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正确率60.0%已知函数$$y=\operatorname{l o g}_{a} ( x-1 )+1 ( a > 0， \; a \neq1 )$$的图象过定点$${{A}{，}}$$若点$${{A}}$$在直线$$y=m x+n$$上，其中$$m > 0， \， \， n > 0，$$则$$\frac1 m+\frac2 n$$的最小值是（）
C
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
2、['对数（型）函数过定点']正确率60.0%函数$$y=1-\operatorname{l o g}_{a} ( 1-x )$$的图像恒过定点（）
D
A.$$( 1， 0 )$$
B.$$\left( 1， 1 \right)$$
C.$$( 0， 0 )$$
D.$$( 0， 1 )$$
3、['对数（型）函数过定点'， '用角的终边上的点的坐标表示三角函数'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '特殊角的三角函数值']正确率60.0%已知函数$$y=\operatorname{l o g}_{a} \left( x-1 \right)+3， \; \; ( a > 0$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的图象恒过定点$${{P}}$$，若角$${{α}}$$的顶点与原点重合，始边与$${{x}}$$轴的非负半轴重合，终边经过点$${{P}}$$，则$$\operatorname{s i n}^{2} \alpha-\operatorname{s i n} \， 2 \alpha$$的值为（）
D
A.$$\frac{5} {1 3}$$
B.$$- \frac{5} {1 3}$$
C.$$\frac{3} {1 3}$$
D.$$- \frac{3} {1 3}$$
4、['对数（型）函数过定点'， '指数（型）函数过定点'， '指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的定义域'， '指数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的值域'， '指数（型）函数的定义域'， '对数（型）函数的单调性'， '函数图象的翻折变换'， '函数的对称性'， '分段函数模型的应用']正确率40.0%在平面直角坐标系中，如果不同的两点$$A ( a， b )， ~ B (-a， b )$$在函数$$y=f ( x )$$的图象上，则称$$( A， B )$$是函数$$y=f ( x )$$的一组关于$${{y}}$$轴的对称点$$( ( A， B )$$与$$( B， A )$$视为同一组$${{)}}$$，则函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {( \frac{1} {2} )^{| x |}， x \leqslant0} \\ {| l o g_{3} x |， x > 0} \\ \end{array} \right.$$关于$${{y}}$$轴的对称点的组数为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
5、['对数（型）函数过定点'， '函数图象的平移变换']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{a} ( x-2 )+3 ( a > 0， a \neq1 )$$，则$$f ( x-1 )$$恒过定点
B
A.$$( 3， 4 )$$
B.$$( 4， 3 )$$
C.$$( 4， 4 )$$
D.$$( 2， 4 )$$
6、['对数（型）函数过定点'， '函数图象的平移变换']正确率60.0%函数$$f ( x )=1+\operatorname{l o g}_{a} ( x-2 )$$的图像经过定点$${{(}{)}}$$
A
A.$$( 3， 1 )$$
B.$$( 2， 0 )$$
C.$$( 2， 2 )$$
D.$$( 3， 0 )$$
7、['对数（型）函数过定点'， '对数函数的定义']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{a} x$$的图像都经过点$$( 4， 2 )$$，则$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
8、['对数（型）函数过定点'， '指数（型）函数过定点']正确率60.0%设$${{a}{>}{0}}$$，且$${{a}{≠}{1}}$$，则函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=a^{x}+l o g_{a} \left( \begin{matrix} {x+1} \\ \end{matrix} \right) )+1$$恒过定点（）
B
A.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
B.$$( {\bf0}， ~ {\bf2} )$$
C.$$( 1， \ 1 )$$
D.$$( 1， \ 2 )$$
9、['对数（型）函数过定点']正确率60.0%函数$$y=l o g_{a} \， \， ( \， x+2 ) \， \， \，-3， \， \， \， \， ( \， a > 0， \， \， a \neq1 )$$的图象经过的定点坐标为（）
B
A.$$( \mathbf{\alpha}-\mathbf{1}， \mathbf{\alpha} 3 )$$
B.$$( \emph{-1}， \emph{-3} )$$
C.$$( 1， ~-3 )$$
D.$$( 1， \ 3 )$$
10、['对数（型）函数过定点']正确率80.0%函数$$y=\operatorname{l o g}_{a} ( 3 x-2 ) ( a > 0， a \neq1 )$$的图象过定点（）
B
A.$$( 0， \frac{2} {3} )$$
B.$$( 1， 0 )$$
C.$$( 0， 1 )$$
D.$$( \frac{2} {3}， 0 )$$
1. 函数 $$y=\log_a (x-1)+1$$ 恒过定点时，令真数部分为 1：$$x-1=1 \Rightarrow x=2$$，代入得 $$y=\log_a 1+1=0+1=1$$，所以定点为 $$A(2,1)$$。
代入直线 $$y=mx+n$$：$$1=2m+n \Rightarrow 2m+n=1$$。
由柯西不等式：$$\left(\frac{1}{m}+\frac{2}{n}\right)(2m+n) \geq (1+\sqrt{2})^2$$，但需直接求最小值：
$$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\left(\frac{1}{m}+\frac{2}{n}\right)(2m+n)=2+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}+2 \geq 4+2\sqrt{\frac{n}{m} \cdot \frac{4m}{n}}=4+4=8$$。
当且仅当 $$\frac{n}{m}=\frac{4m}{n} \Rightarrow n=2m$$，结合 $$2m+n=1$$ 得 $$m=\frac{1}{4}, n=\frac{1}{2}$$ 时取等。
最小值为 8，选 C。
2. 函数 $$y=1-\log_a (1-x)$$ 恒过定点时，令真数部分为 1：$$1-x=1 \Rightarrow x=0$$，代入得 $$y=1-\log_a 1=1-0=1$$，所以定点为 $$(0,1)$$，选 D。
3. 函数 $$y=\log_a (x-1)+3$$ 恒过定点时，令 $$x-1=1 \Rightarrow x=2$$，代入得 $$y=\log_a 1+3=0+3=3$$，所以定点为 $$P(2,3)$$。
角 α 终边过点 P，则 $$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{3}{\sqrt{13}}$$，$$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$$。
$$\sin^2 \alpha - \sin 2\alpha = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{9}{13} - 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{9}{13} - \frac{12}{13} = -\frac{3}{13}$$，选 D。
4. 对称点要求 $$A(a,b)$$ 和 $$B(-a,b)$$ 都在函数图像上，且 $$a \neq 0$$。
当 $$x \leq 0$$，$$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$$ 为偶函数，若 $$A(a,b)$$ 在图像上，则 $$B(-a,b)$$ 也在图像上，但此时要求 $$a \leq 0$$ 且 $$-a \leq 0$$，即 $$a=0$$，不符合 $$a \neq 0$$，故无解。
当 $$x>0$$，$$f(x)=|\log_3 x|$$，若 $$A(a,b)$$ 在图像上，则 $$B(-a,b)$$ 也需在图像上，但 $$-a<0$$ 属于第一段函数，需满足 $$\left(\frac{1}{2}\right)^{|{-a}|}=|\log_3 a|$$，即 $$\left(\frac{1}{2}\right)^a=|\log_3 a|$$。
分别考虑 $$a>1$$ 和 $$0 当 $$a>1$$，$$\left(\frac{1}{2}\right)^a<1$$，$$|\log_3 a|=\log_3 a>0$$，方程化为 $$\left(\frac{1}{2}\right)^a=\log_3 a$$，通过图像或试值，$$a=3$$ 时左边 $$=\frac{1}{8}$$，右边 $$=1$$，不相等；$$a=9$$ 时左边 $$=\frac{1}{512}$$，右边 $$=2$$，无解。 当 $$0 综上，无对称点，组数为 0，选 A。
5. 函数 $$f(x)=\log_a (x-2)+3$$ 恒过定点时，令 $$x-2=1 \Rightarrow x=3$$，代入得 $$y=\log_a 1+3=0+3=3$$，所以定点为 $$(3,3)$$。
$$f(x-1)$$ 相当于将图像右移 1 单位，定点变为 $$(4,3)$$，选 B。
6. 函数 $$f(x)=1+\log_a (x-2)$$ 恒过定点时，令 $$x-2=1 \Rightarrow x=3$$，代入得 $$y=1+\log_a 1=1+0=1$$，所以定点为 $$(3,1)$$，选 A。
7. 函数 $$f(x)=\log_a x$$ 过点 $$(4,2)$$，代入得 $$2=\log_a 4 \Rightarrow a^2=4 \Rightarrow a=2$$（$$a>0$$ 且 $$a \neq 1$$），选 C。
8. 函数 $$f(x)=a^x+\log_a (x+1)+1$$ 恒过定点时，令指数和真数部分同时为 1 的对应值：$$x=0$$，则 $$a^0=1$$，$$\log_a (0+1)=\log_a 1=0$$，所以 $$f(0)=1+0+1=2$$，定点为 $$(0,2)$$，选 B。
9. 函数 $$y=\log_a (x+2)-3$$ 恒过定点时，令 $$x+2=1 \Rightarrow x=-1$$，代入得 $$y=\log_a 1-3=0-3=-3$$，定点为 $$(-1,-3)$$，选 B。
10. 函数 $$y=\log_a (3x-2)$$ 恒过定点时，令 $$3x-2=1 \Rightarrow x=1$$，代入得 $$y=\log_a 1=0$$，定点为 $$(1,0)$$，选 B。