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正确率60.0%方程$$\sqrt{x}=\operatorname{l o g}_{\frac1 2} x$$的解的个数为（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
2、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '实数指数幂的运算性质'， '对数（型）函数的单调性'， '指数方程与指数不等式的解法'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知函数$$y=| \operatorname{l o g}_{2} x |$$的图像为曲线$${{M}{，}}$$直线$$l_{1} : y=m， l_{2} : y=\frac{8} {2 m+1} ( m > 0 )， \， \， l_{3}$$与曲线$${{M}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点($${{A}}$$在$${{B}}$$的左侧)，$${{l}_{2}}$$与曲线$${{M}}$$相交于$${{C}{，}{D}}$$两点$${{(}{C}}$$在$${{D}}$$的左侧$${{)}}$$，曲线段$$C A， B D$$在$${{x}}$$轴上投影的长度分别为$${{a}{，}{b}{，}}$$当$${{m}}$$变化时，$$\operatorname{l o g}_{2} \frac b a$$的最小值为（）
A
A.$$\frac{7} {2}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$$\frac{9} {2}$$
D.$${{1}}$$
3、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '导数与单调性']正确率60.0%已知$$a=l o g_{2} 3， \， \， \， b=l o g_{3} 4， \， \， \， c=\sqrt{2}$$．则（）
A
A.$$a > c > b$$
B.$$a > b > c$$
C.$$c > a > b$$
D.$$c > b > a$$
4、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '正弦函数图象的画法'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%方程$$\operatorname{s i n} \frac{\pi x} {2}=\operatorname{l o g}_{a} x ( a > 0 \ss a \neq1 )$$恰有三个不相等的实数根，则（）
D
A.$$a \in\emptyset< \emptyset$$是空集）
B.$$a \in\textsubscript{( 5， 9 )}$$
C.$$a \in( \frac{1} {7}， \ \frac{1} {3} )$$
D.$$a \in( \frac{1} {7}， ~ \frac{1} {3} ) \cup( 5， 9 )$$
5、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '函数图象的翻折变换'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} | \operatorname{l o g}_{2} x |， 0 < x \leqslant8，} \\ {} & {{}-\frac{1} {2} x+5， x > 8，} \\ \end{aligned} \right.$$若$$a， b， c$$互不相等，且$$f \left( \begin{matrix} {a} \\ \end{matrix} \right) ~=f \left( \begin{matrix} {b} \\ \end{matrix} \right) ~=f \left( \begin{matrix} {c} \\ \end{matrix} \right)$$，则$${{a}{b}{c}}$$的取值范围是（）
D
A.$$( 5， ~ 1 0 )$$
B.$$( 5， \ 8 )$$
C.$$( \ 6， \ 8 )$$
D.$$( 8， ~ 1 0 )$$
6、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '函数零点个数的判定'， '分段函数的图象']正确率40.0%设函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l l} {4 x-4，} & {x \leqslant1} \\ {x^{2}-4 x+3，} & {x > 1} \\ \end{array} \right.， \ g \left( x \right)=\operatorname{l o g}_{2} x$$，则函数$$h \left( x \right)=f \left( x \right)-g \left( x \right)$$的零点个数是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
7、['函数奇偶性的应用'， '对数函数y= log2 X的图象和性质'， '反函数的性质']正确率40.0%已知函数$$g ( x )=f ( x )+x^{2}$$是奇函数，当$${{x}{>}{0}}$$时，函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象与函数$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}}$$的图象关于$${{y}{=}{x}}$$对称，则$$g (-1 )+g (-2 )=( ~ ~ )$$
C
A.$${{−}{7}}$$
B.$${{−}{9}}$$
C.$${{−}{{1}{1}}}$$
D.$${{−}{{1}{3}}}$$
第一题：方程 $$\sqrt{x} = \log_{\frac{1}{2}} x$$ 的解的个数。
定义域：$$x > 0$$ 且 $$x \neq 1$$（对数底数不为1）。
令 $$f(x) = \sqrt{x} - \log_{\frac{1}{2}} x$$，求零点个数。
分析函数行为：
当 $$x \to 0^+$$，$$\sqrt{x} \to 0$$，$$\log_{\frac{1}{2}} x \to +\infty$$（因为底数小于1），所以 $$f(x) \to -\infty$$。
当 $$x = 1$$，$$\sqrt{1} = 1$$，$$\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$$，所以 $$f(1) = 1$$。
当 $$x \to +\infty$$，$$\sqrt{x} \to +\infty$$，$$\log_{\frac{1}{2}} x \to -\infty$$，所以 $$f(x) \to +\infty$$。
由于函数连续（除定义域边界），且 $$f(1) = 1 > 0$$，结合极限行为，必有两个零点：一个在 $$(0,1)$$，另一个在 $$(1,+\infty)$$。
验证：例如 $$x = \frac{1}{4}$$，$$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$，$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2$$，$$f(\frac{1}{4}) = -1.5 < 0$$；$$x=4$$，$$\sqrt{4}=2$$，$$\log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$$，$$f(4)=4>0$$。确实存在两个零点。
因此解的个数为2。
答案：C
第二题：已知函数 $$y = |\log_{2} x|$$ 的图像为曲线 M，直线 $$l_1: y = m$$，$$l_2: y = \frac{8}{2m+1}$$（$$m > 0$$），$$l_1$$ 与曲线 M 相交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），$$l_2$$ 与曲线 M 相交于 C、D 两点（C 在 D 左侧），曲线段 CA 和 BD 在 x 轴上投影的长度分别为 a 和 b，求 $$\log_{2} \frac{b}{a}$$ 的最小值。
由 $$y = |\log_{2} x|$$，当 $$y = m$$（$$m>0$$），解得 $$x = 2^m$$ 或 $$x = 2^{-m}$$，所以 A、B 坐标：$$A(2^{-m}, m)$$，$$B(2^m, m)$$。
同理，$$l_2: y = n = \frac{8}{2m+1}$$，与曲线交点：$$C(2^{-n}, n)$$，$$D(2^n, n)$$。
曲线段 CA 在 x 轴投影长度：$$a = |2^{-m} - 2^{-n}| = 2^{-n} - 2^{-m}$$（因为 $$n < m$$？需确定大小关系）。
曲线段 BD 在 x 轴投影长度：$$b = |2^m - 2^n| = 2^m - 2^n$$（$$m > n$$）。
因此 $$\frac{b}{a} = \frac{2^m - 2^n}{2^{-n} - 2^{-m}} = \frac{2^m - 2^n}{\frac{1}{2^n} - \frac{1}{2^m}} = \frac{2^m - 2^n}{\frac{2^m - 2^n}{2^{m+n}}} = 2^{m+n}$$。
所以 $$\log_{2} \frac{b}{a} = m + n = m + \frac{8}{2m+1}$$。
令 $$t = 2m+1$$，则 $$m = \frac{t-1}{2}$$，且 $$t > 1$$。
于是 $$\log_{2} \frac{b}{a} = \frac{t-1}{2} + \frac{8}{t} = \frac{t}{2} - \frac{1}{2} + \frac{8}{t}$$。
求最小值：对 $$t$$ 求导，导数为 $$\frac{1}{2} - \frac{8}{t^2}$$，令其为0，得 $$t^2 = 16$$，$$t=4$$（$$t>1$$）。
代入得最小值：$$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} + \frac{8}{4} = 2 - 0.5 + 2 = 3.5 = \frac{7}{2}$$。
答案：A
第三题：比较 $$a = \log_{2} 3$$，$$b = \log_{3} 4$$，$$c = \sqrt{2}$$。
估算数值：$$a = \log_{2} 3 \approx 1.585$$，$$b = \log_{3} 4 = \frac{\log 4}{\log 3} \approx \frac{1.386}{1.099} \approx 1.261$$，$$c = \sqrt{2} \approx 1.414$$。
所以 $$a > c > b$$。
答案：A
第四题：方程 $$\sin \frac{\pi x}{2} = \log_{a} x$$（$$a>0, a \neq 1$$）恰有三个不相等的实数根，求 $$a$$ 的范围。
分析函数行为。令 $$f(x) = \sin \frac{\pi x}{2} - \log_{a} x$$。
定义域：$$x > 0$$。
正弦函数周期为4，且 $$\sin \frac{\pi x}{2}$$ 在 $$(0,2)$$ 从0增至1再减至0，在 $$(2,4)$$ 从0减至-1再增至0，等等。
对数函数 $$\log_{a} x$$ 单调性取决于底数 $$a$$：当 $$a>1$$ 时递增，当 $$0 方程有三个根，通常出现在 $$a>1$$ 且对数函数与正弦函数在多个区间相交时。 考虑 $$a>1$$ 的情况：$$\log_{a} x$$ 递增，从 $$-\infty$$ 到 $$+\infty$$。 正弦函数有界，因此方程有解需 $$\log_{a} x \in [-1,1]$$，即 $$x \in [a^{-1}, a]$$。 在区间 $$[a^{-1}, a]$$ 内，$$\sin \frac{\pi x}{2}$$ 振荡，而 $$\log_{a} x$$ 单调，故可能有三交点。 通过图像分析，当 $$a$$ 在特定区间时恰好有三个根。 已知结论：$$a \in (5,9)$$ 或 $$a \in (\frac{1}{7}, \frac{1}{3})$$。 检查选项，D 包含这两个区间。 答案：D
第五题：函数 $$f(x) = \begin{cases} |\log_{2} x|, & 0 < x \leq 8 \\ -\frac{1}{2}x + 5, & x > 8 \end{cases}$$，若 $$a,b,c$$ 互不相等且 $$f(a)=f(b)=f(c)$$，求 $$abc$$ 的取值范围。
分析函数图像。第一段：$$|\log_{2} x|$$ 在 $$(0,1]$$ 递减从 $$+\infty$$ 到0，在 $$[1,8]$$ 递增从0到3。
第二段：直线 $$y = -\frac{1}{2}x + 5$$，在 $$x>8$$ 时从 $$f(8)=1$$ 递减至 $$-\infty$$。
设 $$f(a)=f(b)=f(c)=k$$。
由图像，当 $$k>3$$，仅第一段左边有2解；当 $$k=3$$，有解 $$x=8$$ 和 $$x=\frac{1}{8}$$？不满足三相异；当 $$1
所以 $$k \in (1,3)$$。
设三根为 $$a,b,c$$，其中 $$a<1 由 $$|\log_{2} a| = |\log_{2} b| = k$$，且 $$a<1 由第二段：$$-\frac{1}{2}c + 5 = k$$，所以 $$c = 10 - 2k$$。 因此 $$abc = 2^{-k} \cdot 2^k \cdot (10-2k) = 10 - 2k$$。 由于 $$k \in (1,3)$$，所以 $$abc \in (10-6, 10-2) = (4,8)$$。 但需验证 $$c>8$$：$$10-2k>8$$ 得 $$k<1$$，与 $$k>1$$ 矛盾？ 重新检查：当 $$k \in (1,3)$$，$$c=10-2k \in (4,8)$$，但第二段定义域为 $$x>8$$，所以 $$c$$ 应大于8，因此需 $$10-2k > 8$$，即 $$k < 1$$，与 $$k>1$$ 冲突。 实际上，当 $$k \in (0,1)$$，第一段有2解？但 $$|\log_{2} x|$$ 在 $$(0,1)$$ 值大于0，在 $$(1,8]$$ 值在 $$[0,3]$$，所以当 $$k \in (0,1)$$，第一段有2解（$$a<1$$ 和 $$b>1$$），但第二段：$$x>8$$ 时 $$f(x)<1$$，所以也有解，且 $$c>8$$。 例如 $$k=0.5$$，则 $$a=2^{-0.5} \approx 0.707$$，$$b=2^{0.5} \approx 1.414$$，$$c=10-2*0.5=9$$，符合。 且 $$k=0$$ 时只有两解？$$k=0$$ 时 $$x=1$$ 和 $$x=10$$？但 $$x=10$$ 在第二段？$$f(10)=0$$，确实，但只有两解？ 所以 $$k \in (0,1)$$ 时有三个相异根。 则 $$abc = 10 - 2k$$，$$k \in (0,1)$$，所以 $$abc \in (8,10)$$。 答案：D
第六题：函数 $$f(x) = \begin{cases} 4x-4, & x \leq 1 \\ x^2-4x+3, & x > 1 \end{cases}$$，$$g(x) = \log_{2} x$$，求 $$h(x) = f(x) - g(x)$$ 的零点个数。
即解 $$f(x) = g(x)$$。
分段讨论：
当 $$x \leq 1$$，方程 $$4x-4 = \log_{2} x$$。
左函数线性，右函数对数，定义域 $$x>0$$。
在 $$(0,1]$$，$$4x-4 \leq 0$$，$$\log_{2} x \leq 0$$。
在 $$x=1$$，$$4*1-4=0$$，$$\log_{2} 1=0$$，所以有一根 $$x=1$$。
当 $$x<1$$，例如 $$x=0.5$$，$$4*0.5-4=-2$$，$$\log_{2} 0.5 = -1$$，不相等；且函数单调性不同，可能还有一根？但 $$x \to 0^+$$，$$4x-4 \to -4$$，$$\log_{2} x \to -\infty$$，所以无解。
当 $$x > 1$$，方程 $$x^2-4x+3 = \log_{2} x$$。
令 $$p(x) = x^2-4x+3 - \log_{2} x$$。
$$p(1)=0-0=0$$，但 $$x=1$$ 不在该区间。
$$p(2)=4-8+3 - 1 = -2$$，$$p(3)=9-12+3 - \log_{2} 3 \approx 0 - 1.585 = -1.585$$，$$p(4)=16-16+3 - 2 = 1$$，所以由中间值定理，在 $$(3,4)$$ 有一根。
$$p(0.5)$$ ？但 $$x>1$$。
此外 $$p(x) \to +\infty$$ 当 $$x \to +\infty$$，所以可能还有一根？但 $$p(x)$$ 先减后增，且 $$p(1)=0$$（但不在区间），所以仅一根。
因此总共2个零点：$$x=1$$ 和 $$x \in (3,4)$$。
答案：B
第七题：已知函数 $$g(x) = f(x) + x^2$$ 是奇函数，当 $$x>0$$ 时，函数 $$f(x)$$ 的图象与函数 $$y = \log_{2} x$$ 的图象关于 $$y=x$$ 对称，求 $$g(-1) + g(-2)$$。
由于 $$g(x)$$ 是奇函数，所以 $$g(-x) = -g(x)$$。
因此 $$g(-1) + g(-2) = -[g(1) + g(2)]$$。
需计算 $$g(1)$$ 和 $$g(2)$$。
由条件，当 $$x>0$$ 时，$$f(x)$$ 与 $$y=\log_{2} x$$ 关于 $$y=x$$ 对称，所以 $$f(x)$$ 是 $$y=\log_{2} x$$ 的反函数，即 $$f(x) = 2^x$$。
因此当 $$x>0$$，$$g(x) = f(x) + x^2 = 2^x + x^2$$。
所以 $$g(1) = 2^1 + 1^2 = 2 + 1 = 3$$。
$$g(2) = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$$。
于是 $$g(1) + g(2) = 3 + 8 = 11$$。
所以 $$g(-1) + g(-2) = -11$$。
答案：C