正确率60.0%若$$f ( x )=\left\{{3^{x}， \ \ x \in[-1， \ 0 ) \atop( {\frac{1} {3}} )^{x}， \ x \in[ 0， \ 1 ]} \right.$$，则$$f ( l o g_{3} 2 )$$的值为（）

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

9、['对数恒等式'， '对数的运算性质']

正确率60.0%$$1 0^{l g 2}+l g 5+l g 2=\c4$$）

A.$${{3}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$${{0}}$$

10、['对数恒等式'， '对数的运算性质'， '分段函数求值']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {{( \frac{1} {2} )}^{x}， x \geq4} \\ {{f ( x+1 )}， x < 4} \\ \end{array} \right.$$，则$$f ( 2-\operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}} 3 )=\langle($$）

A.$$\frac{1} {2 4}$$

B.$$\frac1 {1 2}$$

C.$$\frac{1} {8}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {8}} \\ \end{array}$$

1. 解析：由 $$a \log_{3} 4 = 2$$，解得 $$a = \frac{2}{\log_{3} 4}$$。利用换底公式，$$\log_{3} 4 = \frac{\ln 4}{\ln 3}$$，因此 $$a = \frac{2 \ln 3}{\ln 4}$$。计算 $$4^{-a}$$：

$$4^{-a} = e^{-a \ln 4} = e^{-\frac{2 \ln 3}{\ln 4} \cdot \ln 4} = e^{-2 \ln 3} = \frac{1}{9}$$。

答案为 B。

2. 解析：由函数性质 $$f(a+b) = f(a) \cdot f(b)$$ 且 $$f(1) = 2$$，可知 $$f(n) = 2^n$$。因此 $$a_n = \log_{2} f(n) = n$$。数列 $$\frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{n(n+1)}$$，前 9 项和为：

$$\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$$。

答案为 C。

3. 解析：比较 $$a = 2^{\frac{6}{5}}$$，$$b = 3^{\frac{4}{5}}$$，$$c = e^2$$。近似计算：

$$a \approx 2^{1.2} \approx 2.297$$，$$b \approx 3^{0.8} \approx 2.408$$，$$c \approx 7.389$$。

因此 $$a < b < c$$，答案为 A。

4. 解析：函数 $$y = e^{|\ln x|}$$ 可分段表示为：

$$y = \begin{cases} x & \text{当 } x \geq 1 \\ \frac{1}{x} & \text{当 } 0 < x < 1 \end{cases}$$。

图像在 $$x \geq 1$$ 时为直线 $$y = x$$，在 $$0 < x < 1$$ 时为双曲线 $$y = \frac{1}{x}$$。答案为 D。

5. 解析：化简 $$y = 2^{\log_{4} x^{-2}}$$：

$$\log_{4} x^{-2} = \frac{\ln x^{-2}}{\ln 4} = -\frac{\ln x}{\ln 2}$$，因此 $$y = 2^{-\frac{\ln x}{\ln 2}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$$。

答案为 C。

6. 解析：计算 $$2^{-1 + \log_{2} \sqrt{2}}$$：

$$\log_{2} \sqrt{2} = \frac{1}{2}$$，因此 $$2^{-1 + \frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。

答案为 A。

7. 解析：计算 $$f(\log_{3} 36)$$ 和 $$f(1)$$：

- $$\log_{3} 36 > 3$$，因此 $$f(\log_{3} 36) = 3^{\log_{3} 36 - 2} = \frac{36}{9} = 4$$。 - $$f(1) = \log_{3} (4 - 1) = 1$$。

总和为 $$4 + 1 = 5$$，答案为 B。

8. 解析：$$\log_{3} 2 \in [0, 1]$$，因此 $$f(\log_{3} 2) = \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{3} 2} = 3^{-\log_{3} 2} = \frac{1}{2}$$。

答案为 B。

9. 解析：计算 $$10^{\lg 2} + \lg 5 + \lg 2$$：

$$10^{\lg 2} = 2$$，$$\lg 5 + \lg 2 = \lg 10 = 1$$，总和为 $$2 + 1 = 3$$。

答案为 A。

10. 解析：计算 $$2 - \log_{\frac{1}{2}} 3$$：

$$\log_{\frac{1}{2}} 3 = -\log_{2} 3$$，因此 $$2 - \log_{\frac{1}{2}} 3 = 2 + \log_{2} 3 \in (3, 4)$$。递归调用 $$f(x) = f(x+1)$$ 直到 $$x \geq 4$$： $$f(2 - \log_{\frac{1}{2}} 3) = f(3 + \log_{2} 3) = f(4 + \log_{2} 3 - 1) = \left(\frac{1}{2}\right)^{4 + \log_{2} 3 - 1} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{24}$$。

答案为 A。

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