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正确率80.0%若函数$$f ( x )=\operatorname{l g} ( a x^{2}-2 x+a )$$的定义域为$${{R}{，}}$$则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$(-1， \ 0 )$$
B.$$[-1， ~ 1 ]$$
C.$$( 0， \ 1 )$$
D.$$( 1， ~+\infty)$$
3、['利用基本不等式求最值'， '对数函数的定义']正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}}$$均为正数，函数$$f ( x )=a \operatorname{l o g}_{2} x+b$$的图像过点$$( 4， 1 )，$$则$$\frac{a+2 b} {a b}$$的最小值为（）
D
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
4、['基本不等式的综合应用'， '对数函数的定义'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=x^{2}+b x+c$$满足$$f ( 2-x )=f \left( 2+x \right)， \， \， f ( 0 ) > 0$$，且$$f ( m )=f ( n )=0 ( m \neq n )$$，则$$\operatorname{l o g}_{4} m-\operatorname{l o g}_{\frac1 4} n$$的值（）
A
A.小于$${{1}}$$
B.等于$${{1}}$$
C.大于$${{1}}$$
D.由$${{b}}$$的符号确定
5、['并集'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '对数函数的定义']正确率80.0%已知集合$$A=\{x | \frac{2} {x} > 1 \}， B=\{x | \operatorname{l g} x < 0 \}$$，则$$A \cup B=\omicron$$）
B
A.$$\{x | 0 < x < 1 \}$$
B.$$\{x | 0 < x < 2 \}$$
C.$$\{x | 1 < x < 2 \}$$
D.$${{R}}$$
6、['指数函数的定义'， '不等式比较大小'， '对数函数的定义'， '幂函数的定义']正确率60.0%已知$$x \in{\textit{(}} \frac{1} {2}， \ 1 \ro{)} \， \ a=x^{\frac{1} {2}}，$$$$b=2^{x-1}， \， \， \， c=\operatorname{l n} \， \， x+1$$，则下列关系正确的是（）
A
A.$$c < b < a$$
B.$$c < a < b$$
C.$$b < c < a$$
D.$$a < c < b$$
7、['对数（型）函数的单调性'， '对数函数的定义']正确率60.0%设$$a=\mathit{( \frac{1} {2} )}^{\frac{1} {3}}， \ b=l o g_{\frac{1} {3}} 2， \ c=l o g_{\frac{1} {2}} 3$$，则（）
A
A.$$a > b > c$$
B.$$a > c > b$$
C.$$b > c > a$$
D.$$c > a > b$$
8、['对数（型）函数过定点'， '对数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的值域'， '对数函数的定义'， '函数求定义域']正确率60.0%函数$$y=\operatorname{l o g}_{2} x+\operatorname{l o g}_{x} {( 2 x )}$$的值域是 （）
D
A.$$(-\infty，-1 ]$$
B.$$[ 3，+\infty)$$
C.$$[-1， 3 ]$$
D.$$(-\infty，-1 ] \cup[ 3，+\infty)$$
9、['对数式的大小的比较'， '对数（型）函数的单调性'， '对数的性质'， '对数的运算性质'， '对数函数的定义']正确率60.0%设$$a=\operatorname{l o g} \frac{1} {2} \mathrm{}^{6}，$$$$b=\operatorname{l o g}_{\mathrm{\frac{1} {4}}} ~^{1 2，}$$$$c=\operatorname{l o g}_{\mathrm{1}} 1 5$$，则（）
A
A.$$a < b < c$$
B.$$c < b < a$$
C.$$b < a < c$$
D.$$c < a < b$$
10、['对数的运算性质'， '对数函数的定义']正确率60.0%函数$$f ( x )=( a^{2}+a-5 ) \mathrm{l o g}_{a} x$$为对数函数，则$$f \left( \frac{1} {8} \right)$$等于（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{−}{{l}{o}{g}_{3}}{6}}$$
D.$${{−}{{l}{o}{g}_{3}}{8}}$$
1. 函数 $$f(x) = \lg(ax^2 - 2x + a)$$ 的定义域为 $$R$$，需满足 $$ax^2 - 2x + a > 0$$ 对所有 $$x \in R$$ 恒成立。
当 $$a = 0$$ 时，不等式为 $$-2x > 0$$，不恒成立。
当 $$a \neq 0$$ 时，需满足 $$a > 0$$ 且判别式 $$\Delta = (-2)^2 - 4a \cdot a < 0$$，即 $$4 - 4a^2 < 0$$，解得 $$a^2 > 1$$，结合 $$a > 0$$ 得 $$a > 1$$。
综上，$$a > 1$$，对应选项 D。
3. 函数 $$f(x) = a \log_2 x + b$$ 过点 $$(4, 1)$$，代入得 $$a \log_2 4 + b = 1$$，即 $$2a + b = 1$$。
目标式 $$\frac{a + 2b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{2}{a}$$。
由 $$2a + b = 1$$ 且 $$a, b > 0$$，应用柯西不等式：$$\left( \frac{1}{b} + \frac{2}{a} \right)(b + 2a) \geq (1 + 2)^2 = 9$$，即 $$\frac{1}{b} + \frac{2}{a} \geq 9$$，当且仅当 $$\frac{1}{b} / 1 = \frac{2}{a} / 2$$ 即 $$a = b$$ 时取等，此时 $$2a + a = 1$$，$$a = b = \frac{1}{3}$$，满足正数条件。
最小值为 9，对应选项 D。
4. 函数 $$f(x) = x^2 + bx + c$$ 满足 $$f(2 - x) = f(2 + x)$$，说明对称轴为 $$x = 2$$，即 $$-\frac{b}{2} = 2$$，得 $$b = -4$$。
$$f(0) = c > 0$$，且 $$f(m) = f(n) = 0$$，由对称性知 $$m + n = 4$$。
$$\log_4 m - \log_{\frac{1}{4}} n = \log_4 m + \log_4 n = \log_4 (mn)$$。
由韦达定理，$$mn = c$$，且 $$c > 0$$，但 $$c$$ 值不确定。考虑 $$f(x) = (x - m)(x - n)$$，则 $$c = mn$$，且由 $$f(0) > 0$$ 得 $$mn > 0$$。
$$\log_4 (mn)$$ 与 1 比较，即比较 $$mn$$ 与 4。由 $$m + n = 4$$ 且 $$m \neq n$$，由均值不等式 $$mn < \left( \frac{m + n}{2} \right)^2 = 4$$，故 $$\log_4 (mn) < 1$$。
对应选项 A。
5. 集合 $$A = \{ x \mid \frac{2}{x} > 1 \}$$，解不等式 $$\frac{2}{x} > 1$$，当 $$x > 0$$ 时得 $$2 > x$$，即 $$0 < x < 2$$；当 $$x < 0$$ 时不等式恒不成立。故 $$A = (0, 2)$$。
集合 $$B = \{ x \mid \lg x < 0 \}$$，即 $$0 < x < 1$$。
$$A \cup B = (0, 2)$$，对应选项 B。
6. 给定 $$x \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$$，比较 $$a = x^{\frac{1}{2}}$$, $$b = 2^{x - 1}$$, $$c = \ln x + 1$$。
取 $$x = 0.6$$，计算：$$a \approx 0.7746$$, $$b = 2^{-0.4} \approx 0.7579$$, $$c = \ln 0.6 + 1 \approx -0.5108 + 1 = 0.4892$$。
故 $$c < b < a$$，对应选项 A。
7. 比较 $$a = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}}$$, $$b = \log_{\frac{1}{3}} 2$$, $$c = \log_{\frac{1}{2}} 3$$。
$$a \approx 0.7937$$，$$b = \frac{\ln 2}{\ln \frac{1}{3}} \approx \frac{0.6931}{-1.0986} \approx -0.6309$$，$$c = \frac{\ln 3}{\ln \frac{1}{2}} \approx \frac{1.0986}{-0.6931} \approx -1.5850$$。
故 $$a > b > c$$，对应选项 A。
8. 函数 $$y = \log_2 x + \log_x (2x)$$，定义域 $$x > 0$$ 且 $$x \neq 1$$。
化简：$$\log_x (2x) = \log_x 2 + \log_x x = \log_x 2 + 1 = \frac{1}{\log_2 x} + 1$$。
令 $$t = \log_2 x$$，则 $$y = t + \frac{1}{t} + 1$$，$$t \neq 0$$。
由不等式，当 $$t > 0$$ 时 $$t + \frac{1}{t} \geq 2$$，当 $$t < 0$$ 时 $$t + \frac{1}{t} \leq -2$$。
故 $$y \geq 3$$ 或 $$y \leq -1$$，值域为 $$(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$$，对应选项 D。
9. 比较 $$a = \log_{\frac{1}{2}} 6$$, $$b = \log_{\frac{1}{4}} 12$$, $$c = \log_1 15$$。
注意 $$\log_1 15$$ 无定义，但通常约定底数不为 1，疑为笔误，可能为 $$\log_{10} 15$$ 或其他。假设为 $$\log_{10} 15$$。
$$a = \frac{\ln 6}{\ln \frac{1}{2}} \approx \frac{1.7918}{-0.6931} \approx -2.5850$$，$$b = \frac{\ln 12}{\ln \frac{1}{4}} \approx \frac{2.4849}{-1.3863} \approx -1.7925$$，$$c = \log_{10} 15 \approx 1.1761$$。
故 $$a < b < c$$，对应选项 A。
10. 函数 $$f(x) = (a^2 + a - 5) \log_a x$$ 为对数函数，则需系数为 1 且底数 $$a > 0$$, $$a \neq 1$$，即 $$a^2 + a - 5 = 1$$，解得 $$a^2 + a - 6 = 0$$，$$(a + 3)(a - 2) = 0$$，$$a = 2$$（舍去负值）。
故 $$f(x) = \log_2 x$$，$$f\left( \frac{1}{8} \right) = \log_2 \frac{1}{8} = -3$$，对应选项 B。