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正确率40.0%函数$$f ( x )=\left| \operatorname{l o g}_{3} x \right|$$，若正实数$${{m}}$$，$$n ( m < n )$$满足$$f ( m )=f ( n )$$，且$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$$[ m^{2}， n ]$$上的最大值为$${{2}}$$，则$${{n}{−}{m}{=}}$$（）
A
A.$$\frac{8} {2}$$
B.$$\frac{8 0} {9}$$
C.$$\frac{1 5} {4}$$
D.$$\frac{2 5 5} {1 6}$$
2、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '建立函数模型解决实际问题']正确率40.0%某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校$${{2}{0}{1}{7}}$$年全年投入科研经费$${{1}{3}{0}{0}}$$万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长$${{1}{2}{\%}}$$，则该高校全年投入的科研经费开始超过$${{2}{0}{0}{0}}$$万元的年份是（$${）{（}}$$参考数据：$$l g 1. 1 2 \approx0. 0 5， ~ l g 1. 3 \approx0. 1 1， ~ l g 2 \approx0. 3 0 )$$
B
A.$${{2}{0}{2}{0}}$$年
B.$${{2}{0}{2}{1}}$$年
C.$${{2}{0}{2}{2}}$$年
D.$${{2}{0}{2}{3}}$$年
6、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '底数对指数函数图象的影响'， '五个常见幂函数的图象与性质']正确率40.0%在以下四个函数中，当$$0 < x_{1} < x_{2}$$时，使$$f ( \frac{x_{1}+x_{2}} {2} ) > \frac{f ( x_{1} )+f ( x_{2} )} {2}$$恒成立的函数是 （）
B
A.$$f ( x )=2^{x}$$
B.$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} x$$
C.$$f ( x )=x^{3}$$
D.$$f ( x )=\frac{1} {x}$$
7、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '底数对指数函数图象的影响'， '一般幂函数的图象和性质']正确率40.0%能使不等式$$\operatorname{l o g}_{2} x < x^{2} < 2^{x}$$成立的$${{x}}$$的取值范围是（）
D
A.$$( 0，+\infty)$$
B.$$( 2，+\infty)$$
C.$$(-\infty， 2 )$$
D.$$( 0， 2 ) \cup( 4，+\infty)$$
8、['对数（型）函数过定点'， '对数函数y= log2 X的图象和性质']正确率60.0%函数$$y=\operatorname{l o g}_{a} ( 2 x-3 )+\frac{\sqrt{2}} {2}$$的图象恒过定点$${{P}}$$的坐标为（）
D
A.$$( \frac{3} {2}， 1+\frac{\sqrt{2}} {2} )$$
B.$$( \frac{3} {2}， \frac{\sqrt{2}} {2} )$$
C.$$( 2， 1+\frac{\sqrt2} {2} )$$
D.$$( 2， \frac{\sqrt{2}} {2} )$$
9、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '对数（型）函数的单调性'， '对数的运算性质']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=\left| l o g_{2} x \right|$$，若$$0 < b < a$$，且$$f \left( \begin{matrix} {a} \\ \end{matrix} \right)=f \left( \begin{matrix} {b} \\ \end{matrix} \right)$$，则图象必定经过点$$( \ a， \ 2 b )$$的函数为（）
A
A.$$y=\frac{2} {x}$$
B.$${{y}{=}{2}{x}}$$
C.$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$
D.$${{y}{=}{{x}^{2}}}$$
1. 函数 $$f(x) = |\log_3 x|$$，正实数 $$m$$、$$n$$（$$m < n$$）满足 $$f(m) = f(n)$$，且 $$f(x)$$ 在区间 $$[m^2, n]$$ 上的最大值为 $$2$$，求 $$n - m$$。
由 $$f(m) = f(n)$$ 得 $$|\log_3 m| = |\log_3 n|$$，结合 $$m < n$$，有 $$\log_3 m = -\log_3 n$$，即 $$\log_3 m + \log_3 n = 0$$，所以 $$mn = 1$$。
区间 $$[m^2, n]$$ 上，$$f(x)$$ 的最大值为 $$2$$。由于 $$m < 1 < n$$（因为 $$mn = 1$$），在 $$[m^2, n]$$ 上，$$f(x)$$ 在 $$x = m^2$$ 或 $$x = n$$ 处可能取得最大值。
计算 $$f(m^2) = |\log_3 m^2| = 2 |\log_3 m|$$，$$f(n) = |\log_3 n| = |\log_3 n|$$。
由 $$mn = 1$$，有 $$\log_3 n = -\log_3 m$$，所以 $$f(m^2) = 2 |\log_3 m|$$，$$f(n) = |\log_3 m|$$。
因此最大值在 $$x = m^2$$ 处取得，且 $$f(m^2) = 2$$，即 $$2 |\log_3 m| = 2$$，所以 $$|\log_3 m| = 1$$，即 $$m = \frac{1}{3}$$ 或 $$m = 3$$（舍去，因为 $$m < n$$ 且 $$mn = 1$$），故 $$m = \frac{1}{3}$$。
由 $$mn = 1$$ 得 $$n = 3$$。
所以 $$n - m = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$$。
选项 A 为 $$\frac{8}{2}$$，但应为 $$\frac{8}{3}$$，可能题目有误或选项笔误，但根据计算，正确值为 $$\frac{8}{3}$$。
2. 高校 2017 年科研经费 1300 万元，每年增长 12%，求开始超过 2000 万元的年份。
设经过 $$t$$ 年后经费超过 2000 万元，有 $$1300 \times (1 + 0.12)^t > 2000$$。
即 $$1.12^t > \frac{2000}{1300} = \frac{20}{13} \approx 1.5385$$。
取对数：$$t \lg 1.12 > \lg 1.5385$$。
已知 $$\lg 1.12 \approx 0.05$$，$$\lg 1.5385$$ 可估算：$$\lg 1.5 = \lg \frac{3}{2} = \lg 3 - \lg 2 \approx 0.477 - 0.301 = 0.176$$，更精确计算 $$\lg 1.5385 \approx 0.187$$。
所以 $$t > \frac{0.187}{0.05} = 3.74$$，即 $$t \geq 4$$。
从 2017 年开始，经过 4 年到 2021 年。
验证：2017 年 1300，2018 年 $$1300 \times 1.12 = 1456$$，2019 年 $$1456 \times 1.12 \approx 1630.72$$，2020 年 $$1630.72 \times 1.12 \approx 1826.4064$$，2021 年 $$1826.4064 \times 1.12 \approx 2045.575$$ > 2000。
所以 2021 年首次超过，选 B。
6. 找出使 $$f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$ 恒成立的函数。
该不等式表示函数为凹函数（即二阶导数大于零）。
A. $$f(x) = 2^x$$，导数 $$f'(x) = 2^x \ln 2$$，二阶导数 $$f''(x) = 2^x (\ln 2)^2 > 0$$，为凹函数。
B. $$f(x) = \log_2 x$$，导数 $$f'(x) = \frac{1}{x \ln 2}$$，二阶导数 $$f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 2} < 0$$，为凸函数。
C. $$f(x) = x^3$$，导数 $$f'(x) = 3x^2$$，二阶导数 $$f''(x) = 6x$$，在 $$x > 0$$ 时 $$f''(x) > 0$$，为凹函数；但 $$x < 0$$ 时 $$f''(x) < 0$$，不恒成立。
D. $$f(x) = \frac{1}{x}$$，导数 $$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$，二阶导数 $$f''(x) = \frac{2}{x^3}$$，在 $$x > 0$$ 时 $$f''(x) > 0$$，为凹函数；但 $$x < 0$$ 时 $$f''(x) < 0$$，不恒成立。
只有 A 在定义域 $$x \in \mathbb{R}$$ 上恒为凹函数，满足条件。
选 A。
7. 不等式 $$\log_2 x < x^2 < 2^x$$ 成立的范围。
考虑函数交点：令 $$g(x) = \log_2 x$$，$$h(x) = x^2$$，$$k(x) = 2^x$$。
先解 $$\log_2 x = x^2$$：通过图像或试值，$$x = 2$$ 时 $$\log_2 2 = 1$$，$$2^2 = 4$$，不相等；$$x = 4$$ 时 $$\log_2 4 = 2$$，$$4^2 = 16$$；$$x < 1$$ 时 $$\log_2 x < 0$$，$$x^2 > 0$$，所以无交点，且 $$\log_2 x < x^2$$ 恒成立对于 $$x > 0$$。
再解 $$x^2 = 2^x$$：$$x = 2$$ 时 $$4 = 4$$；$$x = 4$$ 时 $$16 = 16$$；$$x = -2$$ 时 $$4 = \frac{1}{4}$$ 不成立。所以交点在 $$x = 2$$ 和 $$x = 4$$。
对于 $$x > 0$$，当 $$x < 2$$ 时 $$x^2 < 2^x$$（例如 $$x = 1$$，$$1 < 2$$）；当 $$2 < x < 4$$ 时 $$x^2 > 2^x$$（例如 $$x = 3$$，$$9 > 8$$）；当 $$x > 4$$ 时 $$x^2 < 2^x$$（例如 $$x = 5$$，$$25 < 32$$）。
结合 $$\log_2 x < x^2$$ 恒成立（$$x > 0$$），所以不等式成立当 $$x^2 < 2^x$$，即 $$x < 2$$ 或 $$x > 4$$。
但需验证边界：$$x = 2$$ 时 $$\log_2 2 = 1$$，$$2^2 = 4$$，$$2^2 = 4$$，不等式为 $$1 < 4 < 4$$ 不成立；$$x = 4$$ 时 $$\log_2 4 = 2$$，$$4^2 = 16$$，$$2^4 = 16$$，不等式为 $$2 < 16 < 16$$ 不成立。
所以取值范围为 $$(0, 2) \cup (4, +\infty)$$。
选 D。
8. 函数 $$y = \log_a (2x - 3) + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 恒过定点 P。
对数函数 $$\log_a u$$ 恒过点 $$u = 1$$ 时 $$\log_a 1 = 0$$，所以令 $$2x - 3 = 1$$，得 $$x = 2$$。
代入得 $$y = 0 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
所以定点为 $$(2, \frac{\sqrt{2}}{2})$$。
选 D。
9. 函数 $$f(x) = |\log_2 x|$$，若 $$0 < b < a$$ 且 $$f(a) = f(b)$$，则图象必定经过点 $$(a, 2b)$$ 的函数。
由 $$f(a) = f(b)$$ 得 $$|\log_2 a| = |\log_2 b|$$，结合 $$0 < b < a$$，有 $$\log_2 a = -\log_2 b$$，即 $$\log_2 a + \log_2 b = 0$$，所以 $$ab = 1$$。
点 $$(a, 2b)$$，即 $$x = a$$，$$y = 2b$$。
由 $$ab = 1$$ 得 $$b = \frac{1}{a}$$，所以 $$y = 2 \cdot \frac{1}{a} = \frac{2}{a}$$。
即对于函数 $$y = \frac{2}{x}$$，当 $$x = a$$ 时 $$y = \frac{2}{a}$$，正好为 $$2b$$。
所以函数 $$y = \frac{2}{x}$$ 必定经过点 $$(a, 2b)$$。
选 A。