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正确率60.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=a^{x}+l o g_{a} \， \left( \begin{matrix} {x+1} \\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {a > 0} \\ \end{matrix} \right)$$，且$${{a}{≠}{1}{）}}$$在$$[ 0， \ 1 ]$$上的最大值和最小值之和为$${{a}}$$，则$${{a}}$$的值为（）
B
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
2、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '复合函数的单调性判定'， '对数（型）函数的单调性'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%若函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l n \left( \begin{matrix} {x^{2}-2 a x-3 a} \\ \end{matrix} \right)$$在区间$$( \ -\infty， \ \ -1 ]$$内为减函数，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
C
A.$$[-1， \ 0 )$$
B.$$[-1， ~ 1 ]$$
C.$$[-1， \ 1 )$$
D.$$[-1， ~+\infty)$$
3、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '函数单调性的判断'， '函数的单调区间'， '一般幂函数的图象和性质'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%下列函数中，在$$( 0，+\infty)$$上单调递减的是（）
C
A.$$f ( x )=\operatorname{l n} x$$
B.$$f ( x ) \mathbf{=} ( x-1 )^{2}$$
C.$$f ( x ) \!=\! 2^{-x}$$
D.$$f ( x ) \mathbf{=} x^{3}$$
4、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '对数（型）函数的单调性'， '函数的单调区间'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\{\begin{array} {c} {\left( 3 a-1 \right) x+4 a， x < 1} \\ {l o g_{a} x， x \geqslant1} \\ \end{array}$$满足对任意的实数$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$都有$$\frac{f \left( x_{1} \right)-f \left( x_{2} \right)} {x_{1}-x_{2}} < 0$$成立，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$\left( 0， \frac{1} {3} \right)$$
C.$$\left[ \frac{1} {7}， 1 \right)$$
D.$$[ \frac{1} {7}， \frac{1} {3} )$$
5、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '复合函数的单调性判定'， '对数（型）函数的单调性'， '函数求定义域']正确率60.0%函数$$f \left( x \right)=\operatorname{l o g}_{\frac{1} {2}} \left( x^{2}-4 \right)$$的单调递增区间（）
A
A.$$(-\infty，-2 )$$
B.$$( 0，+\infty)$$
C.$$( 2，+\infty)$$
D.$$(-\infty， 0 )$$
6、['指数（型）函数的单调性'， '函数图象的对称变换'， '对数（型）函数的单调性']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2^{x}-\frac{1} {2} ( x < 0 )$$与$$g ( x )=\operatorname{l o g}_{2} ( x+a )$$的图象上存在关于$${{y}}$$轴对称的点，则$${{a}}$$的取值范围是（）
B
A.$$(-\infty，-\sqrt{2} )$$
B.$$(-\infty， \sqrt{2} )$$
C.$$(-\infty，-2 \sqrt{2} )$$
D.$$\left(-2 \sqrt{2}， \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$
7、['函数的最大(小)值'， '对数（型）函数的单调性']正确率60.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {\alpha} \\ \end{matrix} \right)=l g \left( \begin{matrix} {4} \\ {-x} \\ \end{matrix} \right)$$在区间$$[-1， ~ 2 ]$$上的最大值和最小值分别为$${{M}{，}{m}}$$，则$$M+m=\langle($$）
D
A.$${{l}{g}{7}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{1}}$$
8、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '对数的运算性质'， '幂指对综合比较大小'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%$$a=\operatorname{l o g}_{3} 2， \， \， \， b=\operatorname{l n} 2， \， \， \， c=5^{-\frac{1} {2}}$$，则（）
D
A.$$a < b < c$$
B.$$b < c < a$$
C.$$c < b < a$$
D.$$c < a < b$$
9、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%.设$$a \!=\! \operatorname{l o g}_{\pi} 3， \， \， \， b=\! 2^{0. 3}， \， \， \， c=\operatorname{l o g}_{2} \， {\frac{1} {3}}$$，则（）
C
A.$$a \! > \! c \! > \! b$$
B.$$c > a > b$$
C.$$b \! > \! a \! > \! c$$
D.$$a \! > \! b \! > \! c$$
10、['对数（型）函数的单调性']正确率60.0%已知函数$$y=\operatorname{l o g}_{a} ( 3 a-1 )$$的值恒为正数，则$${{a}}$$的取值范围是 （）
D
A.$$a > \frac{1} {3}$$
B.$$\frac1 3 < a \leq\frac2 3$$
C.$${{a}{>}{1}}$$
D.$$\frac{1} {3} < a < \frac{2} {3}$$或$${{a}{>}{1}}$$
### 第一题解析函数 $$f(x) = a^x + \log_a(x+1)$$ 在区间 $$[0, 1]$$ 上的最大值和最小值之和为 $$a$$。我们需要求 $$a$$ 的值。
首先，考虑函数 $$f(x)$$ 的单调性：
1. 如果 $$a > 1$$，则 $$a^x$$ 和 $$\log_a(x+1)$$ 都是增函数，因此 $$f(x)$$ 也是增函数。此时，最大值在 $$x = 1$$ 处取得，最小值在 $$x = 0$$ 处取得。因此：
$$f(0) + f(1) = a^0 + \log_a(1) + a^1 + \log_a(2) = 1 + 0 + a + \log_a(2) = 1 + a + \log_a(2) = a$$
解得 $$1 + \log_a(2) = 0$$，即 $$\log_a(2) = -1$$，所以 $$a = \frac{1}{2}$$。
2. 如果 $$0 < a < 1$$，则 $$a^x$$ 是减函数，$$\log_a(x+1)$$ 也是减函数，因此 $$f(x)$$ 是减函数。此时，最大值在 $$x = 0$$ 处取得，最小值在 $$x = 1$$ 处取得。因此：
$$f(0) + f(1) = a^0 + \log_a(1) + a^1 + \log_a(2) = 1 + 0 + a + \log_a(2) = 1 + a + \log_a(2) = a$$
同样解得 $$1 + \log_a(2) = 0$$，即 $$\log_a(2) = -1$$，所以 $$a = \frac{1}{2}$$。
综上，$$a = \frac{1}{2}$$，对应选项 B。
### 第二题解析函数 $$f(x) = \ln(x^2 - 2a x - 3a)$$ 在区间 $$(-\infty, -1]$$ 内为减函数，求实数 $$a$$ 的取值范围。
首先，对数函数的定义域要求 $$x^2 - 2a x - 3a > 0$$。为了 $$f(x)$$ 在 $$(-\infty, -1]$$ 上减函数，需要：
1. 内函数 $$g(x) = x^2 - 2a x - 3a$$ 在 $$(-\infty, -1]$$ 上为减函数且恒正。
2. 二次函数 $$g(x)$$ 开口向上，其对称轴为 $$x = a$$。为了在 $$(-\infty, -1]$$ 上减函数，需要对称轴 $$a \geq -1$$。
3. 在 $$x = -1$$ 处，$$g(-1) = 1 + 2a - 3a = 1 - a > 0$$，即 $$a < 1$$。
4. 同时，判别式 $$(2a)^2 + 12a = 4a^2 + 12a < 0$$ 保证 $$g(x)$$ 无零点，即 $$-3 < a < 0$$。
综合以上条件，$$a$$ 的取值范围是 $$[-1, 0)$$，对应选项 A。
### 第三题解析判断哪个函数在 $$(0, +\infty)$$ 上单调递减：
A. $$f(x) = \ln x$$：增函数。
B. $$f(x) = (x-1)^2$$：在 $$(0, 1)$$ 上减函数，在 $$(1, +\infty)$$ 上增函数。
C. $$f(x) = 2^{-x}$$：可以写成 $$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$，指数函数底数小于 1，减函数。
D. $$f(x) = x^3$$：增函数。
因此，选项 C 正确。
### 第四题解析函数 $$f(x)$$ 是分段函数，要求对任意 $$x_1 \neq x_2$$ 都有 $$\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0$$，即 $$f(x)$$ 整体为减函数。
1. 当 $$x \geq 1$$ 时，$$f(x) = \log_a x$$ 为减函数，需 $$0 < a < 1$$。
2. 当 $$x < 1$$ 时，$$f(x) = (3a - 1)x + 4a$$ 为减函数，需 $$3a - 1 < 0$$，即 $$a < \frac{1}{3}$$。
3. 在 $$x = 1$$ 处，左极限为 $$(3a - 1) \cdot 1 + 4a = 7a - 1$$，右极限为 $$\log_a 1 = 0$$。为保证减函数，需 $$7a - 1 \geq 0$$，即 $$a \geq \frac{1}{7}$$。
综上，$$a$$ 的取值范围是 $$\left[\frac{1}{7}, \frac{1}{3}\right)$$，对应选项 D。
### 第五题解析函数 $$f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4)$$ 的单调递增区间。
对数函数底数为 $$\frac{1}{2} < 1$$，因此 $$f(x)$$ 的单调性与内函数 $$g(x) = x^2 - 4$$ 的单调性相反。
1. 定义域要求 $$x^2 - 4 > 0$$，即 $$x < -2$$ 或 $$x > 2$$。
2. $$g(x)$$ 在 $$(-\infty, -2)$$ 上减函数，在 $$(2, +\infty)$$ 上增函数。
因此，$$f(x)$$ 在 $$(-\infty, -2)$$ 上增函数，在 $$(2, +\infty)$$ 上减函数。
选项 A 正确。
### 第六题解析函数 $$f(x) = 2^x - \frac{1}{2}$$（$$x < 0$$）与 $$g(x) = \log_2(x + a)$$ 的图像关于 $$y$$ 轴对称。
关于 $$y$$ 轴对称的点满足 $$f(x) = g(-x)$$，即 $$2^x - \frac{1}{2} = \log_2(-x + a)$$。
对于 $$x < 0$$，$$2^x - \frac{1}{2} < 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$，因此 $$\log_2(-x + a) < \frac{1}{2}$$，即 $$-x + a < 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$$。
因为 $$x < 0$$，所以 $$a < \sqrt{2} - x$$。由于 $$x$$ 可以趋近于 $$-\infty$$，$$a$$ 必须满足 $$a < \sqrt{2}$$。
选项 B 正确。
### 第七题解析函数 $$f(x) = \lg(4 - x)$$ 在区间 $$[-1, 2]$$ 上的最大值和最小值分别为 $$M$$ 和 $$m$$，求 $$M + m$$。
$$f(x)$$ 是减函数，因此：
最大值 $$M = f(-1) = \lg(4 - (-1)) = \lg 5$$。
最小值 $$m = f(2) = \lg(4 - 2) = \lg 2$$。
因此 $$M + m = \lg 5 + \lg 2 = \lg(5 \times 2) = \lg 10 = 1$$。
选项 D 正确。
### 第八题解析比较 $$a = \log_3 2$$、$$b = \ln 2$$、$$c = 5^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$ 的大小。
1. 计算近似值：
$$a = \log_3 2 \approx 0.6309$$
$$b = \ln 2 \approx 0.6931$$
$$c = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.4472$$
因此 $$c < a < b$$，对应选项 D。
### 第九题解析比较 $$a = \log_{\pi} 3$$、$$b = 2^{0.3}$$、$$c = \log_2 \frac{1}{3}$$ 的大小。
1. 计算近似值：
$$a = \log_{\pi} 3 \approx 1.042$$
$$b = 2^{0.3} \approx 1.231$$
$$c = \log_2 \frac{1}{3} \approx -1.585$$
因此 $$b > a > c$$，对应选项 C。
### 第十题解析函数 $$y = \log_a(3a - 1)$$ 的值恒为正数，求 $$a$$ 的取值范围。
1. 如果 $$a > 1$$，则 $$\log_a(3a - 1) > 0$$ 等价于 $$3a - 1 > 1$$，即 $$a > \frac{2}{3}$$。
2. 如果 $$0 < a < 1$$，则 $$\log_a(3a - 1) > 0$$ 等价于 $$0 < 3a - 1 < 1$$，即 $$\frac{1}{3} < a < \frac{2}{3}$$。
综上，$$a$$ 的取值范围是 $$\frac{1}{3} < a < \frac{2}{3}$$ 或 $$a > 1$$，对应选项 D。
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