.jpg)
正确率80.0%函数$$y=\left( \frac{1} {3} \right)^{x}$$与$$y=\operatorname{l o g}_{\frac{1} {3}} x$$的图象关于（）
B
A.$${{x}}$$轴对称
B.直线$${{y}{=}{x}}$$对称
C.原点对称
D.$${{y}}$$轴对称
3、['函数的对称性'， '反函数的性质'， '反函数的定义'， '函数零点的概念']正确率40.0%若实数$${{α}}$$，$${{β}}$$满足$${{α}{{e}^{α}}{=}{2}}$$，$${{β}{{l}{n}}{β}{=}{2}}$$，则$${{α}{β}{=}}$$（）
D
A.$${{e}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{2}}$$
4、['指数与对数的关系'， '反函数的定义']正确率60.0%若函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$是函数$${{y}{=}{{a}^{x}}{(}{a}{>}{0}{，}{a}{≠}{1}{)}}$$的反函数且$${{f}{(}{2}{)}{=}{1}}$$，则$${{f}{(}{x}{)}{=}{(}{)}}$$
D
A.$$\left( \frac{1} {2} \right)^{x}$$
B.$$2^{x-2}$$
C.$$\operatorname{l o g}_{\frac1 2} x$$
D.$${{l}{o}{g}_{2}{x}}$$
5、['函数求值'， '反函数的性质'， '反函数的定义']正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}{，}}$$若函数$${{g}{(}{x}{)}}$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的反函数，则$${{f}{[}{g}{(}{2}{)}{]}{=}}$$（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['直线中的对称问题'， '反函数的性质'， '反函数的定义']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=k x ( x \in[ \frac{1} {e}， ~ e ] )， ~ g ( x )=( \frac{1} {e} )^{\frac{x} {2}}$$，若$${{f}{（}{x}{）}{，}{g}{（}{x}{）}}$$图象上分别存在点$${{M}{，}{N}}$$，使得$${{M}{，}{N}}$$关于直线$${{y}{=}{x}}$$对称，则实数$${{k}}$$的取值范围为（）
B
A.$$[-\frac{1} {e}， ~ e ]$$
B.$$[-\frac{2} {e}， ~ 2 e ]$$
C.$$[-\frac{3} {e}， ~ 3 e ]$$
D.$$(-\frac{2} {e}， ~ 2 e )$$
7、['反函数的定义']正确率60.0%关于函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{x}{|}{x}{|}{+}{4}{x}{（}{x}{∈}{R}{）}}$$的反函数，正确的是（）
B
A.有反函数$$f^{-1} ( x )=\left\{\begin{matrix} {\sqrt{x+4}+2， \ x \geqslant0} \\ {\sqrt{4-x}-2， \ x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$
B.有反函数$$f^{-1} ( x )=\left\{\begin{matrix} {\sqrt{x+4}-2， \ x \geqslant0} \\ {2-\sqrt{4-x}， \ x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$
C.有反函数$$f^{-1} ( x )=\left\{\begin{matrix} {\sqrt{x+4}-2， \ x \geqslant0} \\ {\sqrt{4-x}+2， \ x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$
D.无反函数
8、['反函数的定义'， '利用导数解决函数零点问题'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%已知函数$$f ~ ( \textbf{x} ) ~=e^{\frac{x} {3}}-3 l n x$$，则其零点的个数为（）
A
A.$${{2}}$$个
B.$${{1}}$$个
C.$${{0}}$$个
D.$${{3}}$$个
9、['反函数的定义'， '对数的运算性质']正确率60.0%函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$是$${{y}{=}{{a}^{x}}{（}{a}{>}{0}}$$，且$${{a}{≠}{1}{）}}$$的反函数，则下列结论错误的是（）
D
A.$${{f}{（}{{x}^{2}}{）}{=}{2}{f}{（}{x}{）}}$$
B.$${{f}{（}{2}{x}{）}{=}{f}{（}{x}{）}{+}{f}{（}{2}{）}}$$
C.$$f ( \frac{1} {2} x ) ~=f ( \textbf{x} ) ~-f ( \textbf{2} )$$
D.$${{f}{（}{2}{x}{）}{=}{2}{f}{（}{x}{）}}$$
10、['指数与对数的关系'， '反函数的定义']正确率60.0%若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象和$${{g}{(}{x}{)}{=}{{l}{n}}{(}{2}{x}{)}}$$的图象关于直线$${{x}{−}{y}{=}{0}}$$对称，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的解析式为（）
B
A.$$f ( x )=\mathrm{e}^{2 x}$$
B.$$f ( x )=\frac{1} {2} \mathrm{e}^{x}$$
C.$${{f}{(}{x}{)}{=}{2}{{e}^{x}}}$$
D.$$f ( x )=\mathrm{e}^{x+2}$$
1. 对于函数 $$y=\left( \frac{1} {3} \right)^{x}$$ 和 $$y=\operatorname{log}_{\frac{1} {3}} x$$，它们是互为反函数的关系。反函数的图象关于直线 $$y=x$$ 对称，因此正确答案是 B。
4. 函数 $$y=f(x)$$ 是 $$y=a^x$$ 的反函数，因此 $$f(x) = \log_a x$$。已知 $$f(2)=1$$，即 $$\log_a 2 = 1$$，所以 $$a=2$$。因此 $$f(x) = \log_2 x$$，正确答案是 D。
6. 题目要求 $$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 的图象关于直线 $$y=x$$ 对称，即它们是互为反函数的关系。$$g(x) = \left( \frac{1} {e} \right)^{\frac{x} {2}} = e^{-\frac{x} {2}}$$，其反函数为 $$g^{-1}(x) = -2 \ln x$$。因此 $$f(x)$$ 必须等于 $$g^{-1}(x)$$，即 $$k x = -2 \ln x$$。由于 $$x \in \left[ \frac{1} {e}, e \right]$$，解得 $$k = -\frac{2 \ln x} {x}$$。分析 $$k$$ 的取值范围，最小值为 $$x=1$$ 时 $$k=0$$，最大值为 $$x=\frac{1} {e}$$ 时 $$k=2e$$，最小值为 $$x=e$$ 时 $$k=-\frac{2} {e}$$。因此 $$k \in \left[ -\frac{2} {e}, 2e \right]$$，正确答案是 B。
- 当 $$x \geq 0$$ 时，$$f(x) = x^2 + 4x$$，反函数为 $$f^{-1}(x) = \sqrt{x+4} - 2$$。
- 当 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = -x^2 + 4x$$，反函数为 $$f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{4 - x}$$。
因此正确答案是 B。
8. 函数 $$f(x) = e^{\frac{x} {3}} - 3 \ln x$$ 的零点问题。分析其单调性和极值：
- 导数 $$f'(x) = \frac{1} {3} e^{\frac{x} {3}} - \frac{3} {x}$$，令 $$f'(x) = 0$$ 解得 $$x \approx 3$$。
- 当 $$x \to 0^+$$ 时，$$f(x) \to +\infty$$；当 $$x \to +\infty$$ 时，$$f(x) \to +\infty$$。
- 在 $$x=3$$ 处取得极小值 $$f(3) \approx e - 3 \ln 3 < 0$$，因此函数有两个零点，正确答案是 A。
- A: $$f(x^2) = \log_a x^2 = 2 \log_a x = 2 f(x)$$，正确。
- B: $$f(2x) = \log_a 2x = \log_a 2 + \log_a x = f(2) + f(x)$$，正确。
- C: $$f\left( \frac{1} {2} x \right) = \log_a \left( \frac{1} {2} x \right) = \log_a x - \log_a 2 = f(x) - f(2)$$，正确。
- D: $$f(2x) = \log_a 2x \neq 2 \log_a x = 2 f(x)$$，错误。
因此错误的结论是 D。
10. 函数 $$g(x) = \ln(2x)$$ 的反函数为 $$g^{-1}(x) = \frac{1} {2} e^x$$。因为 $$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 关于直线 $$y=x$$ 对称，所以 $$f(x) = g^{-1}(x) = \frac{1} {2} e^x$$，正确答案是 B。
题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱